极限的概念课件

第二章函数的极限与连续

战国时期哲学家庄周所著的《庄子‧天下篇》中有这样一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。也就是说一根一尺长的木棒，如果每天截取一半，这样的过程可以无休止地进行下去。我们关心的是这个过程中木棒长度的变化趋势。一．无穷小量与变量的极限第一节极限的概念

从表中可以看到，当截取的天数越来越多时，剩余木棒的长度越来越小，并且随着天数的无限增大，剩余长度可以无限的减小，其绝对值可以小于任意给定的正数。如要只需，即截取10天如要只需，即截取20天

如果某个变量的变化趋势是：其绝对值越来越小，可以小于任意事先给定的正数，则称此变量无限趋近于0，记为。

如果某个变量的变化趋势是：其绝对值越来越大，可以大于任意事先给定的正数，则称此变量趋近于无穷大，记为。定义：设是一个变量，是一个常数

(1)如果无限趋于0，则称的极限为0，并称为无穷小量，记为；

(2)如果无限趋于0，则称的极限为，记为；

(3)如果趋于，则称的极限不存在，并称为无穷大量，记为。表示变量无限趋于0表示变量无限趋于常数表示变量沿着轴正向趋于表示变量沿着轴负向趋于当是的函数时，的变化趋势由的变化趋势决定例1：判断下列函数当和时，是否为无穷小量？(1)(2)(3)(4)解：由函数图形可知为无穷小量为无穷大量由函数图形可知为无穷小量为无穷大量由函数图形可知由函数图形可知为无穷大量为无穷小量为无穷小量为无穷大量例2：指出当趋于何值时，是无穷小量？(1)(2)(3)为无穷小量为无穷小量为无穷小量说明：(1)自变量不同的变化趋向得出因变量的变化趋向是不一样的。(2)看函数的变化趋势主要是从函数的图像上去看，所以要熟悉函数的图像。“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽二、时，函数的极限二、时，函数的极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽二、时，函数的极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽二、时，函数的极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽二、时，函数的极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽二、时，函数的极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽二、时，函数的极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽二、时，函数的极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽二、时，函数的极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽二、时，函数的极限正十二边形的面积正形的面积所失面积所失面积所失面积正六边形的面积定义：如果当时，函数与常数的差为无穷小量，即，则称时，函数以常数为极限，记为：类似可定义当时以及时，函数的极限一般地例3：求下列极限（常用要记住的！）解：例4：求下列极限（常用要记住的！）解：极限不存在或者无穷大量三、时，函数的极限定义：如果当时，函数与常数的差为无穷小量，即，则称时，函数以常数为极限，记为：例5：求下列极限以上几个都是有定义且有极限的情况此例是无定义而有极限的情况-0.4-0.20.20.4-1-0.50.51(6)如果，求

不存在此例是有定义而无极限的情况第二节极限的运算法则一．极限的四则运算法则定理推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2该法则成立的前提是：都存在例1:求下列极限解:定理：初等函数在其定义区间内任一点的极限值等于函数值。二、计算有理分式极限的运算法则（1）计算有理分式在极限的运算

例2：求下列极限解:因为分母的极限为0，而分子极限为8所以极限的四则运算法则不能用从而可以总结出下列规律：

当时，（代入即可）

当时，

当时，约去零因子后的有理分式的极限（分子分母都要分解因式）例3：利用上面的规律求下列极限解:分子分母分解因式（2）计算有理分式在极限的运算

例4：求下列极限解:由于当时，分子分母均趋于无穷大，极限不存在所以极限的四则运算法则不能用在分子分母中同时除以的最高次幂，可化为极限存在的情况从而可以总结出下