北理矩阵分析课件

北理矩阵分析课件汇报人：AA2024-01-24矩阵基本概念与性质矩阵变换与等价性线性方程组与矩阵解法特征值与特征向量计算相似对角化与二次型标准化矩阵函数与微分运算目录01矩阵基本概念与性质矩阵定义及表示方法矩阵定义及表示方法010203a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n}a_{21}&a_{22}&cdots&a_{2n}$A=begin{pmatrix}矩阵定义及表示方法vdots&vdots&ddots&vdotsa_{m1}&a_{m2}&cdots&a_{mn}end{pmatrix}$矩阵表示方法：矩阵通常用大写字母表示，如$A,B,C,ldots$。矩阵中的元素用小写字母带下标表示，如$a_{ij}$表示矩阵$A$的第$i$行第$j$列的元素。矩阵定义及表示方法矩阵加法01两个矩阵的加法是对应元素相加，要求两个矩阵的行数和列数分别相等。矩阵数乘02一个数与一个矩阵相乘，是将数与矩阵中的每一个元素相乘。矩阵乘法03设$A=(a_{ij})$是一个$mtimess$矩阵，$B=(b_{ij})$是一个$stimesn$矩阵，那么规定矩阵$C=(c_{ij})$是一个$mtimesn$矩阵，其中$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+ldots+a_{is}b_{sj}$。矩阵基本运算规则结合律$(AB)C=A(BC)$。分配律$(A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB$。数乘结合律$lambda(muA)=(lambdamu)A$。数乘分配律$(lambda+mu)A=lambdaA+muA,lambda(A+B)=lambdaA+lambdaB$。矩阵性质探讨方阵零矩阵对角矩阵单位矩阵特殊类型矩阵介绍行数和列数相等的矩阵称为方阵。除主对角线外的元素全为零的方阵称为对角矩阵。所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作$O$。主对角线上的元素全为1，其余元素全为0的方阵称为单位矩阵，记作$I_n$或$E_n$。02矩阵变换与等价性初等行变换对调两行、以数乘某一行、把某一行的若干倍加到另一行上初等列变换对调两列、以数乘某一列、把某一列的若干倍加到另一列上初等变换的性质不改变矩阵的秩、不改变矩阵的行列式值（若矩阵为方阵）初等变换及其性质123若存在可逆矩阵P和Q，使得B=PAQ，则称矩阵A与B等价定义矩阵A与B等价的充分必要条件是存在一系列初等变换将A变为B判定条件等价关系具有自反性、对称性和传递性性质矩阵等价性判定等价与秩的关系若矩阵A与B等价，则r(A)=r(B)秩的性质矩阵的秩具有非负性、不变性（初等变换不改变矩阵的秩）和可加性（若A、B可逆，则r(AB)=r(A)+r(B)）秩的定义矩阵A的秩定义为A中最大的非零子式的阶数，记为r(A)秩与等价关系探讨03求矩阵的特征值和特征向量通过初等变换将特征多项式化为标准形式，进而求解特征值和特征向量01求解线性方程组通过初等变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵，从而判断方程组的解的情况并求解02判断矩阵是否可逆若矩阵的秩等于其阶数，则矩阵可逆；否则，矩阵不可逆应用实例分析03线性方程组与矩阵解法通过系数矩阵和常数向量，将线性方程组表示为矩阵形式。线性方程组的矩阵表示将未知数表示为向量，通过向量运算表示线性方程组。线性方程组的向量表示线性方程组表示方法消元过程通过行变换将系数矩阵化为上三角矩阵，同时更新常数向量。高斯消元法的优缺点具有通用性和稳定性，但计算量较大。回代过程从上三角矩阵出发，逐步求解出未知数的值。高斯消元法求解过程对于n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不等于零，则方程组有唯一解，且解可以通过系数矩阵和常数向量的行列式计算得出。克拉默法则的表述适用于小型线性方程组，可以直接求解出未知数的值。克拉默法则的应用场景具有直观性和简洁性，但计算量随未知数个数增加而急剧增大。克拉默法则的优缺点克拉默法则应用迭代法的基本思想通过构造迭代格式，从初始近似值出发逐步逼近精确解。直接法的基本思想通过有限步四则运算直接求得方程组的精确解。迭代法和直接法的比较迭代法适用于大型稀疏线性方程组，具有占用内存少、计算速度快的优点；直接法适用于中小型稠密线性方程组，具有精度高、稳定性好的优点。在实际应用中，可以根据问题的特点和要求选择合适的解法。迭代法和直接法比较04特征值与特征向量计算特征值设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零n维列向量x，使得Ax=λx成立，则称λ是A的特征值，x是A的对应于特征值λ的特征向量。特征向量对应于特征值λ的特征向量x满足Ax=λx，即(A-λE)x=0，其中E是单位矩阵。