2024届辽宁省抚顺德才高级中学高二数学第二学期期末综合测试试题含解析

2024届辽宁省抚顺德才高级中学高二数学第二学期期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数在上有小于的极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2．若函数至少有1个零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．3．若实数x、y的取值如表，从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为y=3.5x12345y27812mA．15 B．16 C．16.2 D．174．（）A．＋2 B．＋4 C．＋2 D．＋45．如图，在ΔABC中，AN=12AC，P是A．14 B．1 C．126．设函数，若，则实数a的值为（）A． B． C．或 D．7．函数的图象大致为A． B． C． D．8．已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线a，b满足a⊄α,b⊄β，则“a∥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．若随机变量服从正态分布在区间上的取值概率是0.2，则在区间上的取值概率约是()A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.810．已知实数成等差数列,且曲线取得极大值的点坐标为,则等于（）A．-1 B．0 C．1 D．211．下列命题中，真命题是（）A． B．C．的充要条件是 D．是的充分条件12．已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数且，则____．14．已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆上任意一点，点的坐标为，则取最大值时，点的坐标为．15．将三项式展开，当时，得到以下等式：……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数.若在的展开式中，项的系数为75，则实数a的值为.16．如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点（包括边界），且，则的最小值为____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）若不等式在上有解，求的取值范围；（2）若对任意的均成立，求的最小值.18．（12分）已知椭圆：的离心率为，短轴长为1．（1）求椭圆的标准方程；（1）若圆：的切线与曲线相交于、两点，线段的中点为，求的最大值．19．（12分）若的展开式中，第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（1）求的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？20．（12分）椭圆过点，离心率为，左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点．（1）求椭圆的方程；（2）当的面积为时，求直线的方程．21．（12分）在平面直角坐标系中，曲线C:，直线：，直线：以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线C的参数方程以及直线，的极坐标方程；（2）若直线与曲线C分别交于O、A两点，直线与曲线C交于O、B两点，求△AOB的面积.22．（10分）已知复数．（1）求实数的值；（2）若，求的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

先对函数求导，令导函数等于0，在上有小于的极值点等价于导函数有小于0的根．【题目详解】由因为在上有小于的极值点，所以有小于0的根，由的图像如图：可知有小于0的根需要，所以选择B【题目点拨】本题主要考查了利用导数判断函数极值的问题．属于基础题．2、C【解题分析】

令，则函数至少有1个零点等价于函数至少有1个零点，对函数求导，讨论和时，函数的单调性，以及最值的情况，即可求出满足题意的实数的取值范围。【题目详解】由题可得函数的定义域为；令，则，函数至少有1个零点等价于函数至少有1个零点；；（1）当时，则在上恒成立，即函数在单调递增，当时，，当时，，由零点定理可得当时，函数在有且只有一个零点，满足题意；（2）当时，令，解得：，令，解得：，则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，所以要使函数至少有1个零点，则，解得：综上所述：实数的取值范围是：故答案选C【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的零点个数的问题，由导数研究函数的单调区间以及最值是解题的关键，属于中档题。3、D【解题分析】

计算出样本的中心点x,y，将该点的坐标代入回归直线方程可得出【题目详解】由表格中的数据可得x=1+2+3+4+55由于回归直线过点x,y，所以，3.5×3-1.3=m+295【题目点拨】本题考查回归直线的基本性质，在解回归直线相关的问题时，熟悉结论“回归直线过样本的数据中心点x,4、A【解题分析】

根据题意，先利用定积分性质可得，，然后利用微积分基本定理计算，利用定积分的几何意义计算，即可求出答案。【题目详解】因为，，，所以，故选A。【题目点拨】本题主要考查利用定积分的性质、几何意义以及微积分基本定理计算定积分。5、C【解题分析】

以AB,AC作为基底表示出【题目详解】∵P，N分别是∴AP=又AP=mAB+【题目点拨】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．6、B【解题分析】分析：根据分段函数分成两个方程组求解，最后求两者并集.详解：因为，所以所以选B.点睛：求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.7、B【解题分析】由于,故排除选项.,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除选项.,排除选项,故选B.8、D【解题分析】

分别判断充分性和必要性得到答案.【题目详解】如图所示：既不充分也不必要条件.故答案选D【题目点拨】本题考查了充分必要条件，举出反例可以简化运算.9、A【解题分析】

根据正态分布曲线的对称性可知，在区间上的取值概率是0.2，可得在区间上的取值概率是0.6，从而可得在区间上的取值概率。【题目详解】解：据题设分析知，因为随机变量服从正态分布且，根据对称性可得，所求概率，故选A.【题目点拨】本题考查了正态分布的应用，解题的关键是熟知正态曲线是关于对称，在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1等正态密度曲线图象的特征.10、B【解题分析】由题意得，，解得由于是等差数列，所以，选B.11、D【解题分析】A：根据指数函数的性质可知恒成立，所以A错误．

