《1.3 空间向量及其运算的坐标表示》课件与同步练习

第一课时空间直角坐标系第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示复习引入共线向量定理:共面向量定理:单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用{}表示空间向量的基本定理：

若是空间的一个基底，是空间任意一向量，存在唯一的实数组使．

xyze1e2e3O学习新知空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底,以点O为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O--xyz

点O叫做原点，向量都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面。它们把空间分成八个部分画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45),∠yOz=90°.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，本书建立的坐标系都是右手直角坐标系。xyzOA(x,y,z)ijk

此时向量OA的坐标恰是点A在直角坐标系Oxyz中的坐标A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点P的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.学习新知在空间直角坐标系Oxyz中（如图),为坐标向量，对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使在单位正交基底也就是说,以O为起点的有向线段(向量)的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化.xyzOA(x,y,z)jki学习新知

在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一向量,作(如图),由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使有序实数组(x,y,z),叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作＝(x,y,z).学习新知1、在空间坐标系Oxyz中，(分别是与x轴、y轴、z轴的正方向相同的单位向量)则的坐标为

，点B的坐标为

。2、点M（2,-3,-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为

，关于原点的对称点为

，关于x轴的对称点为

，关于y轴的对称点为

，关于z轴的对称点为

，（2,-3,0）（2,0,-4）（0,-3,-4）（-2,3,4）（2,3,4）（-2,-3,4）（-2,3,-4）(1,-2,-3)不确定巩固练习例题讲评例题讲评求某点P的坐标的方法：先找到点P在xOy平面上的射影M，过点M向x轴作垂线，确定垂足N.其中|ON|，|NM|，|MP|即为点P坐标的绝对值，再按O→N→M→P确定相应坐标的符号与坐标轴同向为正，反向为负，即可得到相应的点P的坐标．巩固练习在正三棱柱ABC－A1B1C1中AB＝2，AA1＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，写出各顶点及下列向量的坐标.巩固练习1.点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为（）A.(－1,0,1),(－1,2,0)B.(－1,0,0),(－1,2,0)C.(－1,0,0),(－1,0,0)D.(－1,2,0),(－1,2,0)达标练习解析：点A在x轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0,在xOy平面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0,故应选B.2．点P(1,－2,5)到xOy平面的距离为()A.1 B.2C.－2 D.5D达标练习3．已知正四棱锥P­ABCD的底面边长为

，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标．能力训练如图所示，已知三棱锥P-ABC中，PA=PC,∠APC=∠ACB=90°,且∠BAC=30°,且平面PAC⊥平面ABC,建立适当的坐标系，写出每一个顶点的坐标.解：分别取AC、AB的中点为H、D,连接PH,HD,∵PA=PC,∴PH⊥AC又平面PAC⊥平面ABC,交线为AC,PH在平面PAC内，∴PH⊥平面ABC.又BC⊥AC,∴HD⊥AC.第二课时空间向量运算的坐标表示系1.3空间向量及其运算的坐标表示1．空间向量的基本定理：

若是空间的一个基底，是空间任意一向量，存在唯一的实数组使．

2．空间直角坐标系：

（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底

(2)在空间选定一点

和一个单位正交基底

，以点

为原点，分别以

的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系

,点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；

复习引入3．空间直角坐标系中的坐标：

如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量,则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作．在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，

记作

，

叫横坐标，

叫纵坐标，

叫竖坐标．

复习引入xyzOA(x,y,z)ijk向量的直角坐标运算学习新知设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基底，进而确定各向量的坐标。学习新知例1．已知

解:例题讲评1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。三．距离与夹角在空间直角坐标系中，已知、，则学习新知2.两个向量夹角公式注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。思考：当及时，夹角在什么范围内？学习新知1.求下列两个向量的夹角的余弦：2.求下列两点间的距离：巩固练习例2已知A(3,3,1)、B(1,0,5),求：（1）线段AB的中点坐标和长度；解：设是的中点，则∴点的坐标是.

例题讲评例2已知A(3,3,1)、B(1,0,5),求：例题讲评（2）到A,B两点距离相等的点P(x,y,z,)的坐标x,y,z满足的条件。解：点到的距离相等，则化简整理，得即到两点距离相等的点的坐标满足的条件是解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则

例3如图,在正方体中，，求与所成的角的余弦值.

例题讲评例题讲评证明:设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系xyzA1D1C1B1ACBDFE例题讲评达标练习达标练习练习3已知垂直于正方形所在的平面,分别是的中点,并且,求证:证明:分别以为坐标向量建立空间直角坐标系则达标练习达标练习练习4：如图，已知线段AB⊂α，AC⊥α，BD⊥AB，DE⊥α

，∠DBE=30º，如果AB=6，AC=BD=8，求CD的长及异面直线CD与AB