多元函数的极限与连续、偏导数

多元函数的极限与连续、偏导数汇报人：AA2024-01-24目录多元函数基本概念多元函数极限多元函数连续性偏导数概念与计算多元函数微分学应用总结与回顾01多元函数基本概念0102多元函数定义多元函数的一般形式为$z=f(x,y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量，$f$是对应法则。多元函数是指自变量有两个或两个以上的函数，其因变量由一个或多个自变量的变化所决定。解析法用含有两个或两个以上自变量的解析式来表示多元函数的方法。表格法列出多元函数自变量和因变量的对应数值表来表示多元函数的方法。图示法在平面直角坐标系中，用曲线、曲面或点来表示多元函数的方法。多元函数表示方法单调性多元函数在某个区间内是否单调增加或减少。有界性多元函数在其定义域内是否有界。周期性多元函数是否具有周期性，即是否存在一个正数$T$，使得对于定义域内的任意$x$和$y$，都有$f(x+T,y)=f(x,y)$。可微性多元函数在其定义域内是否可微，即是否存在全微分。连续性多元函数在其定义域内是否连续，即当自变量的变化很小时，因变量的变化也很小。多元函数性质02多元函数极限设函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的某去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意给定的正数$\epsilon$，总存在正数$\delta$，使得当点$P(x,y)$满足$0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta$时，都有$|f(x,y)-A|<\epsilon$成立，则称A为函数$f(x,y)$当$(x,y)\to(x_0,y0)$时的极限，记作$\lim{{(x,y)}\to{(x_0,y_0)}}f(x,y)=A$。多元函数极限定义多元函数极限性质有界性若$lim_{{(x,y)}to{(x_0,y_0)}}f(x,y)=A$，则存在点$P_0$的某去心邻域，使得函数$f(x,y)$在该邻域内有界。唯一性若$lim_{{(x,y)}to{(x_0,y_0)}}f(x,y)=A$且$lim_{{(x,y)}to{(x_0,y_0)}}f(x,y)=B$，则$A=B$。保号性若$lim_{{(x,y)}to{(x_0,y_0)}}f(x,y)=A>0$（或$A<0$），则存在点$P_0$的某去心邻域，使得在该邻域内恒有$f(x,y)>0$（或$f(x,y)<0$）。直接代入法若函数在点$P_0(x_0,y_0)$处连续，则$lim_{{(x,y)}to{(x_0,y_0)}}f(x,y)=f(x_0,y_0)$。消去零因子法通过分子分母同时除以某个零因子，从而消去零因子，简化计算。利用无穷小性质利用等价无穷小、高阶无穷小等性质进行替换和简化计算。利用极坐标变换在某些情况下，通过极坐标变换可以简化多元函数极限的计算。多元函数极限计算03多元函数连续性设函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，如果$lim_{(x,y)to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则称函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$处连续。连续性的定义多元函数在一点连续，则该点的函数值等于该点的极限值；多元函数在一点连续，则在该点的某一邻域内函数有界；多元函数在一点连续，则在该点的某一邻域内函数可积。连续性的性质连续概念及性质连续条件对于二元函数$f(x,y)$，若其在点$P_0(x_0,y_0)$处连续，需要满足$lim_{Deltaxto0}lim_{Deltayto0}f(x_0+Deltax,y_0+Deltay)=f(x_0,y_0)$。判断方法通过计算函数在某一点处的极限值，并与该点的函数值进行比较，若相等则函数在该点连续；或者通过证明函数在某一点处的偏导数存在且连续，从而证明函数在该点连续。连续条件与判断方法四则运算规则若多元函数$u(x,y)$和$v(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$处连续，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点$P_0(x_0,y_0)$处也连续。复合运算规则若多元函数$u(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$处连续，且另一元函数$varphi(t)$在$u(x_0,y_0)$处连续，则复合函数$varphi[u(x,y)]$在点$P_0(x_0,y_0)$处也连续。初等函数连续性一切初等函数在其定义域内都是连续的。