山东省菏泽市2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题（B）

山东省菏泽市2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题（B）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《出塞》传诵至今，“秦时明月汉时关，万里长征人未还．但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”，由此推断，其中最后一句“不教胡马度阴山”是“但使龙城飞将在”的（

）A．必要条件 B．充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．设，，则M，N的大小关系为（

）．A． B． C． D．大小关系不确定4．近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．的大小无法确定5．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（

）A．0 B．2 C．－3 D．36．已知为钝角，，则（

）A． B． C．7 D．7．函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如那么不等式成立的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．8．已知是边长为的正三角形，若点满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．设，满足，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为4C．的最大值为2 D．的最小值为410．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．的解集为或11．已知（）的最小正周期为π，则下列说法正确的是（

）A．是曲线的一个对称中心B．在有两个极值点C．在的值域为D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数12．已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则（

）A．在上单调递减 B．C． D．三、填空题13．若命题“存在，使”是真命题，则实数的一个可能取值为．14．设，若函数，有大于零的极值点，则a的取值范围是．15．公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为.则.16．已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则；与周长之比的取值范围为．四、解答题17．已知：实数满足，：实数满足（其中）.(1)若，且和至少有一个为真，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.18．已知函数．(1)若的解集为，求实数的取值范围；(2)当时，解关于的不等式．19．在中，角所对的边分别，且(1)求角A的值；(2)已知在边上，且，求的面积的最大值20．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.(1)若曲线与在处的曲率分别为，，比较，大小；(2)求正弦曲线（）曲率的平方的最大值.21．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变．设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度．(1)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；(2)若采用方案乙，当为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响．22．已知函数.(1)求证：；(2)求函数的极值.参考答案：1．D【分析】对集合化简，然后求出即可.【详解】因为，解得，因为，解得，所以，，所以,故选：D.2．A【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】由题意可知龙城飞将在，不教胡马度阴山，而不教胡马度阴山，不一定是龙城飞将在，所以“不教胡马度阴山”是“但使龙城飞将在”的必要条件，故选：A3．A【分析】运用作差比较法、结合配方法进行判断即可.【详解】∴故选：A4．C【分析】分别计算甲､乙购买猪肉的平均单价，作商法，结合基本不等式比较它们的大小.【详解】甲购买猪肉的平均单价为：，乙购买猪肉的平均单价为：，显然，且，当且仅当时取“=”，因为两次购买的单价不同，即，所以，即乙的购买方式平均单价较大.故选：C.5．A【分析】结合题意，利用奇函数的性质，先确定函数的一个周期为，再按照函数的周期性计算即可.【详解】因为函数满足，且为上的奇函数，所以，所以，即的一个周期为4，所以.故选：A.6．D【分析】利用同角公式求出，再利用差角的正切公式即可求解.【详解】由为钝角，得，，所以.故选：D7．B【分析】由不等式，解得，再由充分条件和必要条件的定义求解.【详解】解：不等式，即为，解得，故选：B8．A【分析】根据已知条件建立坐标系，求出相关点的坐标，利用向量的坐标运算和减法法则，结合向量模的坐标运算及二次函数的性质即可求解.【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示

是边长为的正三角形，，，.所以的最小值为.故选：A.9．BD【分析】根据题意，结合基本不等式及其变形，逐项判定，即可求解.【详解】由，得：，当且仅当时，等号成立，故A不正确.，当且仅当时，等号成立，故B正确.，即，故C不正确.，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：BD.10．ABC【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项.【详解】由不等式和解集的形式可知，，且方程的实数根为或，那么，所以，所以，且，故ABC正确；不等式，即，解得:,所以不等式的解集为，故D错误.故选：ABC11．ACD【分析】应用三角恒等变换可得，结合最小正周期求参数，则有，根据各项描述，结合正余弦型函数的性质、极值点定义、图象平移过程判断各项的正误.【详解】，由题设，则，，则是曲线的一个对称中心，A对；由，根据正弦函数图象知：在上有一个极值点，即在区间内只有一个极值点，B错；由，则，所以，C对；为偶函数，D对.故选：ACD12．BC【分析】根据函数的的对称性和周期性，以及函数的导数的相关性质，逐个选项进行验证即可.【详解】对于A，若，符合题意，故A错误；对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故B正确；对于C和D，设，则为R上可导的奇函数，，由题意得，得，关于直线对称，所以，，所以奇函数的一个周期为4，，所以，即，故C正确；由对称性可知，即，所以,等式两边对x求导，得，令，，.由，两边对x求导，，所以的周期也为4，所以，所以，故，D错误.故选：BC13．（答案不唯一）【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合存在性的定义进行求解即可.【详解】由题意知，方程有解，所以，得，故实数的一个可能取值为．故答案为：（答案不唯一）.14．【分析】先对函数进行求导，令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数有大于零的根．【详解】∵，∴．由题意知有大于0的实根，由，得，∵，∴，∴．故答案为︰．15．/【分析】首先得到，然后在中，由余弦定理得求出，可求出，即可求出.【详解】

