专题09条件概率与全概率公式（五大考点）（原卷版）

专题09条件概率与全概率公式思维导图核心考点聚焦考点一：利用定义求条件概率考点二：条件概率的性质及应用考点三：全概率公式考点四：贝叶斯公式考点五：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用1、条件概率的概念条件概率揭示了三者之间“知二求一”的关系一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．2、概率的乘法公式由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．3、条件概率的性质设，则（1）（2）如果与是两个互布事件，则；（3）设和互为对立事件，则．1、全概率公式在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它门闷分解为一些较为容易的情况分别进行考虑一般地，设是一组两两互F的事件，，且，则对任意的事件，有我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．2、贝叶斯公式设是一组两两互压的事件，，且，则对任意事件，有3、在贝叶斯公式中，和分别称为先俭概率和后验概率．考点剖析考点一：利用定义求条件概率例1．（2024·江西上饶·高二校考阶段练习）甲、乙和另外5位同学站成两排拍照，前排3人，后排4人.若每个人都随机站队，且前后排不认为相邻，则在甲、乙站在同一排的条件下，两人不相邻的概率为（

）A． B． C． D．例2．（2024·全国·高二随堂练习）为了给学生树立正确的劳动观，使学生懂得劳动的伟大意义，某班从包含甲、乙的6名学生中选出3名参加学校组织的劳动实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（

）A． B． C． D．例3．（2024·河北石家庄·高二校考阶段练习）太行山脉有很多优美的旅游景点．现有甲、乙两位游客慕名来到太行山脉，都准备从C、D、E、F，4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件A为“甲和乙至少一人选择C”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率（

）A． B． C． D．变式1．（2024·高二课时练习）一个袋中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为（

）A． B．C． D．考点二：条件概率的性质及应用例4．（2024·全国·高二专题练习）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（

）A． B． C． D．例5．（2024·河南郑州·高二统考期末）已知随机事件A，B的概率分别为，且，则下列说法中正确的是（

）A． B．C． D．例6．（2024·天津滨海新·高二校考期中）设A，B为两个事件，已知P(B)=0.4，P(A)=0.5，P(B|A)=0.3，则P()=（

）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6变式2．（2024·高二课时练习）下列说法正确的是（

）A． B．C． D．考点三：全概率公式例7．（2024·全国·高二课堂例题）某公司有三个制造厂，全部产品的由甲厂生产，由乙厂生产，由丙厂生产，而甲、乙、丙三厂生产的不合格品率分别为．求从该公司产品中随机抽出一件产品为不合格品的概率．例8．（2024·全国·高二课堂例题）李老师7：00出发去参加8：00开始的教学会．根据以往的经验，他骑自行车迟到的概率是0.05，乘出租车迟到的概率是0.50．他出发时首选自行车，发现自行车有故障时再选择出租车．设自行车有故障的概率是0.01，试计算李老师迟到的概率．例9．（2024·江苏宿迁·高二统考期中）袋中有3个红球，4个黑球，每次随机地从袋中取出一个球，观察其颜色后放回．若取出的球是红球，则将此红球放回后，再往袋中另放2个红球；若取出的球是黑球，则将此黑球放回即可．(1)求在第一次取到红球的条件下，第二次取到黑球的概率；(2)求第二次取到红球的概率．变式3．（2024·福建泉州·高二校考期末）在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人(1)求这个人患流感的概率；(2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率.变式4．（2024·河北石家庄·高二校考阶段练习）某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到．(1)问这个人迟到的概率是多少?(2)如果这个人迟到了，问他乘轮船迟到的概率是多少?考点四：贝叶斯公式例10．（2024·高二课时练习）李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这几天内邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3，假设李老师对邻居不了解，即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5，几天后李老师回来发现花还活着，则邻居记得浇水的概率为．例11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大精深的中华文化.为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，李夏作为选手参加.除李夏以外的其他参赛选手中，是一类棋手，是二类棋手，其余的是三类棋手.李夏与一、三、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.2、0.4和0.5.(1)从参赛选手中随机选取一位棋手与李夏比赛，求李夏获胜的概率；(2)如果李夏获胜，求与李夏比赛的棋手为一类棋手的概率.例12．（2024·河北保定·高二校联考期中）某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为5：7：8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6、0.5、0.4.(1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；(2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手分别为一、二、三类棋手的概率.考点五：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用例13．（2024·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）某电子设备厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录得到以下数据：元件制造厂次品率提供元件的份额10.010.120.020.730.030.2设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志(1)在仓库中随机抽取1个元件，求它是次品的概率；(2)在仓库中随机抽取1个元件，若已知抽取的是次品，求该次品出自元件制造厂3的概率.例14．（2024·辽宁沈阳·高二校联考期末）玻璃杯整箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为0.8，0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”求：(1)顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率；(2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率.例15．（2024·高二课时练习）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．变式5．（2024·江苏连云港·高二校考阶段练习）设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分、、．现从这三个地区任抽取一个人．(1)求此人感染此病的概率；（结果保留三位小数）(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．（结果保留三位小数）．过关检测一、单选题1．（2024·山东德州·高二校考阶段练习）已知为两个随机事件，，若，，，则（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·高二随堂练习）随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是（

