扬州市扬州中学2024届数学高二第二学期期末统考模拟试题含解析

扬州市扬州中学2024届数学高二第二学期期末统考模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列中，，则（）A．20 B．30 C．40 D．502．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的的值为（）(参考数据：，，）A．12 B．24 C．48 D．963．若不等式对一切恒成立,则的取值范围是()A． B．C． D．4．已知函数，若的两个极值点的等差中项在区间上，则整数（）A．1或2 B．2 C．1 D．0或15．某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示：有心脏病无心脏病秃发20300不秃发5450根据表中数据得，由断定秃发与患有心脏病有关，那么这种判断出错的可能性为（）附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．0.1 B．0.05C．0.01 D．0.0016．函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D．7．已知函数的图象关于点对称，则在上的值域为（）A． B． C． D．8．如图，在正方体中，分别是,的中点，则四面体在平面上的正投影是A． B． C． D．9．用秦九韶算法求次多项式，当时，求需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（）A． B． C． D．10．下列命题正确的是（）A．若，则B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“”、“”、“”中至少有一个为假命题D．“若，则，全为0”的逆否命题是“若，全不为0，则”11．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为（）A．0 B．1 C．2 D．312．由0,1,2,3组成无重复数字的四位数，其中0与2不相邻的四位数有A．6个 B．8个 C．10个 D．12个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数的反函数为，且，则的值为________14．在区间上随机取一个数，若使直线与圆有交点的概率为，则__________．15．为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6个小队在校园最具有代表性的3个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有1支小队拍摄，则不同的分配方法有_____种（用数字作答）16．在直角坐标系中，已知，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等比数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.18．（12分）某地区举办知识竞答比赛，比赛共有四道题，规则如下：答题过程中不论何时，若选手出现两题答错，则该选手被淘汰分数记为，其它情况下，选手每答对一题得分，此外若选手存在恰连续3次答对题目，则额外加分，若次全答对，则额外加分.已知某选手每次答题的正确率都是，且每次答题结果互不影响.求该选手恰答对道题的概率；记为该选手参加比赛的最终得分，求的分布列与数学期望.19．（12分）（1）当时，求证：；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面ABCD，，，E，F分别是BC，PC的中点．Ⅰ证明：；Ⅱ设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为，求直线PD与平面AEF所成的角的余弦值．21．（12分）已知椭圆满足：过椭圆C的右焦点且经过短轴端点的直线的倾斜角为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为坐标原点，若点在直线上，点在椭圆C上，且，求线段长度的最小值.22．（10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(Ⅱ)若曲线上的点到直线的最大距离为6，求实数的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】等差数列中，，，．故选A．2、B【解题分析】

列出循环过程中与的数值，满足判断框的条件即可结束循环.【题目详解】解：模拟执行程序，可得：

，

不满足条件，

不满足条件，

满足条件，退出循环，输出的值为.

故选：B.【题目点拨】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题.3、C【解题分析】

本题是通过x的取值范围推导出a的取值范围，可先将a与x分别放于等式的两边，在通过x的取值范围的出a的取值范围。【题目详解】，因为所以所以，解得【题目点拨】本题主要考察未知字母的转化，可以先将需要求解的未知数和题目已给出未知数区分开来，再进行求解。4、B【解题分析】

根据极值点个数、极值点与导函数之间的关系可确定的取值范围，结合为整数可求得结果.【题目详解】由题意得：.有两个极值点，，解得：或.方程的两根即为的两个极值点，，综上可得：，又是整数，.故选：.【题目点拨】本题考查极值与导数之间的关系，关键是明确极值点是导函数的零点，从而利用根与系数关系构造方程.5、D【解题分析】

根据观测值K2，对照临界值得出结论．【题目详解】由题意，，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为.故选D．【题目点拨】本题考查了独立性检验的应用问题，理解临界值表格是关键，是基础题．6、B【解题分析】分析：根据基本初等函数的性质，确定函数在上是增函数，且满足，，结合函数的零点判定定理可得函数的零点所在的区间.详解：由基本初等函数可知与均为在上是增函数，所以在上是增函数，又，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是.故选B.点睛：本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题.7、D【解题分析】由题意得，函数的图象关于点对称，则，即，解得，所以，则，令，解得或，当，则，函数单调递减，当，则，函数单调递增，所以，，所以函数的值域为，故选D.点睛：本题考查了函数的基本性质的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，其中解答中根据函数的图象关于点对称，列出方程组，求的得值是解得关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.8、C【解题分析】分析：根据正投影的概念判断即可.详解：根据正投影的概念判断选C.选C.点睛：本题考查正投影的概念，需基础题.9、D【解题分析】求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即..….这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．∴对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法故选D.10、C【解题分析】分析：根据命题条件逐一排除求解即可.详解：A.若，则,当a为0时此时结论不成立，故错误；B.“”是“”的必要不充分条件，当x=4时成立，故正确结论应是充分不必要；D.“若，则，全为0”的逆否命题是“若，全不为0，则”应该是若，不全为0，故错误，所以综合可得选C点睛：考查对命题的真假判定，此类题型逐一对答案进行排除即可，但注意思考的全面性不可以掉以轻心，属于易错题.11、C【解题分析】

