2024届山西省朔州市怀仁一中高二数学第二学期期末质量检测试题含解析

2024届山西省朔州市怀仁一中高二数学第二学期期末质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若是离散型随机变量，，，又已知，，则的值为（）A． B． C．3 D．12．通过随机询问111名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男

女

总计

爱好

41

21

31

不爱好

21

21

51

总计

31

51

111

由附表：

1．151

1．111

1．111

2．841

3．325

11．828

参照附表，得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过1．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过1．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”3．某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示：有心脏病无心脏病秃发20300不秃发5450根据表中数据得，由断定秃发与患有心脏病有关，那么这种判断出错的可能性为（）附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．0.1 B．0.05C．0.01 D．0.0014．曲线上一点处的切线方程是（）．A． B．C． D．5．已知椭圆（为参数）与轴正半轴，轴正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，则面积的最大值为（）A． B． C． D．6．某高中举办了一场中学生作文竞赛活动，现决定从参赛选手中选出一等奖一名、二等奖二名、三等奖二名，通过评委会获悉在此次比赛中获奖的学生为3男2女，其中一等奖、二等奖的奖项中都有男生，请计算一下这5名学生不同的获奖可能种数为（）A．12 B．15 C．18 D．217．年平昌冬奥会期间，名运动员从左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为（）A． B． C． D．8．学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为()A．2 B．4 C．6 D．89．已知函数的最小正周期为4π，则（

）A．函数f（x）的图象关于原点对称 B．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D．函数f（x）在区间（0，π）上单调递增10．已知、分别为的左、右焦点，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为（）A． B． C． D．11．有一个奇数列，现在进行如下分组：第一组含一个数；第二组含二个数；第三组含有三个数；第四组数有试观察每组内各数之和与组的编号数有什么关系（）A．等于 B．等于 C．等于 D．等于12．已知函数，则的解集为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线，焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的斜率为，那么的面积为________.14．有甲、乙、丙三项不同任务，甲需由人承担，乙、丙各需由人承担，从人中选派人承担这三项任务，不同的选法共有__________种．（用数字作答）15．已知函数则_______.16．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）宁德市某汽车销售中心为了了解市民购买中档轿车的意向，在市内随机抽取了100名市民为样本进行调查，他们月收入(单位：千元)的频数分布及有意向购买中档轿车人数如下表：月收入[3，4)[4，5)[5，6)[6，7)[7，8)[8，9)频数6243020155有意向购买中档轿车人数212261172将月收入不低于6千元的人群称为“中等收入族”，月收入低于6千元的人群称为“非中等收入族”．（Ⅰ）在样本中从月收入在[3，4)的市民中随机抽取3名，求至少有1名市民“有意向购买中档轿车”的概率.（Ⅱ）根据已知条件完善下面的2×2列联表，并判断有多大的把握认为有意向购买中档轿车与收入高低有关？非中等收入族中等收入族总计有意向购买中档轿车人数40无意向购买中档轿车人数20总计1000.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879附：18．（12分）“初中数学靠练，高中数学靠悟”.总结反思自己已经成为数学学习中不可或缺的一部分，为了了解总结反思对学生数学成绩的影响，某校随机抽取200名学生，抽到不善于总结反思的学生概率是0.6.（1）完成列联表（应适当写出计算过程）；（2）试运用独立性检验的思想方法分析是否有的把握认为学生的学习成绩与善于总结反思有关.统计数据如下表所示：不善于总结反思善于总结反思合计学习成绩优秀40学习成绩一般20合计200参考公式：其中19．（12分）已知函数有两个不同的零点，.（1）求的取值范围；（2）求证：.20．（12分）已知抛物线C：=2px（p>0）的准线方程为x=-,F为抛物线的焦点（I）求抛物线C的方程；（II）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（,2）,求的最小值；（III）若过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于M，N两点，求线段MN的中点坐标．21．（12分）某中学将444名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班54人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验．为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如下图）．记成绩不低于94分者为“成绩优秀”．根据频率分布直方图填写下面4×4列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过4．45的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．

甲班（A方式）

乙班（B方式）

总计

成绩优秀

成绩不优秀

总计

附：K4＝n(ad-bc)P（K4≥k）

4．45

4．45

4．44

4．45

4．445

k

4．444

4．474

4．746

4．844

5．444

22．（10分）已知在的展开式中，第6项为常数项.（1）求；（2）求展开式中所有的有理项.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】分析：由期望公式和方差公式列出的关系式，然后变形求解．详解：∵，∴随机变量的值只能为，∴，解得或，∴．故选D．点睛：本题考查离散型随机变量的期望与方差，解题关键是确定随机变量只能取两个值，从而再根据其期望与方差公式列出方程组，以便求解．2、A【解题分析】

