河南省信阳市普通高中2024届数学高二第二学期期末联考试题含解析

河南省信阳市普通高中2024届数学高二第二学期期末联考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，那么（）A．20 B．30 C．42 D．722．已知点与抛物线的焦点的距离是，则的值是（）A． B． C． D．3．设随机变量，，则（）A． B． C． D．4．已知函数在处取极值10，则（）A．4或 B．4或 C．4 D．5．下列求导计算正确的是（）A． B． C． D．6．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（）A． B． C． D．7．设A，B，C是三个事件，给出下列四个事件：（Ⅰ）A，B，C中至少有一个发生；（Ⅱ）A，B，C中最多有一个发生；（Ⅲ）A，B，C中至少有两个发生；（Ⅳ）A，B，C最多有两个发生；其中相互为对立事件的是（）A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅲ C．Ⅲ和Ⅳ D．Ⅳ和Ⅰ8．若，则（）A．8 B．7 C．6 D．59．函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数可能为（）A． B．C． D．10．的展开式中的系数为A．10 B．20 C．40 D．8011．已知，，，则的大小关系为()．A． B． C． D．12．在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换公式是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中，直线与抛物线所围成的封闭图形的面积为（）．14．如图，在一个底面边长为cm的正六棱柱容器内有一个半径为cm的铁球，现向容器内注水，使得铁球完全浸入水中，若将铁球从容器中取出，则水面下降______cm.15．正方体ABCD-A1B1C1D16．课本中，在形如……的展开式中，我们把）叫做二项式系数，类似地在…的展开式中，我们把叫做三项式系数，则……的值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设a∈R，函数f（1）当a=1时，求fx在3（2）设函数gx=fx+ax-1-e1-x，当g18．（12分）已知的展开式中，前三项系数成等差数列.（1）求含项的系数；（2）将二项式的展开式中所项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率．19．（12分）在直角坐标系中，直线，圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积．20．（12分）某球员是当今国内最好的球员之一，在赛季常规赛中，场均得分达分。分球和分球命中率分别为和，罚球命中率为.一场比赛分为一、二、三、四节，在某场比赛中该球员每节出手投分的次数分别是，，，，每节出手投三分的次数分别是，，，，罚球次数分别是，，，（罚球一次命中记分）。（1）估计该球员在这场比赛中的得分（精确到整数）；（2）求该球员这场比赛四节都能投中三分球的概率；（3）设该球员这场比赛中最后一节的得分为，求的分布列和数学期望。21．（12分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球.规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分.现从盒内任取3个球（Ⅰ）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（Ⅲ）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列.22．（10分）已知抛物线：的焦点为，过作互相垂直的直线,分别与交于点、和、.（1）当的倾斜角为时，求以为直径的圆的标准方程；（2）问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

通过计算n，代入计算得到答案.【题目详解】答案选B【题目点拨】本题考查了排列数和组合数的计算，属于简单题.2、B【解题分析】

利用抛物线的焦点坐标和两点间的距离公式，求解即可得出的值.【题目详解】由题意可得抛物线的焦点为，因为点到抛物线的焦点的距离是5.所以解得.故选:B.【题目点拨】本题主要考查抛物线的标准方程和性质，还结合两点间距离公式求解.3、A【解题分析】

根据正态分布的对称性即可求得答案.【题目详解】由于，故，则，故答案为A.【题目点拨】本题主要考查正态分布的概率计算，难度不大.4、C【解题分析】分析：根据函数的极值点和极值得到关于的方程组，解方程组并进行验证可得所求．详解：∵，∴．由题意得，即，解得或．当时，，故函数单调递增，无极值．不符合题意．∴．故选C．点睛：（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．（2）对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值．5、B【解题分析】

根据函数求导法则得到相应的结果.【题目详解】A选项应为，C选项应为，D选项应为.故选B．【题目点拨】这个题目考查了函数的求导运算，牢记公式，准确计算是解题的关键，属于基础题.6、C【解题分析】分析：根据正态曲线的对称性求解即可.详解：根据正态曲线的对称性，每个收费口超过辆的概率，这三个收费口每天至少有一个超过辆的概率，故选C.点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.7、B【解题分析】

利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．【题目详解】解：，，是三个事件，给出下列四个事件：（Ⅰ），，中至少有一个发生；（Ⅱ），，中最多有一个发生；（Ⅲ），，中至少有两个发生（Ⅳ），，最多有两个发生；在中，Ⅰ和Ⅱ能同时发生，不是互斥事件，故中的两个事件不能相互为对立事件；在中，Ⅱ和Ⅲ既不能同时发生，也不能同时不发生，故中的两个事件相互为对立事件；在中，Ⅲ和Ⅳ能同时发生，不是互斥事件，故中的两个事件不能相互为对立事件；在中，Ⅳ和Ⅰ能同时发生，不是互斥事件，故中的两个事件不能相互为对立事件．故选：．【题目点拨】本题考查相互为对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．8、D【解题分析】

由得，即，然后即可求出答案【题目详解】因为，所以所以即，即解得故选：D【题目点拨】本题考查的是排列数和组合数的计算，较简单.9、D【解题分析】

根据函数的单调性判断出导函数函数值的符号，然后结合所给的四个选项进行分析、判断后可得正确的结论．【题目详解】由图象可知，函数在时是增函数，因此其导函数在时，有（即函数的图象在轴上方），因此排除A、C．从原函数图象上可以看出在区间上原函数是增函数，所以，在区间上原函数是减函数，所以；在区间上原函数是增函数，所以．所以可排除C．故选D．【题目点拨】解题时注意导函数的符号与函数单调性之间的关系，即函数递增（减）时导函数的符号大（小）于零，由此可判断出导函数图象与x轴的相对位置，从而得到导函数图象的大体形状．10、C【解题分析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得令,则所以故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。11、A【解题分析】