连续函数运算规则04偏导数概念与计算偏导数定义设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y_0$而$x$在$x_0$处有增量$Deltax$时，相应地函数有增量$f(x_0+Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)$。如果$lim_{Deltaxto0}frac{f(x_0+Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)}{Deltax}$存在，则称此极限为函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数，记作$frac{partialz}{partialx}|_{(x=x_0,y=y_0)}$或$f'_x(x_0,y_0)$。偏导数性质偏导数具有线性性、乘积法则、链式法则等性质，与一元函数的导数性质类似。偏导数定义及性质如果二元函数$z=f(x,y)$的偏导数$frac{partialz}{partialx}$与$frac{partialz}{partialy}$仍然可导，则称它们的偏导数为函数$z=f(x,y)$的二阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。高阶偏导数定义高阶偏导数的求法与一阶偏导数类似，只是需要多次求导。例如，函数$z=f(x,y)$的二阶偏导数$frac{partial^2z}{partialx^2}$可以通过对$frac{partialz}{partialx}$再次求偏导数得到。高阶偏导数求法高阶偏导数求法隐函数定义如果变量$x$和$y$满足一个方程$F(x,y)=0$，在一定条件下，我们可以确定一个单值连续函数$y=f(x)$或$x=g(y)$，使得方程成立，这样的函数称为隐函数。要点一要点二隐函数求偏导数方法对于隐函数$F(x,y)=0$，我们可以利用链式法则求出其偏导数。首先，对方程两边关于$x$求偏导数，得到$frac{partialF}{partialx}+frac{partialF}{partialy}cdotfrac{dy}{dx}=0$，然后解出$frac{dy}{dx}$即可得到隐函数对$x$的偏导数。类似地，我们可以求出隐函数对$y$的偏导数。隐函数求偏导数方法05多元函数微分学应用参数方程法通过曲线的参数方程，利用求导法则求出切线的方向向量，进而得到切线方程。隐函数法对于给定的隐函数，通过求偏导数得到切线的斜率，再结合切点坐标求得切线方程。向量法利用向量的点积和叉积性质，结合曲线在切点处的切向量和法向量，求出切线方程。空间曲线切线方程求解对于给定的显式方程，通过求偏导数得到法线的方向向量，进而得到法线方程。显式方程法隐函数法参数方程法对于给定的隐函数，通过求偏导数得到法线的斜率，再结合曲面上一点的坐标求得法线方程。通过曲面的参数方程，利用求导法则求出法线的方向向量，进而得到法线方程。030201空间曲面法线方程求解二阶偏导数法利用多元函数的二阶偏导数构成的Hessian矩阵，判断极值点的类型（极大值、极小值或鞍点）。拉格朗日乘数法对于带有约束条件的多元函数极值问题，可以通过拉格朗日乘数法将问题转化为无约束极值问题进行求解。一阶偏导数法通过求解多元函数的一阶偏导数，找到可能的极值点，进一步判断极值点的性质。多元函数极值问题探讨06总结与回顾多元函数的极限掌握多元函数极限的定义，了解极限存在的条件，能够运用极限性质进行求解。多元函数的连续性理解多元函数连续性的定义，掌握判断多元函数连续性的方法，了解连续函数的性质。偏导数理解偏导数的定义及几何意义，掌握偏导数的计算法则，了解偏导数与函数性质的关系。关键知识点总结030201常见误区提示认为多元函数的极限与一元函数的极限完全相同。实际上，多元函数的极限需要考虑多个自变量的变化趋势，比一元函数更为复杂。误区二忽视多元函数连续性的定义域。在判断多元函数连续性时，需要注意函数的定义域，否则可能导致错误的结论。误区三混淆偏导数与全导数的概念。偏导数仅考虑一个自变量的变化对函数值的影响，而全导数则考虑所有自变量的变化对函数值的影响。误区一010203练习题一求二元函数$f(x,y)=frac{xy}{x^2+y^2}$在点$(0,0)$处的极限。答案解析通过极坐标变换，将原式转化为$lim_{rhoto0}frac{rho^2sinthetacostheta}{rho^2}=lim_{rhoto0}sinthetacostheta=0$，故该二元函数在点$(0,0)$处的极限为$0$。练习题二判断二元函数$f(x,y)=begin{cases}frac{x^2y}{x^4+y^2},&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)end{cases}$在点$(0,0)$处是否连续。练习题与答案解析答案解析首先求出函数在点$(0,0)$处的极限为$0$，然后观察函数在该点的取值也为$0$，因此该二元函数在点$(0,0)$处连续。练习题三求二元函数$z