特征值和特征向量定义求解步骤1.写出特征多项式f(λ)=|A-λE|；3.将求得的特征值λ代入(A-λE)x=0，求解齐次线性方程组，得到对应于特征值λ的特征向量x。2.求解特征多项式f(λ)=0的根，得到特征值λ；特征多项式：设A是n阶方阵，则行列式|A-λE|称为A的特征多项式，记作f(λ)。特征多项式求解方法特征值和特征向量性质特征值和特征向量的性质包括2.k重特征值至多对应k个线性无关的特征向量；3.若A可逆，则A的特征值均不为0；1.不同特征值对应的特征向量线性无关；应用实例分析实例一：利用特征值和特征向量求解矩阵的幂步骤2.将矩阵A对角化，得到A=PΛP^(-1)，其中P是由特征向量组成的矩阵，Λ是由特征值构成的对角矩阵；1.求解矩阵A的特征值和特征向量；应用实例分析3.计算A的k次方，即A^k=(PΛP^(-1))^k=PΛ^kP^(-1)。实例二：利用特征值和特征向量判断矩阵的相似性应用实例分析应用实例分析01步骤021.分别求解两个矩阵A和B的特征值和特征向量；032.判断两个矩阵的特征值是否相等，若相等则继续判断特征向量是否可以通过线性变换相互转化；043.若两个矩阵的特征值和特征向量满足相似条件，则判断两个矩阵相似。05相似对角化与二次型标准化010405060302定义：设$A,B$都是$n$阶矩阵，若存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=B$，则称$A$与$B$相似，记作$AsimB$。性质反身性：$AsimA$。对称性：若$AsimB$，则$BsimA$。传递性：若$AsimB$，$BsimC$，则$AsimC$。相似矩阵具有相同的特征多项式、行列式、迹（主对角线元素之和）和秩。相似矩阵定义及性质对角化条件及步骤01条件02$n$阶矩阵$A$可对角化的充分必要条件是$A$有$n$个线性无关的特征向量。若$n$阶矩阵$A$的$n$个特征值互不相等，则$A$可对角化。03对角化条件及步骤步骤1.求出矩阵$A$的特征多项式，并解出特征值$lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_n$。2.对每个特征值$lambda_i$，求出对应的特征向量$alpha_i$。3.将所有特征向量组成矩阵$P=[alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_n]$。4.计算对角矩阵$Lambda=P^{-1}AP=text{diag}(lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_n)$。对角化条件及步骤定义：二次型$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=X^TAX$（其中$A$是对称矩阵）经过可逆线性变换$X=PY$后，得到新的二次型$g(y_1,y_2,\ldots,y_n)=Y^TBY$，若$B=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)$，则称二次型$g$是二次型$f$的标准形。二次型标准化过程010203步骤1.写出二次型的矩阵形式$f=X^TAX$。2.求出对称矩阵$A$的特征值和特征向量。二次型标准化过程3.利用特征向量构造可逆矩阵$P$。4.进行线性变换$X=PY$，得到标准形$g=Y^TBY=lambda_1y_1^2+lambda_2y_2^2+ldots+lambda_ny_n^2$。二次型标准化过程应用实例分析考虑二次型$f(x,y)=x^2+4xy+y^2$，求其标准形。实例首先写出二次型的矩阵形式$f=[x,y]begin{bmatrix}1&22&1end{bmatrix}begin{bmatrix}xyend{bmatrix}$。然后求出矩阵的特征值和特征向量，构造可逆矩阵$P$，最后进行线性变换得到标准形。分析06矩阵函数与微分运算ABCD常见矩阵函数介绍指数函数矩阵指数函数是实数指数函数的推广，具有类似的性质和运算规则。三角函数矩阵三角函数包括正弦、余弦等，具有周期性、奇偶性等性质。对数函数矩阵对数函数是实数对数函数的推广，用于解决矩阵方程和矩阵微积分等问题。反三角函数矩阵反三角函数是实数反三角函数的推广，用于解决矩阵方程和矩阵微积分等问题。常数矩阵的微分常数矩阵的微分等于零矩阵。分别遵循实数函数的和、差、积的微分法则。遵循链式法则，即先对内部函数求导，再与外部函数的导数相乘。逆矩阵的微分可以通过求逆矩阵的公式和微分法则求得。矩阵函数的和、差、积的微分复合函数的微分逆矩阵的微分矩阵函数微分法则常数变易法适用于一阶线性微分方程，通过设定一个常数并求解微分方程得到通解。拉普拉斯变换法适用于线性常微分方程和偏微分方程，通过拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程求解。特征根法适用于二阶常系数线性微分方程，通过求解特征方程得到通解