天津市英华中学2024届数学高二下期末学业水平测试模拟试题含解析

天津市英华中学2024届数学高二下期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数y=sin2x的图象可能是A． B．C． D．2．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（）A． B． C． D．3．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数（）A． B． C．0 D．14．用四个数字1,2,3,4能写成（）个没有重复数字的两位数.A．6 B．12 C．16 D．205．已知集合，，则为（）A． B． C． D．6．已知集合，，则集合（）A． B． C． D．7．已知函数在上可导且满足，则下列一定成立的为A． B．C． D．8．设集合，则（）A． B． C． D．9．若对任意的，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．10．若，，，则（）A． B．C． D．11．已知集合，集合，则集合的子集个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知是离散型随机变量，，，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若实数x，y满足，则的最大值为__________；14．函数的定义域是__________．15．由0，1，2，…，9十个数字组成的无重复数字的三位数共______个16．一个袋子里装有大小形状完全相同的个小球，其编号分别为甲、乙两人进行取球，甲先从袋子中随机取出一个小球，若编号为，则停止取球；若编号不为，则将该球放回袋子中．由乙随机取出个小球后甲再从袋子中剩下的个小球随机取出一个，然后停止取球，则甲能取到号球的概率为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的首项为1.记.（1）若为常数列，求的值：（2）若为公比为2的等比数列，求的解析式：（3）是否存在等差数列，使得对一切都成立？若存在，求出数列的通项公式：若不存在，请说明理由.18．（12分）2021年，广东省将实施新高考，2018年暑期入学的高一学生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用模式，其中“3”是指语文、数学、外语；“1”是指在物理和历史中必选一科（且只能选一科）；“2”是指在化学，生物，政治，地理四科中任选两科.为积极推进新高考，某中学将选科分为两个环节，第一环节：学生在物理和历史两科中选择一科；第二环节：学生在化学，生物，政治，地理四科中任选两科.若一个学生两个环节的选科都确定，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定.该学校为了解高一年级1000名学生选考科目的意向，随机选取50名学生进行了一次调查，这50人第一环节的选考科目都确定，有32人选物理，18人选历史；第二环节的选考科目已确定的有30人，待确定的有20人，具体调查结果如下表：选考方案确定情况化学生物政治地理物理选考方案确定的有18人161154选考方案待确定的有14人5500历史选考方案确定的有12人35412选考方案待确定的有6人0032（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治的学生有多少人？（2）从选考方案确定的12名历史选考生中随机选出2名学生，设随机变量，求的分布列及数学期望.（3）在选考方案确定的18名物理选考生中，有11名学生选考方案为物理、化学、生物，试问剩余7人中选考方案为物理、政治、地理的人数.（只需写出结果）19．（12分）已知抛物线的焦点为，圆：与轴的一个交点为，圆的圆心为，为等边三角形.求抛物线的方程；设圆与抛物线交于两点，点为抛物线上介于两点之间的一点，设抛物线在点处的切线与圆交于两点，在圆上是否存在点，使得直线均为抛物线的切线，若存在求出点坐标（用表示）；若不存在，请说明理由.20．（12分）（1）化简：；（2）若、为锐角，且，，求的值．21．（12分）某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响，部分统计数据如下表：使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218总计201030（Ⅰ）根据以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响？（Ⅱ）从学习成绩优秀的12名同学中，随机抽取2名同学，求抽到不使用智能手机的人数的分布列及数学期望.参考公式：，其中参考数据：0.050,。0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程：（Ⅱ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．2、D【解题分析】

试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a为双曲线的长轴长)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四边形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2)2，∴a＝，∴e＝＝.考点：椭圆的几何性质．3、A【解题分析】因为是纯虚数，4、B【解题分析】

根据题意，由排列数公式计算即可得答案.【题目详解】根据题意，属于排列问题，则一共有种不同的取法.即共有12个没有重复数字的两位数.故选B.【题目点拨】本题考查排列数公式的应用，注意区分排列、组合、放回式抽取和不放回抽取的不同.5、A【解题分析】

利用集合的交集运算进行求解即可【题目详解】由题可知集合中，集合中求的是值域的取值范围，所以的取值范围为答案选A【题目点拨】求解集合基本运算时，需注意每个集合中求解的是x还是y,求的是定义域还是值域，是点集还是数集等6、B【解题分析】

由并集的定义求解即可.【题目详解】由题,则,故选:B【题目点拨】本题考查集合的并集运算,属于基础题.7、A【解题分析】易知在上恒成立，在上单调递减，又.本题选择C选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.8、C【解题分析】

先求，再求【题目详解】,故选C.【题目点拨】本题考查了集合的并集和补集，属于简单题型.9、C【解题分析】

令f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|，然后将f（x）化成分段函数，则m的最大值为f（x）的最小值．【题目详解】设F(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝如图所示，F(x)min＝－－3＝－.故m≤F(x)min＝－.【题目点拨】本题考查了绝对值在分段函数中的应用，正确去掉绝对值符号是关键．10、C【解题分析】

