江苏省南通市第一中学2024届数学高二下期末质量检测试题含解析

江苏省南通市第一中学2024届数学高二下期末质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（）A． B． C． D．2．函数的图象大致是()A． B．C． D．3．已知，，则的最小值（）A． B． C． D．4．某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：①从某社区430户高收入家庭，980户中等收入家庭，290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；②从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况；则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是（）A．①用系统抽样，②用简单随机抽样 B．①用系统抽样，②用分层抽样C．①用分层抽样，②用系统抽样 D．①用分层抽样，②用简单随机抽样5．复数A． B． C． D．6．已知函数f（x）＝（3x﹣2）ex+mx﹣m（m≥﹣1），若有且仅有两个整数使得f（x）≤0，则实数m的取值范围是（）A．（，2] B．[，）C．[，） D．[﹣1，）7．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知函数的拐点是，则（）A． B． C． D．18．可表示为（）A． B． C． D．9．利用独立性检验来考虑两个分类变量X与Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．如果k>5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为()P(K2>k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.83A．25% B．95%C．5% D．97.5%10．已知，则不等式的解集为（）A． B． C． D．11．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要条件C．充分条件 D．既不充分也不必要条件12．若实数满足不等式组，则的最大值为（）A．8 B．10 C．7 D．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则展开式中的系数为__________．14．若随机变量，已知，则_____．15．已知向量，若则实数的值为_______．16．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图三所示，则其中每天在校平均开销在元的学生人数为_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）将下列参数方程化为普通方程：（1）（为参数）；（2）（为参数）.18．（12分）已知函数．（1）若，求a的取值范围；（2），，求a的取值范围．19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线C:，直线：，直线：以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线C的参数方程以及直线，的极坐标方程；（2）若直线与曲线C分别交于O、A两点，直线与曲线C交于O、B两点，求△AOB的面积.20．（12分）已知函数的定义域为.（1）求实数的取值范围；（2）设实数为的最大值，若实数满足，求的最小值.21．（12分）下表为2015年至2018年某百货零售企业的年销售额（单位：万元）与年份代码的对应关系，其中年份代码年份-2014（如：代表年份为2015年）。年份代码1234年销售额105155240300（1）已知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测2019年该百货零售企业的年销售额；（2）2019年，美国为遏制我国的发展，又祭出“长臂管辖”的霸权行径，单方面发起对我国的贸易战，有不少人对我国经济发展前景表示担忧.此背景下，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的销售额能否持续增长的看法，随机调查了60为男顾客、50位女顾客，得到如下列联表：持乐观态度持不乐观态度总计男顾客451560女顾客302050总计7535110问：能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为对该百货零售企业的年销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：回归直线方程，0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.87922．（10分）设（Ⅰ）求的单调区间.（Ⅱ）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】点是曲线上任意一点,所以当曲线在点P的切线与直线平行时，点P到直线的距离的最小，直线的斜率为1，由，解得或（舍）.所以曲线与直线的切点为.点到直线的距离最小值是.选C.2、A【解题分析】因为，所以舍去B,D;当时，所以舍C，选A.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．3、C【解题分析】∵向量，,当t=0时，取得最小值.故答案为.4、D【解题分析】

①总体由差异明显的几部分构成时，应选用分层抽样；②总体个体数有限、逐个抽取、不放回、每个个体被抽到的可能性均等，应选用简单随机抽样；∴选D5、C【解题分析】，故选D.6、B【解题分析】

设，利用导数研究其单调性，作出图象，再由恒过定点，数形结合得到答案．【题目详解】设，，则，，，单调递减，，，单调递增，，取最小值，直线过定点，而，，要使有且仅有两个整数使得，则，即实数的取值范围为.故选B项.【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，属于中档题.7、D【解题分析】

遇到新定义问题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，在该题中求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0，即可得到拐点，问题得以解决．【题目详解】解：函数，，，因为方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”，已知函数的“拐点”是，所以，即，故选：．【题目点拨】本题考查导数的运算．导数的定义，和拐点，根据新定义题，考查了函数导函数零点的求法；解答的关键是函数值满足的规律，属于基础题8、B【解题分析】

根据排列数的定义可得出答案．【题目详解】，故选B.【题目点拨】本题考查排列数的定义，熟悉排列数公式是解本题的关键，考查理解能力，属于基础题．9、D【解题分析】∵k＞5.024，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，∴有1-0.025=97.5%的把握认为“X和Y有关系”，

故选D．10、A【解题分析】

利用导数判断出在上递增，而，由此将不等式转化为，然后利用单调性列不等式，解不等式求得的取值范围.【题目详解】由，故函数在上单调递增，又由，故不等式可化为，，得，解得．故选A.【题目点拨】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查对数不等式的解法，属于基础题.11、A【解题分析】

分析两个命题的真假即得，即命题和．【题目详解】为真，但时．所以命题为假．故应为充分不必要条件．故选：A．【题目点拨】本题考查充分必要条件判断，充分必要条件实质上是判断相应命题的真假：为真，则是的充分条件，是的必要条件．12、D【解题分析】