根据给定的程序框图，逐次循环计算，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，第一循环：，能被3整除，不成立，第二循环：，不能被3整除，不成立，第三循环：，不能被3整除，成立，终止循环，输出，故选C．【题目点拨】本题主要考查了程序框图的识别与应用，其中解答中根据条件进行模拟循环计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．12、B【解题分析】分析：首先求由0,1,2,3组成无重复数字的四位数：先排千位数，有种排法，再排另外3个数，有种排法，利用乘法原理能求出组成没有重复数字的四位数的个数；然后求数字0，2相邻的情况：，先把0，2捆绑成一个数字参与排列，再减去0在千位的情况，由此能求出其中数字0，2相邻的四位数的个数．最后，求得0与2不相邻的四位数详解：由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有：．

其中数字0，2相邻的四位数有：则0与2不相邻的四位数有。故选B点睛：本题考查排列数的求法，考查乘法原理、排列、捆绑法，间接法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据反函数的解析式,求得函数的解析式,代入即可求得的值.【题目详解】因为函数的反函数为,且令则所以即函数()所以故答案为:【题目点拨】本题考查了反函数的求法,求函数值,属于基础题.14、【解题分析】

分析：先根据直线与圆相交的关系得出不等式得b的取值范围，然后由概率为建立等式求解即可.详解：圆心到直线的距离：故答案为：点睛：考查直线与圆的位置关系，然后再结合几何概型求解即可.属于中档题.15、540【解题分析】

首先将6个小队分成三组，有三种组合，然后再分配，即可求出结果．【题目详解】（1）若按照进行分配有种方案；（2）若按照进行分配有种方案；（3）若按照进行分配有种方案；由分类加法原理，所以共有种分配方案．【题目点拨】本题主要考查分类加法计数原理，以及排列组合的相关知识应用．易错点是平均分配有重复，注意消除重复．16、【解题分析】

设点的坐标为，根据条件求出动点的轨迹方程，可得知动点的轨迹为圆，然后将问题转化为直线与动点的轨迹圆有公共点，转化为圆心到直线的距离不大于半径，从而列出关于实数的不等式，即可求出实数的值.【题目详解】设点的坐标为，，即，化简得，则动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，由题意可知，直线与圆有公共点，则，解得或.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【题目点拨】本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了利用直线与圆的位置关系求参数，解题的关键就是利用距离公式求出动点的轨迹方程，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】分析：（1）利用项和公式求出数列的通项公式.(2)先化简得，再利用裂项相消法求数列的前项和.详解：(1)由得，当时，，即，又，当时符合上式，所以通项公式为.(2)由（1）可知.点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.18、；.【解题分析】

(1)通过二项分布公式即可得到概率；（2）可能的取值为，分别求出所求概率，于是得到分布列和数学期望.【题目详解】该选手每次答题的正确率都是，四道题答对的情况有种恰答对道题的概率由题可能的取值为，，的分布列如下.【题目点拨】本题主要考查二项分布的运用，数学期望与分布列的相关计算，意在考查学生的分析能力，转化能力，计算能力，难度中等.19、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）根据不等式的特征，分，，，构造，研究其单调性即可.（2）将当时，恒成立，转化为时，恒成立，当时，显然成立，当且时，转化为，，利用（1）的结论求解.【题目详解】（1）当时，原不等式左边与右边相等，当时，原不等式，等价于，令，所以，所以在上递增，，所以，当时，原不等式，等价于，令，所以，所以在上递增，，所以，综上：当时，；（2）因为当时，恒成立，所以当时，恒成立，当时，显然成立，当且时，恒成立，由（1）知当且时，，所以，所以.实数的取值范围是.【题目点拨】本题主要考查导数于函数的单调性研究不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.20、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）根据正三角形性质得AE⊥BC，即得AE⊥AD，再根据PA⊥平面ABCD得AE⊥PA,由线面垂直判定定理得EA⊥平面PAD,即得AE⊥PD；（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面AEF一个法向量，由向量数量积得向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系得结果.【题目详解】（1）连接AC，因为底面ABCD为菱形，所以三角形ABC为正三角形，所以AE⊥BC，又AD//BC，所以AE⊥AD，则又PA⊥平面ABCD，所以AE⊥PA,由线面垂直判定定理得EA⊥平面PAD,所以AE⊥PD（2）过A作AH⊥PD于H，连HE，由（1）得AE⊥平面PAD所以EH⊥PD，即EH=，∵AE=，∴AH=，∴PA=2以A为原点，AE，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，A（0,0,0），E（，0,0），D（0,2,0），C（，1,0），P（0,0,2）∴F（，，1）∵，，∴平面AEF的法向量又，∴所以直线PD与平面AEF所成的角的余弦值为【题目点拨】本题主要考查线面垂直的判定和性质及利用空间向量求