江苏省姜堰区蒋垛中学2024届数学高二第二学期期末达标测试试题含解析

江苏省姜堰区蒋垛中学2024届数学高二第二学期期末达标测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数，其中i为虚数单位，则=A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i2．若函数的定义域为，则的取值范围为（）A． B． C． D．3．使不等式成立的一个必要不充分条件是（）A． B． C． D．4．已知函数的图象与直线有两个交点，则m的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则在上，的解集是（）A． B． C． D．6．已知函数，若是图象的一条对称轴的方程，则下列说法正确的是（）A．图象的一个对称中心 B．在上是减函数C．的图象过点 D．的最大值是7．若实数x、y的取值如表，从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为y=3.5x12345y27812mA．15 B．16 C．16.2 D．178．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同．现了解到以下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步；可以判断丙参加的比赛项目是（）A．跑步比赛 B．跳远比赛 C．铅球比赛 D．无法判断9．在复平面内，复数对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限10．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝()A．192 B．202 C．212 D．22211．将三枚骰子各掷一次，设事件为“三个点数都不相同”，事件为“至少出现一个6点”，则概率的值为（）A． B． C． D．12．设函数，若实数分别是的零点，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设为虚数单位，若，则________．14．在上随机地取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为__________．15．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则______．16．若直线l经过点，且一个法向量为，则直线l的方程是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数是上的奇函数(为常数)，，.（1）求实数的值；（2）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围；（3）若不等式成立，求证实数的取值范围.18．（12分）如图，四边形中，，，，为边的中点，现将沿折起到达的位置（折起后点记为）．（1）求证：；（2）若为中点，当时，求二面角的余弦值．19．（12分）已知函数（，e为自然对数的底数）.（1）若，求的最大值；（2）若在R上单调递减，①求a的取值范围；②当时，证明：.20．（12分）某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数01234保费设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数01234概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.21．（12分）设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范围.22．（10分）某种产品的广告费用支出（万元）与销售（万元）之间有如下的对应数据：245683040605070若由资料可知对呈线性相关关系，试求：（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）据此估计广告费用支出为10万元时销售收入的值.（参考公式：，.）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】试题分析：，选B.【考点】复数的运算，复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.2、C【解题分析】分析：由题得恒成立，再解这个恒成立问题即得解.详解：由题得恒成立，a=0时，不等式恒成立.a≠0时，由题得综合得故答案为C.点睛：（1）本题主要考查函数的定义域和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化能力数形结合思想方法.（2）解答本题恒成立时，一定要讨论a=0的情况,因为不一定时一元二次不等式.3、B【解题分析】解不等式，可得，即，故“”是“”的一个必要不充分条件，故选B.4、A【解题分析】

两个函数图象的交点个数问题，转化为方程有两个不同的根，再转化为函数零点问题，设出函数，求单调区间，分类讨论，求出符合题意的范围即可．【题目详解】解：函数的图象与直线有两个交点可转化为函数有两个零点，导函数为，当时，恒成立，函数在R上单调递减，不可能有两个零点；当时，令，可得，函数在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.令，则，所以在上单调递增，在上单调递减.所以.所以的最小值，则m的取值范围是.故选：【题目点拨】本题考查函数零点问题，利用方程思想转化与导数求解是解决本题的关键，属于中档偏难题．5、C【解题分析】

首先结合函数的对称性和函数的奇偶性绘制函数图像，原问题等价于求解函数位于直线下方点的横坐标，数形结合确定不等式的解集即可.【题目详解】函数满足，则函数关于直线对称，结合函数为奇函数绘制函数的图像如图所示：的解集即函数位于直线下方点的横坐标，当时，由可得，结合可得函数与函数交点的横坐标为，据此可得：的解集是.本题选择C选项.【题目点拨】本题主要考查函数的奇偶性，函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6、A【解题分析】

利用正弦函数对称轴位置特征，可得值，从而求出解析式，利用的图像与性质逐一判断即可．【题目详解】∵是图象的一条对称轴的方程，∴，又，∴，∴.图象的对称中心为，故A正确；由于的正负未知，所以不能判断的单调性和最值，故B，D错误；，故C错误.故选A.【题目点拨】本题主要考查三角函数的图像与性质．7、D【解题分析】

计算出样本的中心点x,y，将该点的坐标代入回归直线方程可得出【题目详解】由表格中的数据可得x=1+2+3+4+55由于回归直线过点x,y，所以，3.5×3-1.3=m+295【题目点拨】本题考查回归直线的基本性质，在解回归直线相关的问题时，熟悉结论“回归直线过样本的数据中心点x,8、A【解题分析】分析：由（1），（3），（4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，即可得出结论.详解：由（1），（3），（4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛.故选：A.点睛：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力.9、A【解题分析】试题分析：,对应的点，因此是第一象限．考点：复数的四则运算.10、C【解题分析】∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；