直接由微积分基本定理计算出可得．【题目详解】因为，，，所以，故选：C.【题目点拨】本题考查微积分基本定理，掌握基本初等函数的积分公式是解题关键．11、D【解题分析】

因为直线与抛物线有两个交点，可知集合的交集有2个元素，可知其子集共有个.【题目详解】由题意得，直线与抛物线有2个交点，故的子集有4个.【题目点拨】本题主要考查了集合的交集运算，子集的概念，属于中档题.12、A【解题分析】分析：由已知条件利用离散型随机变量的数学期望计算公式求出a，进而求出，由此即可求出答案.详解：是离散型随机变量，，，，由已知得，解得，，.故选：A.点睛：本题考查离散型随机变量的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望和方差计算公式的合理运用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解题分析】

作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移此直线可得最优解。【题目详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，向上平移直线，增大，当直线过点时，取得最大值3。故答案为：3。【题目点拨】本题考查简单的线性规划，解题方法是作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移此直线可得最优解。14、【解题分析】分析：根据分母不为零得定义域.详解：因为，所以,即定义域为.点睛：求具体函数定义域，主要从以下方面列条件：偶次根式下被开方数非负，分母不为零，对数真数大于零，实际意义等.15、648【解题分析】

首先考虑百位不为，得到百位的情况数，再利用排列得到十位与个位的情况数，通过分步计数原理，得到答案.【题目详解】因为百位不能为，所以百位共有种情况，再在剩下的个数中，任选个安排在十位与个位，有种情况，根据分步计数原理可得，符合要求的三位数有个.故答案为：.【题目点拨】本题考查排列的应用，分步计数原理，属于简单题.16、【解题分析】

通过分析，先计算甲在第一次取得编号为1的概率，再计算甲在第二次取得编号为1的概率，两者相加即为所求.【题目详解】甲在第一次取得编号为1的概率为；甲在第二次取得编号为1的概率为，于是所求概率为，故答案为.【题目点拨】本题主要考查概率的相关计算，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度中等.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）存在等差数列满足题意，【解题分析】

(1)根据常数列代入其值得解；(2)根据等比数列和用赋值法解决二项式展开式的相关问题求解；(3)对于开放性的问题先假设存在等差数列，再推出是否有恒成立的结论存在，从而得结论.【题目详解】解：（1）∵为常数列，∴.∴（2）∵为公比为2的等比数列，.∴∴故.（3）假设存在等差数列，使得对一切都成立，设公差为，则相加得∴.∴恒成立，即恒成立，∴故能为等差数列，使得对一切都成立，它的通项公式为【题目点拨】本题关键在于观察所求式子的特征运用二项式展开式中的赋值法的思想，属于难度题.18、（1）180；（1）；（3）1人.【解题分析】

（1）利用分层抽样原理求得对应的学生人数；（1）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率，写出的分布列，计算数学期望值；（3）由化学中去除11人后余5人，结合选政治和地理的人数，可得所求．【题目详解】（1）由数据可知，选考方案确定的18名物理选考生中确定选考政治的有5人，选考方案确定的11名历史选考生中确定选考政治的有4人所以，估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治的学生有人（1）由数据可知，选考方案确定的11名历史考生中有3人选考化学、地理；有5人选考生物、地理；有4人选考政治、地理.由已知得的所有取值为0，1，则所以的分布列为01所以数学期望.（3）剩余7人中选考方案为物理、政治、地理的人数为1．【题目点拨】本题考查了分层抽样的计算，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是中档题．19、；存在,.【解题分析】

(1)由题意，从而求得抛物线方程；（2）设，可设出切线方程及，并设出过点的直线与抛物线相切，从而联立抛物线知，同理，可表示过点N的切线，从而计算两直线相交的交点，于是可得答案.【题目详解】是等边三角形，原点为中点，半径圆，半径，抛物线设，过点作抛物线的两条切线（异于直线）交于点，并设切线，由替换法则，抛物线在点处的切线方程为即记①设过点的直线与抛物线相切，代入抛物线方程得，即根据韦达定理，由①可得，②同理可得，切线③④联立与圆可得，韦达定理可得，联立③、④并代入可求得，代入③可求得.所以即切线的交点在圆上，故存在圆上一点满足均为抛物线的切线.【题目点拨】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力，分析能力，转化能力，难度较大.20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用诱导公式对代数式进行化简即可；（2）根据，得出、的取值范围，利用同角三角函数的基本关系计算出和，再利用两角差的余弦公式得出的值.【题目详解】（1）；（2）因为、为锐角，且，，，，所以，，.【题目点拨】本题考查诱导公式化简，考查利用两角差的余弦公式求值，解题时