山东省夏津县第一中学2024届高二数学第二学期期末联考试题含解析

山东省夏津县第一中学2024届高二数学第二学期期末联考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从一个装有3个白球，3个红球和3个蓝球的袋中随机抓取3个球，记事件为“抓取的球中存在两个球同色”，事件为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率（）A． B． C． D．2．设则（）A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于23．中国古代数学的瑰宝——《九章算术》中涉及到一种非常独特的几何体——鳖擩，它是指四面皆为直角三角形的四面体.现有四面体为一个鳖擩，已知平面，，若该鳖擩的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（）A． B． C． D．4．已知集合，则（）A． B． C． D．5．某研究机构在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到的数据如下表所示．由表中数据求得关于的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线上方的概率为（）4681012122.956.1A． B． C． D．无法确定6．若函数f(x)=x3-ax2A．a≥3 B．a>3 C．a≤3 D．0<a<37．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l//α，l//β，m//α，m//β其中，可以判定α与β平行的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6:5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为n10的样本，若样本中男生比女生多12人，则n=（A．990 B．1320 C．1430 D．15609．已知集合，则等于（）A． B． C． D．10．“”是“”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．命题“对任意的，，”的否定是（）A．不存在， B．不存在，C．存在， D．存在，12．已知是离散型随机变量，，，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．把3名辅导老师与6名学生分成3个小组(每组1名教师，2名学生)开展实验活动，但学生甲必须与教师A在一起，这样的分组方法有________种．(用数字作答)14．甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮.乙恰好比甲多投进2次的概率是______.15．已知双曲线的左右焦点分别为、，点在双曲线上，点的坐标为，且到直线，的距离相等，则___16．不等式的解集是_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数.（1）当时，求函数的零点个数；（2）若，使得，求实数m的取值范围.18．（12分）三棱柱中，分别是、上的点，且，．设，，.（Ⅰ）试用表示向量；（Ⅱ）若，，，求MN的长.．19．（12分）已知复数.（I）若，求复数；（II）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围.20．（12分）已知.（1）求证：恒成立；（2）试求的单调区间；（3）若，，且，其中，求证：恒成立.21．（12分）已知，，曲线在点处的切线平分圆C：的周长.（1）求a的值；（2）讨论函数的图象与直线的交点个数.22．（10分）某市为迎接“国家义务教育均衡发展”综合评估，市教育行政部门在全市范围内随机抽取了所学校，并组织专家对两个必检指标进行考核评分.其中分别表示“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”两项指标，根据评分将每项指标划分为(优秀)、(良好)、(及格）三个等级，调查结果如表所示.例如：表中“学校的基础设施建设”指标为等级的共有所学校.已知两项指标均为等级的概率为0.21.（1）在该样本中，若“学校的基础设施建设”优秀率是0.4，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”有关；师资力量（优秀）师资力量（非优秀）合计基础设施建设（优秀）基础设施建设（非优秀）合计（2）在该样本的“学校的师资力量”为等级的学校中，若，记随机变量，求的分布列和数学期望.附:

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

根据题意，求出和，由公式即可求出解答.【题目详解】解：因为事件为“抓取的球中存在两个球同色”包括两个同色和三个同色，所以事件发生且事件发生概率为：故.故选：C.【题目点拨】本题考查条件概率求法，属于中档题.2、C【解题分析】

由基本不等式，a，b都是正数可解得．【题目详解】由题a，b，c都是正数，根据基本不等式可得，若，，都小于2，则与不等式矛盾，因此，至少有一个不小于2；当，，都等于2时，选项A，B错误，都等于3时，选项D错误．选C.【题目点拨】本题考查了基本不等式，此类题干中有多个互为倒数的项，一般都可以先用不等式求式子范围，再根据题目要求解题．3、B【解题分析】分析：把此四面体放入长方体中，BC，CD，AB刚好是长方体的长、宽、高，算出长方体体对角线即可.详解：把此四面体放入长方体中，BC，CD，AB刚好是长方体的长、宽、高，则，，故.故选：B.点睛：本题主要考查了转化与化归思想的运用.4、A【解题分析】

先求得集合的元素，由此求得两个集合的交集.【题目详解】依题意，故,故选A.【题目点拨】本小题主要考查两个集合的交集的求法，考查对数运算，属于基础题.5、B【解题分析】

求出样本的中心点，计算出，从而求出回归直线方程，个点中落在回归直线上方的有三个，算出概率即可。【题目详解】由题可得，因为线性回归方程过样本中心点，所以，所以，所以，故个点中落在回归直线上方有，，，共个，所以概率为.故选B.【题目点拨】本题考查线性回归方程和古典概型，解题的关键是求出线性回归方程，属于一般题。6、A【解题分析】

函数f(x)=x3-ax2+1在(0,2)【题目详解】由题意得f(x)=x3-ax2+1⇒f'x=3x2-2ax，因为函数【题目点拨】本题主要考查了利用导数判断函数在某个区间上恒成立的问题。通常先求导数然后转化成二次函数恒成立的问题。属于中等题。7、B【解题分析】试题分析：直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，对选项进行逐一判断，确定正确选项即可．：①α与β平行．此时能够判断①存在平面γ，使得α，②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；可以判定α与β平行，如正方体的底面与相对的侧面．也可能α与β不平行．②不正确．③不能判定α与β平行．如α面内不共线的三点不在β面的同一侧时，此时α与β相交；④可以判定α与β平行．∵可在α面内作l'∥l，m'∥m，则l'与考点：平面与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．8、B【解题分析】