）A．0.24 B．0.14 C．0.067 D．0.0773．（2024·浙江·高二萧山二中校联考期中）在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（

）A． B． C． D．4．（2024·江西·高二江西省宜丰中学校联考阶段练习）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（

）A． B． C． D．5．（2024·福建泉州·高二校考期末）甲、乙两个袋子中各装有5个大小相同的小球，其中甲袋中有2个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有3个红球，1个白球和1个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.若用事件和分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事件表示从乙袋中取出的球是红球，则=（

）A． B． C． D．6．（2024·江苏·高二专题练习）一袋中装有10个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，7个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为（

）A． B． C． D．7．（2024·福建福州·高二校联考期中）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个产品，此产品是次品的概率是（

）A．0.925 B．0.03 C．0.075 D．0.958．（2024·山东青岛·高二统考阶段练习）现有12道四选一的单选题，学生甲对其中的9道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25．学生甲从这12道题中随机选择1题，他做对的概率为（

）A．0.225 B．0.4125 C．0.7375 D．0.8325二、多选题9．（2024·全国·高二随堂练习）某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则王同学（

）A．第二天去甲游乐场的概率为0.54B．第二天去乙游乐场的概率为0.44C．第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为D．第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为10．（2024·山东德州·高二校考阶段练习）甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球球除颜色外，大小质地均相同先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（

）A．事件与相互独立 B．C． D．11．（2024·江苏宿迁·高二统考期中）某气象台统计，该地区不下雨的概率为；刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设为下雨，为刮四级以上的风，则（

）A． B．C． D．12．（2024·高二课时练习）（多选）下列说法正确的是（

）A．若，，则A与B相互独立B．若，，则A与B相互独立C．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”是相互独立D．容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”是相互独立的三、填空题13．（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）甲同学和乙同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若甲同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在甲先胜一局的条件下，甲最终能获胜的概率是.14．（2024·辽宁辽阳·高二统考期末）有6道不同的数学题，其中有4道函数题，2道概率题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.在第一次抽到函数题的条件下，第二次还是抽到函数题的概率是．15．（2024·四川攀枝花·高二统考期末）某公司为提高产品的竞争力、开拓市场，决定成立甲乙两个小组进行新产品研发，已知甲小组研发成功的概率为，乙小组研发成功的概率为．则在新产品研发成功的情况下，新产品是由甲小组研发成功的概率是．16．（2024·全国·高二随堂练习）某射击小组共有10名射手，其中一级射手3人，二级射手5人，三级射手2人，现选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为；若一、二、三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为．四、解答题17．（2024·全国·高二课堂例题）某批麦种中，一等麦种，二等麦种，一、二等麦种种植后所结的穗含有粒以上麦粒的概率分别为，．求用这批种子种植后所结的穗含有粒以上麦粒的概率．18．（2024·全国·高二课堂例题）已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，而且两地同时下雨的概率为.求春季的一天里：(1)已知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率；(2)已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率.19．（2024·全国·高二课堂例题）在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求：(1)甲中奖而且乙也中