由，而，故由独立性检验的意义可知选A3、D【解题分析】

根据观测值K2，对照临界值得出结论．【题目详解】由题意，，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为.故选D．【题目点拨】本题考查了独立性检验的应用问题，理解临界值表格是关键，是基础题．4、A【解题分析】

求导利用导数的几何意义求出曲线上一点处的切线斜率,再用点斜式写出方程即可.【题目详解】由题.故.故曲线上一点处的切线方程是.化简得.故选：A【题目点拨】本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程.属于基础题.5、B【解题分析】分析：根据椭圆的方程算出A（4，1）、B（1，3），从而得到|AB|=5且直线AB：3x+4y﹣12=1．设点P（4cosθ，3sinθ），由点到直线的距离公式算出P到直线AB距离为d=|sin﹣1|，结合三角函数的图象与性质算出dmax=（），由此结合三角形面积公式，即可得到△PAB面积的最大值．详解：由题得椭圆C方程为：，∴椭圆与x正半轴交于点A（4，1），与y正半轴的交于点B（1，3），∵P是椭圆上任一个动点，设点P（4cosθ，3sinθ）（θ∈[1，2π]）∴点P到直线AB：3x+4y﹣12=1的距离为d==|sin﹣1|，由此可得：当θ=时，dmax=（）∴△PAB面积的最大值为S=|AB|×dmax=6（）.点睛：(1)本题主要考查椭圆的参数方程和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)对于|sin﹣1|，不是sin=1时，整个函数取最大值，而应该是sin=-1，要看后面的“-1”.6、B【解题分析】

一等奖为男生，则从3个男生里选一个；二等奖有男生，可能是一男一女，可能是两男；剩下的即为三等奖的学生，依照分析求组合数即可【题目详解】由题可知，一等奖为男生，故；二等奖可能为2个男生或1个男生，1个女生，故故获奖可能种数为，即选B【题目点拨】本题考查利用排列组合解决实际问题，考查分类求满足条件的组合数7、C【解题分析】分析：根据题意，分两种情况讨论：①最左边排甲；②最左边排乙，分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类计数原理计算即可得到答案.详解：根据题意，最左端只能排甲或乙，则分两种情况讨论：①最左边排甲，则剩下4人进行全排列，有种安排方法；②最左边排乙，则先在剩下的除最右边的3个位置选一个安排甲，有3种情况，再将剩下的3人全排列，有种情况，此时有种安排方法，则不同的排法种数为种.故选：C.点睛：解决排列类应用题的策略(1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．(2)分排问题直排法处理．(3)“小集团”排列问题中先集中后局部的处理方法．8、A【解题分析】

先排1,2，再将3、4插空，用列举法，即可得出结果.【题目详解】先排好1、2，数字3、4插空，排除相邻学号，只有2种排法：3142、1．故选A【题目点拨】本题主要考查计数原理，熟记概念即可，属于基础题型.9、C【解题分析】分析：函数的最小正周期为4π，求出，可得的解析式，对各选项进行判断即可.详解：函数的最小正周期为4π，，，，由对称中心横坐标方程：，可得，A不正确；由对称轴方程：，可得，B不正确；函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位，可得：，图象关于原点对称，C正确；令，可得：，函数f（x）在区间（0，π）上不是单调递增，D不正确；故选C.点睛：本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，注意图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．10、A【解题分析】

由中垂线的性质得出，利用圆的切线长定理结合双曲线的定义得出，可得出的值，再结合的值可求出双曲线的离心率的值.【题目详解】如图所示，由题意，，由双曲线定义得，由圆的切线长定理可得，所以，，，即，所以，双曲线的离心率，故选：A.【题目点拨】本题考查双曲线离心率的求解，同时也考查了双曲线的定义以及圆的切线长定理的应用，解题时要分析出几何图形的特征，在出现焦点时，一般要结合双曲线的定义来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11、B【解题分析】第组有个数，第组有个数，所以前组的数字个数是，那么前组的数字和是，所以前组的数字个数是，那么前组的数字和是，那么第组的数字和是，故选B.12、C【解题分析】