如图，O为楼脚，OP为楼高，则，，所以，又因为，，所以，所以，所以，所以又因为，所以在中，，所以，故.，所以，所以.故答案为：.16．3【分析】连接AG并延长，交BC于F，可得，变形可得，根据D、G、E三点共线，即可得答案；设的边长为1，设与周长之比，可得，根据余弦定理，可求得表达式，代入可得，根据的范围，可得的范围，利用导数，结合的范围，即可得答案.【详解】连接AG并延长，交BC于F，如图所示由题意得，F为BC中点，所以，又G为重心，所以，所以，即，因为D、G、E三点共线，所以，即.设的边长为1，设与周长之比，则，在中，由余弦定理得，所以，即，所以，由（1）可得，即代入上式，可得由题意得，所以，又，所以，又，所以，因为，所以，令，则，令，则，所以在上为增函数，所以，所以与周长之比的取值范围为【点睛】解题的关键是熟练掌握向量的线性运算法则，三点共线定理等知识，并灵活应用，难点在于将周长比转化为的表达式，利用二次函数的性质，结合导数，即可得答案，属中档题.17．(1)(2)【分析】（1）解不等式后取并集即可，（2）由充分不必要条件得推出关系后列式求解．【详解】（1）：实数满足，解得，当时，：，解得，∵p和q至少有一个为真，∴或，∴，∴实数的取值范围为；（2）∵，由，解得，即：，∵是的充分不必要条件，∴（等号不同时取），∴，18．(1)(2)答案见解析【分析】（1）由一元二次不等式在上恒成立可得，由此可解得结果；（2）将所求不等式化为，分别在和的情况下解不等式即可.【详解】（1）由题意知：在上恒成立，，解得：，即实数的取值范围为.（2）由得：；当时，的解为或；当时，的解为或；综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.19．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理边角互化结合和差角关系可得，即可得，进而可求，（2）根据向量的线性表示以及模长公式可得，结合不等式即可求解最值成立的条件,由面积公式即可求解.【详解】（1）在中因为．由正弦定理得，所以，因为，所以．故又是的内角，所以．从而．而A为的内角，所以；（2）因为所以,所以，从而，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为.20．(1)；(2)1.【分析】（1）对、求导，应用曲率公式求出处的曲率，，即可比较大小；（2）由题设求出的曲率平方，利用导数求的最大值即可.【详解】（1）由，，则，由，，则，所以；（2）由，，则，，令，则，故，设，则，在时，递减，所以，最大值为1.21．(1)两种方案的用水量分别为19和，方案乙的用水量较少；(2)当时总用水量最少，随着的增加，最少用水量在增加.【分析】（1）设方案甲与方案乙的用水量分别为，由求出，进而可知方案乙初次用水量为3，第二次的用水量满足方程，从而可求出，从而比较可得结论；（2）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，求出和的关系式，当为定值时求出的最小值，当不为定值时，根据的单调性可得结论.【详解】（1）设方案甲与方案乙的用水量分别为，则由题意得，解得，由得方案乙初次用水量为3，第二次用水量满足，解得，所以，即两种方案的用水量分别为19和，因为时，，所以，所以方案乙的用水量较少；（2）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（1）得，所以，当为定值时，，当且仅当时取等号，此时不合题意舍去，或，将代入，得，所以时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为和，最少用水量为，当时，，所以在上为增函数，所以随着的增加，最少用水量在增加.22．(1)证明见解析(2)极大值为，无极小值【分析】（1）利用基本不等式与余弦函数的值域可证；（2）分区间讨论导函数的符号是关键，其中提取构造函数研究函数的单调性比较大小从而判断符号，得以研究函数的单调性，则可求出函数的极大值.【详解】（1）令.由基本不等式，得，当且仅当时等