右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里，），

∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，

右边的底数为，又左边为立方和，右边为平方的形式，

故有，故选C.点睛：本题考查了，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．它与演绎推理的思维进程不同．归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程．解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加，右边的底数也在增加．从中找规律性即可.11、A【解题分析】考点：条件概率与独立事件．分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P（AB）÷P（B），需要先求出AB同时发生的概率，除以B发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果．解：∵P（A|B）=P（AB）÷P（B），P（AB）==P（B）=1-P（）=1-=1-=∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）==故选A．12、A【解题分析】由题意得，函数在各自的定义域上分别为增函数，∵，又实数分别是的零点∴，∴，故．选A．点睛：解答本题时，先根据所给的函数的解析式判断单调性，然后利用判断零点所在的范围，然后根据函数的单调性求得的取值范围，其中借助0将与联系在一起是关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】由，得，则，故答案为.14、【解题分析】试题分析：直线y=kx与圆相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即，解得，而，所以所求概率P=.【考点】直线与圆位置关系；几何概型【名师点睛】本题是高考常考知识内容，考查几何概型概率的计算.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，涉及点到直线距离的计算.本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.15、【解题分析】

由题意得出，由此可得出，解出实数、的值，由此可得出的值.【题目详解】，，且，，，解得，.因此，.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用直线与平面垂直求参数，将问题转化为直线的方向向量与平面法向量共线，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.16、【解题分析】

根据法向量得直线斜率，再根据点斜式得直线方程【题目详解】因为直线一个法向量为，所以直线l的斜率为，因此直线l的方程是故答案为：【题目点拨】本题考查直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）.（2）.（3）【解题分析】

因为函数是R上的奇函数，令可求a；

对任意，总存在，使得成立，故只需满足值域是的值域的子集；

由不等式得，，构造利用单调性可求解正实数t的取值范围．【题目详解】（1）因为为上的奇函数，所以，即，解得得，当时，由得为奇函数，所以.（2）因为，且在上是减函数，在上为增函数所以在上的取值集合为.由，得是减函数，所以在上是减函数，所以在上的取值集合为.由“任意，总存在，使得成立”在上的取值集合是在上的取值集合的子集，即.则有，且，解得：.即实数的取值范围是.（3）记，则，所以是减函数，不等式等价于，即，因为是减函数，所以，解得，所以实数的取值范围是.【题目点拨】本题主要考查了函数最值的求法，通过子集的关系求参数的范围，构造函数求参数范围，属于难题．18、(1)见证明；(2)【解题分析】

（１）根据题意，利用线面垂直的判定定理证明面，从而推得；（２）以为原点，以，分别为，建立空间直角坐标，分别求出面的法向量和面的法向量为，根据二面角的余弦值公式即可求解出结果．【题目详解】（1）证明：因为，，，所以面，又因为面，所以．（2）解：以为原点，以，分别为，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，，设面的法向量，则有取，，，则由，，设面的法向量为，则有取，，，，则，由于二面角的平面角为钝角，所以，其余弦值为．【题目点拨】本题主要考查了通过线面垂直证明线线垂直以及利用向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．19、（1）1；（2）①，②证明见解析.【解题分析】

（1）求出函数的导函数，利用导函数与函数单调性的关系当，求出单调递增区间，当，求出函数的单调递减区间，进而可求出最大值.（2）①求出对恒成立，化为对恒成立，记，讨论值，求出的最小值即可证出；②由题意可得，即，两边取对数可得，下面采用分析法即可证出.【题目详解】（1）时，时，，在上单调递增时，，在上单调递减（2）由①在R上单调递减，对恒成立，即对恒成立，记，则对恒成立，当时，，符题当时，时，，在上单调递减时，，在上单调递增；当时，时，，在上单调递减时，，在上单调递增；综上：②当时，在上单调递减，，，，.要证，即证下面证明令，，则，在区间上单调递增，，得证【题目点拨】本题考查了导函数在研究函数单调性的应用，分析法证明不等式，考查了分类讨论的思想，综合性比较强，属于难题.20、（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.1．【解题分析】试题分析：试题解析：（Ⅰ）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故（Ⅱ）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故又，故因此所求概率为（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，则的分布列为

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为【考点】条件概率，随机变量的分布列、期望【名师点睛】条件概率的求法：（1）定义法：先求P（A）和P（AB），再由P（B|A）＝，求出P（B|A）；（2）基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n（AB）