根据分段函数的表达式，讨论当和时，不等式的解，从而得到答案。【题目详解】因为，由，得：①或②；解①得;；解②得：；所以的解集为；故答案选C【题目点拨】本题考查指数不等式与对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：首先根据题中所给的抛物线的方程，求得抛物线的准线方程和焦点坐标，设出A点的坐标，根据两点斜率坐标公式求得，从而得到，代入抛物线的方程，求得对应的横坐标，之后求得相应的线段的长度，根据面积公式求得三角形的面积.详解：因为，所以准线，因为，垂足为，所以设，因为，所以，所以，所以，把代入中，得，所以，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关抛物线的定义和有关性质的问题，以及直线与抛物线相交的问题，在解题的过程中，需要对相应的公式和结论要熟记并能熟练地应用，从而求得结果.14、60【解题分析】分析：先从5人中选4人（组合），再给4个人分派3项任务，甲需2人，乙、丙各需由人。详解：先从5人中选4人（组合），再给4个人分派3项任务，甲需2人，乙、丙各需由人（乙、丙派的人不一样故要排列）。共有60种。点睛：分配问题，先分组（组合）后分派（排列）。15、6【解题分析】

根据分段函数的分段定义域分析代入直至算出具体函数值即可.【题目详解】由题意知.故答案为6【题目点拨】本题主要考查分段函数求值的问题,属于基础题型.16、【解题分析】

作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由题设，B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，所以BE=CE.取BC中点F，连接EF，则EF⊥BC，EF=2，，四面体ABCD的体积，显然，当E在AD中点，即B是短轴端点时，BE有最大值为b=，所以.[评注]本题把椭圆拓展到空间，对缺少联想思维的考生打击甚大！当然，作为填空押轴题，区分度还是要的，不过，就抢分而言，胆大、灵活的考生也容易找到突破点：AB=BD(同时AC=CD)，从而致命一击，逃出生天！三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)；(Ⅱ)90%的把握认为有意向购买中高档轿车与收入高低有关【解题分析】

（Ⅰ）解法1：利用古典概型概率公式计算出“至少有名市民有意向购买者中档轿车”的对立事件“没有市民愿意购买中档轿车”的概率，然后利用对立事件的概率公式计算出所求事件的概率；解法2：将事件“至少有名市民购买中档轿车”分为两个基本事件，分别利用古典概型概率公式计算出这两个基本事件的概率，再将两个概率相加可得出答案；（Ⅱ）列出列联表，并计算出的观测值，利用临界值表找出犯错误的概率，即可下结论．【题目详解】（Ⅰ）记“至少有1名市民有意向购买中档轿车”为事件A.解法1：；解法2：，所以至少有1名市民“有意向购买中档轿车”的概率；（Ⅱ）完善下面的2×2列联表如下：非中等收入族中等收入族总计有意向购买中档轿车402060无愿向购买中档轿车202040总计6040100，故有90%的把握认为有意向购买中高档轿车与收入高低有关．如果学生答案如下也可得分：没有充分的证据表明有意向购买中高档轿车与收入高低有关．【题目点拨】本题考查古典概型概率的计算，考查独立性检验，在求解含有“至少”的事件的概率中，可以采用对立事件的概率来简化计算，同时也考查了独立性检验思想的应用，考查计算能力，属于中等题．18、（1）见解析（2）有，分析见解析【解题分析】

(1)根据已知抽取的学生人数为200名,抽到不善于总结反思的学生概率是0.6,即可求出抽到不善于总结反思的学生人数为,进而可求得其他数据,完善列联表即可.(2)由(1)可得列联表,根据公式计算出后可得结论.【题目详解】(1)由抽取的学生人数为200名,抽到不善于总结反思的学生概率是0.6,抽到不善于总结反思的学生人数为,进而可求其他数据,完善表格如下.列联表：不善于总结反思善于总结反思合计学习成绩优秀4060100学习成绩一般8020100合计12080200所以有的把握认为学生的学习成绩与善于总结反思有关.【题目点拨】本题主要考查了2×2列联表,考查独立性检验,考查了学生的计算能力,难度较易.19、（1）；（2）见解析【解题分析】分析：（1）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间，从而求出的范围即可；（2）构造函数，则可证当时，在上，有，即.将代入上面不等式中即可证明.详解：（1），若，则，在上单调递增，至多有一个零点，舍去；则必有，得在上递减，在上递增，要使有两个不同的零点，则须有．（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当时，；当时，）.（2）构造函数，则.当时，，但因式的符号不容易看出，引出辅助函数，则，得在上，当时，，即，则，即，，得在上，有，即.将代入上面不等式中得，又，，在上，故，.点睛：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了数形结合的思想应用，属于难题．20、（Ⅰ）（II）4（III）线段MN中点的坐标为（）【解题分析】

（I）由准线方程求得，可得抛物线标准方程．（