5.3.2函数的极值与最大(小)值第3课时函数的最大（小）值综合课件高二上学期数学人教A版选择性

5.3.2函数的极值与最大(小)值（3）—函数的最大(小)值综合第五章一元函数的导数及其应用2024/2/15.3

导数在研究函数中的应用高二数学备课组引

入左正右负（左增右减），取得极大值；左负右正（左减右增），取得极小值；即f′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件.2.对于可导函数，若x0是极值点，则f

'(x0)=0;

反之，若f

'(x0)=0，则x0不一定是极值点.探究新知3.函数最大值和最小值的概念：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M

那么，称M是函数y=f(x)的最大值.

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（2）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值

.探究新知一般地，如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,必有最大值和最小值.并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得．1.取得最值的条件：2.求函数的最值①求函数f(x)在(a,b)内的极值；②求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a),f(b)；③将函数f(x)在各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．例题讲解3.含参数的最值问题例题讲解探究新知探究新知例题讲解例题讲解例题讲解4.函数的最值与不等式问题例题讲解探究新知例题讲解所以,当x=1时,f(x)取得最小值.x(0,1)1(1,+∞)f'(x)0f(x)–+单调递减单调递增所以,

f(x)≥f(1)=0,即令

,解得故当x>0时,.除点(1,0)外，曲线C1：在y轴右侧的部分位于曲线C2：y=lnx的下方.5.利用导数证明不等式例4解：将不等式

转化为设

,那么课堂练习证明：xyOy=x-1y=lnx除点(1,0)外，曲线C1：y=x-1在y轴右侧的部分位于曲线C2：y=lnx的上方.例题讲解例题讲解例题讲解待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证．例题讲解例题讲解例题讲解6.导数与函数的零点问题①确定函数的零点个数例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解②根据函数的零点个数求参数范围例题讲解例题讲解(1)分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．例题讲解例题讲解7.导数在解决实际问题中的应用问题饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?

(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大?例8某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.

(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大?

(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小?例题讲解例8某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.

(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大?

(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小?解：例题讲解例9解：8.利用导数解决与函数相关的问题例题讲解例9解：xyO1-1-2•••例题讲解解：xyO1-1-2•••例9探究新知由例9可见，函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质.通常，可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象：

(1)求出函数f(x)的定义域；

(2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点；

(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；(4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；

(5)画出f(x)的大致图象.例题讲解证明：xyO1π例题讲解解：2.如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为am2.为使所用材料最省，圆的直径应为多少?.课堂小结3.含参数的最值问题已知函数最值求参数值(范围)的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点