利用指数函数、对数函数的性质求解．【题目详解】显然，，，，因此最大，最小，故选A.【题目点拨】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数性质的合理运用．12、C【解题分析】

根据新旧两个坐标的对应关系，求得伸缩变换的公式.【题目详解】旧的，新的，故，故选C.【题目点拨】本小题主要考查曲线的伸缩变换公式，属于基础题，解题关键是区分清楚新旧两个坐标的对应关系.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、C【解题分析】画出函数的图象，如图所示，由，解得，，所以．选．14、【解题分析】

由题意可求球的体积，假设铁球刚好完全浸入水中，则水面高度为，将铁球从容器中取出，求出水面高度，即可求水面下降高度．【题目详解】解：假设铁球刚好完全浸入水中，球的体积，水面高度为，此时正六棱柱容器中水的体积为，若将铁球从容器中取出，则水面高度，则水面下降.故答案为:.【题目点拨】本题考查了球体积的求解，考查了棱柱体积的求解.15、60°【解题分析】

由正方体的性质可以知道：DC1//AB1,根据异面直线所成角的定义,可以知道∠B1AD1【题目详解】如图所示：连接AB1,因为DC1//AB1,所以∠AB1、AD1、D1∠B1AD1=60°故答案为60°【题目点拨】本题考查了异面直线所成的角,掌握正方体的性质是解题的关键.16、0【解题分析】

根据的等式两边的项的系数相同，从而求得要求式子的值.【题目详解】，其中系数为……，，而二项式的通项公式，因为2015不是3的倍数，所以的展开式中没有项，由代数式恒成立可得……，故答案为：0.【题目点拨】本题考查二项式定理，考查学生的分析能力和理解能力，关键在于构造并分析其展开式，是一道难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）增区间是x∈34,1，减区间是x∈【解题分析】试题分析：（1）当a=1时，求得f(x)，求导f'(x)，令h(x)=2x-x2-ex-1，则h'(x)=2-2x-ex-1在(34,2)是减函数，从而h(x)在(34,2)上是减函数，进而得出f(x)在(试题解析：（1）当a=1时，f(x)=则f'(x)=(2x-x2显然h'(x)在区间(34,2)内是减函数，又∴h(x)在区间(34,2)内是减函数，又∵h(1)=0∴当∴f'(x)>0当x∈(1,2)时，h(x)<0∴f'(x)<0∴f(x)在区间(34（2）由题意，知g(x)=(x2根据题意，方程-x2∴Δ=4+4a>0，即a>-1，且x∵x1其中f'(x)=(2x-∵-所以上式化为(2-又∵2-x1>0，所以不等式可化为x①当x1=0，x1②当x1∈(0,1)时，2令函数k(x)=显然k(x)是R内的减函数，当x∈(0,1)，k(x)<k(0)=③x1∈(-∞,0)时，2由②，当x∈(-∞,0)，k(x)>k(0)=2ee+1考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，取闭区间上的最值问题，着重考查了分类讨论的数学思想和转化与化归的思想方法，是一道综合试题，试题有一定的难度，本题解答中把不等式可化为x1[2e1-x1-λe1-18、（1）7；（2）.【解题分析】

（1）利用二项式定理求出前三项的系数的表达式，利用这三个系数成等差数列并结合组合数公式求出的值，再利用二项式展开式通项可求出项的系数；（2）利用二项展开式通项求出展开式中有理项的项数为，总共是项，利用排列思想得出公共有种排法，然后利用插空法求出有理项不相邻的排法种数，最后利用古典概型概率公式可计算出所求事件的概率．【题目详解】（1）∵前三项系数、、成等差数列．，即．∴或(舍去）∴展开式中通项公式T，，，1．令，得，∴含x2项的系数为；（2）当为整数时，．∴展开式共有9项，共有种排法．其中有理项有3项，有理项互不相邻有种排法，∴有理项互不相邻的概率为【题目点拨】本题考查二项式定理指定项的系数，考查排列组合以及古典概型的概率计算，在处理排列组合的问题中，要根据问题类型选择合适的方法求解，同时注意合理使用分类计数原理和分步计数原理，考查逻辑推理与计算能力，属于中等题．19、(1),；(2)．【解题分析】试题分析：（1）将代入的直角坐标方程，化简得，；（2）将代入，得得，所以，进而求得面积为.试题解析：（1）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为（2）将代入得得，所以因为的半径为1，则的面积为考点：坐标系与参数方程.20、（1）分；（2）；（3）见解析.【解题分析】

（1）分别估算分得分、分得分和罚球得分，加和得到结果；（2）分别计算各节能投中分球的概率，相乘得到所求概率；（3）确定所有可能取值为，分别计算每个取值对应的概率，从而得到分布列；利用数学期望计算公式求得期望.【题目详解】（1）估计该球员分得分为：分；分得分为：分；罚球得分为：分估计该球员在这场比赛中的得分为：分（2）第一节和第三节能投中分球的概率为：第二节和第四节能投中分球的概率为：四节都能投中分球的概率为：（3）由题意可知，所有可能的取值为：则；；；；的分布列为：数学期望【题目点拨】本题考查概率分布的综合应用问题，涉及到积事件概率的求解、二项分布概率的应用、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，考查学生的运算和求解能力，属于常考题型.21、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析【解题分析】

（Ⅰ）可以求其反面，一个红球都没有，求出其概率，然后求取出的1个球中至少有一个红球的概率，从而求解；（Ⅱ）可以记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红