根据约束条件，作出可行域，将目标函数化为，结合图像，即可得出结果.【题目详解】由题意，作出不等式组表示的平面区域如下图所示，目标函数可化为，结合图像可得，当目标函数过点时取得最大值，由解得.此时.选D。【题目点拨】本题主要考查简单的线性规划问题，通常需要作出可行域，转化目标函数，结合图像求解，属于常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、448.【解题分析】由题意可得：,则展开式的通项公式为：，令可得：,则的系数为：.14、0.363【解题分析】

根据随机变量服从正态分布，根据曲线的对称性，得到的值，即可求解.【题目详解】由题意，随机变量服从正态分布，所以图象关于对称，因为，根据曲线的对称性，可得.【题目点拨】本题主要考查了正态分布的对称性的应用，其中解答中熟练应用正态分布曲线的对称性，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15、【解题分析】

由两向量垂直得数量积为0，再代入坐标运算可求得k.【题目详解】由题意可得，代入坐标可得，解得。填。【题目点拨】本题考查用数量积表示两向量垂直及空间向量的坐标运算。16、1【解题分析】分析：由频率分布直方图，得每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为0.3，由此能求出每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数．详解：由频率分布直方图，得：每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为：1﹣（0.01+0.024+0.036）×10=0.3∴每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为500×0.3=1．故答案为1点睛：本题考查频率分布直方图的应用，考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】试题分析：（1）分别分离处参数中的，根据同角三角函数的基本关系式，即可消去参数得到普通方程；（2）由参数方程中求出，代入整理即可得到其普通方程.试题解析：（1）∵，∴，两边平方相加，得，即.（2）∵，∴由代入，得，∴.考点：曲线的参数方程与普通方程的互化.18、(1)．(2)．【解题分析】

（1）f（1）＝|2a+1|﹣|a﹣1|，根据f（1）＞2分别解不等式即可'（2）根据绝对值三角不等式求出f（x）的值域，然后由条件可得f（x）min＞f（y）max﹣6，即﹣3|a|＞3|a|﹣6，解出a的范围．【题目详解】（1）∵f（x）＝|x+2a|﹣|x﹣a|，∴f（1）＝|2a+1|﹣|a﹣1|，∵f（1）＞2，∴，或，或，∴a＞1，或a≤1，或a＜﹣4，∴a的取值范围为；（2）∵||x+2a|﹣|x﹣a||≤|（x+2a）﹣（x﹣a）|＝3|a|，∴f（x）∈[﹣3|a|，3|a|]，∵∀x、y∈R，f（x）＞f（y）﹣6，∴只需f（x）min＞f（y）max﹣6，即﹣3|a|＞3|a|﹣6，∴6|a|＜6，∴﹣1＜a＜1，∴a的取值范围为[﹣1，1]．【题目点拨】本题考查了绝对值不等式的解法和利用绝对值三角不等式求函数的范围，考查了分类讨论和转化思想，属中档题．19、（1）：，：.（2）【解题分析】分析：（1）直接根据圆的参数方程求出曲线C的参数方程，利用极坐标公式求出直线，的极坐标方程.(2)先求出OA,OB,再利用三角形面积公式求的面积.详解：（1）依题意，曲线：，故曲线的参数方程是（为参数），因为直线：，直线：，故，的极坐标方程为：，：.（2）易知曲线的极坐标方程为，把代入，得，所以.把代入，得，所以.所以.点睛：（1）本题主要考查直角坐标方程、参数方程和极坐标的互化，考查极坐标的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)第2问，化成直角坐标也可以解答，但是利用极坐标解答效率更高.20、（1）（2）【解题分析】

（1）由定义域为，只需求解的最小值，即可得实数的取值范围；（2）根据（1）求得实数的值，利用基本不等式即可求解最小值．【题目详解】（1）函数的定义域为.对任意的恒成立，令，则，结合的图像易知的最小值为，所以实数的取值范围.（2）由（1）得，则，所以，，当且仅当，即，，时等号成立，的最小值为.【题目点拨】本题主要考查了含绝对值函数的最值，转化思想和基本不等式的应用，考查了分析能力和计算能力，属于难题.21、(1)；年销售额为367.5万元.(2)不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为对该百货零售企业的年销售额持续增长所持的态度与性别有关.【解题分析】

（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，令求得预测值.（2）根据题目所给数据计算的观测值，故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为对该百货零售企业的年销售额持续增长所持的态度与性别有关.【题目详解】解：（1）由题意得所以所以，所以关于的线性回归方程为由于，所以当时，所以预测2019年该百货零售企业的年销售额为367.5万元.（2）由题可得代入公式得的观测值为：由于，所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为对该百货零售企业的年销售额持续增长所持的态度与性别有关.【题目点拨】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查列联表独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题.22、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）0.【解题分析