B：当时，，所以B错误．

C：若时，满足，但不成立，所以C错误．D：则，由充分必要条件的定义，，是的充分条件，则D正确．

故选D．12、D【解题分析】

构造函数，利用函数导数判断函数的单调性，将代入函数，根据单调性选出正确的选项.【题目详解】构造函数，依题意，故函数在定义域上为增函数，由得，即，排除A选项.由得，即，排除B选项.由得，即，排除C，选项.由得，即，D选项正确，故选D.【题目点拨】本小题主要考查构造函数法比较大小，考查函数导数的概念，考查函数导数运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

分别令和代入函数解析式，对比后求得的值.【题目详解】依题意①，②，由①得，代入②得.故填-2【题目点拨】本小题主要考查函数求值，考查对数运算，考查分子有理化，考查运算求解能力，属于基础题.14、【解题分析】试题分析：椭圆的左焦点为，右焦点为，根据椭圆的定义，，∴，由三角形的性质，知，当是延长线与椭圆的交点时，等号成立，故所求最大值为．考点：椭圆的定义，三角形的性质．15、2【解题分析】试题分析：根据题意可知的展开式为，所以的展开式中项是由两部分构成的，即，所以，解得：。考点：二项式定理及其应用。16、【解题分析】

根据题意，可知，即求的最小值.在侧面内找到满足平面且最小的点即可.【题目详解】由题得，取中点H，中点G，连结，，GH，，平面，，平面，平面平面，平面，故平面，又平面，则点F在两平面交线直线GH上，那么的最小值是时，，则为最小值.【题目点拨】本题考查空间向量以及平面之间的位置关系，有一定的综合性.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

（1）先求的最大值，然后通过不等式寻找的范围．（2）由（1）知当时，,这样可得，于是由且，得，可放大为，放缩的目的是为了和可求．因此的范围可得．【题目详解】（1），由定理可知，函数的单调递增区间为，递减区间为.故，由题意可知，当，解得，故；当，由函数的单调性，可知在恒单调增，且恒大于零，故无解；综上：；(2)当时，,,，且，，，，的最小值为.【题目点拨】本题考查用导数研究证明不等式，研究不等式恒成立问题．解题中一要求有较高的转化与化归能力，二要求有较高的运算求解能力．第（1）小题中在解不等式时还要用到分类讨论的思想，第（2）小题用到放缩法，而且这里的放缩的理论根据就是由第（1）小题中函数的性质确定的，发现问题解决问题的能力在这里要求较高，本题难度较大．18、（1）；（1）【解题分析】试题分析:(1)待定系数法求椭圆方程;(1)借助韦达定理表示的最大值,利用二次函数求最值.试题解析:（I），所以,又，解得．所以椭圆的标准方程．（II）设，，，易知直线的斜率不为，则设．因为与圆相切，则，即；由消去，得，则，，，，即，，设，则，，当时等号成立，所以的最大值等于．19、【解题分析】试题分析：（1）根据二项式定理可知，展开式中的每一项系数即为二项式系数，所以第二项系数为，第三项系数为，第四项系数为，由第二、三、四项系数成等差数列可有：，即，整理得：，解得：，因此，；（2）的展开式中的通项公式为，展开式中的常数项即，所以，与不符，所以展开式中不存在常数项。本题主要考查二项式定理展开式及通项公式。属于基本公式的考查，要求学生准确掌握公式，并能熟练运用公式解题。试题解析：（1）由，得：；化简得：，解得：，因此，（2）由，当时，，所以此展开式中不存在常数项．考点：1．二项式定理；2．等差中项。20、（1）；（2）或．【解题分析】

（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆C的方程．

（2）由（1）知F1（-1，0），①当l的倾斜角是时，,不合题意；当l的倾斜角不是时，设l的方程为，由消去y得：，设A（x1，y1），B（x2，y2），由此利用韦达定理能求出直线l的方程．【题目详解】（1）椭圆过点离心率为又,解得椭圆C的方程.（2）由（1）知，①当l的倾斜角是时，l的方程为，交点，此时,不合题意；②当l的倾斜角不是时，设l的斜率为k,则其直线方程为，由消去y得：，设，则，，又已知,解得，故直线l的方程为，即或．【题目点拨】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和函数与方程思想的合理运用．21、（1）：，：.（2）【解题分析】分析：（1）直接根据圆的参数方程求出曲线C的参数方程，利用极坐标公式求出直线，的极坐标方程.(2)先求出OA,OB,再利用三角形面积公式求的面积.详解：（1）依题意，曲线：，故曲线的参数方程是（为参数），因为直线：，直线：，故，的极坐标方程为：，：.（2）易知曲线的极坐标方程为，把代入，得，所以.把代入，得，所以.所以.点睛：（1）本题主要考查直角坐标方程、参数方程和极坐标的互化，考查极坐标的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)第2问，化成直角坐标也可以解答，但是利用极坐标解答效率更高