根据题意得出样本中男生和女生所占的比例分别为611和511，于是得出样本中男生与女生人数之差为611【题目详解】依题意可得(611-511)×n【题目点拨】本题考考查分层抽样的相关计算，解题时要利用分层抽样的特点列式求解，考查计算能力，属于基础题。9、C【解题分析】

由不等式性质求出集合A、B，由交集的定义求出可得答案.【题目详解】解：可得；，可得=故选C.【题目点拨】本题考查了交集及其运算，求出集合A、B并熟练掌握交集的定义是解题的关键.10、A【解题分析】

利用充分条件和必要条件的定义进行判断【题目详解】解：当时，，所以，当时，，所以，即所以“”是“”的充分不必要条件故选：A【题目点拨】此题考查充分条件，必要条件的应用，属于基础题11、C【解题分析】

已知命题为全称命题,则其否定应为特称命题，直接写出即可.【题目详解】命题“对任意的”是全称命题，它的否定是将量词的任意的实数变为存在，再将不等号变为即可.即得到：存在.故选:C.【题目点拨】本题主要考查全称命题的否定，注意量词和不等号的变化，属于简单题.12、A【解题分析】分析：由已知条件利用离散型随机变量的数学期望计算公式求出a，进而求出，由此即可求出答案.详解：是离散型随机变量，，，，由已知得，解得，，.故选：A.点睛：本题考查离散型随机变量的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望和方差计算公式的合理运用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、30【解题分析】

将三名教师命名为A，B，C，按照要求，教师A只需再选一名学生，有5种选法，教师B有种选法，根据分步乘法计数原理，可得分组方法有种．【题目详解】将三名教师命名为A，B，C，所以可按三步完成分组，第一步让教师A选学生，第二步让教师B选学生，第三步将剩下的学生分配给教师C即可．教师A只需再选一名学生，有5种选法，教师B有种选法，根据分步乘法计数原理，可得分组方法有种．【题目点拨】本题主要考查分步乘法计数原理的应用．14、；【解题分析】

将事件拆分为乙投进3次，甲投进1次和乙投进2次，甲投进0次，再根据二项分布的概率计算公式和独立事件的概率计算即可求得.【题目详解】根据题意，甲和乙投进的次数均满足二项分布，且甲投进和乙投进相互独立；根据题意：乙恰好比甲多投进2次，包括乙投进3次，甲投进1次和乙投进2次，甲投进0次.则乙投进3次，甲投进1次的概率为；乙投进2次，甲投进0次的概率为.故乙恰好比甲多投进2次的概率为.故答案为：.【题目点拨】本题考查二项分布的概率计算，属综合基础题.15、1【解题分析】

画出图形，根据到直线，的距离相等得到为的平分线，然后根据角平分线的性质得到，再根据双曲线的定义可求得．【题目详解】由题意得，点A在双曲线的右支上，又点的坐标为，∴．画出图形如图所示，，垂足分别为，由题意得，∴为的平分线，∴，即．又，∴．故答案为1．【题目点拨】本题考查双曲线的定义和三角形角平分线的性质，解题的关键是认真分析题意，从平面几何图形的性质得到线段的比例关系，考查分析和解决问题的能力，属于中档题．16、【解题分析】

由不等式得，所以，等价于，解之得所求不等式的解集.【题目详解】由不等式得，即，所以，此不等式等价于，解得或，所以不等式的解集是：，故填：.【题目点拨】本题考查分式不等式的解法，一般的步骤是：移项、通分、分解因式、把每个因式未知数的系数化成正、转化为一元二次不等式或作简图数轴标根、得解集，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）分别在区间上各存在一个零点，函数存在两个零点.（2）【解题分析】

（1）求出的导数并判断其单调性，再根据零点存在定理取几个特殊值判断出零点的个数。（2）假设对任意恒成立，转化成对任意恒成立.令，则.讨论其单调性。【题目详解】（1），即，则，令解得.当在上单调递减；当在上单调递增，所以当时，.因为，所以.又，，所以，，所以分别在区间上各存在一个零点，函数存在两个零点.（2）假设对任意恒成立，即对任意恒成立.令，则.①当，即时，且不恒为0，所以函数在区间上单调递增.又，所以对任意恒成立.故不符合题意；②当时，令，得；令，得.所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即当时，存在，使，即.故符合题意.综上可知，实数的取值范围是.【题目点拨】本题主要考查了根据导函数判断函数的单调性以及零点存在定理，属于中等题。18、（1）（2）【解题分析】分析：（1）直接利用三角形加法和减法法则得到.(2)先求，再求MN的长.详解：（Ⅰ）（Ⅱ），，.：本题主要考查向量的运算法则和基底法，考查向量的模，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化能力.19、（1）；（2）.【解题分析】试题分析：(1)由题意计算可得,若，则，.(2)结合(1)的计算结果得到关于实数a的不等式，求解不等式可得的取值范围为.试题解析：（1）,若，则，∴，∴.（2）若在复平面内对应的点位于第一象限，则且，解得，即的取值范围为.20、(1)证明见解析；(2)单调递增区间为，无单调递减区间。(3)证明见解析【解题分析】

（1）构造函数，利用导数求出函数的最小值，利用来证明所证不等式成立；（2）先解等式可得出函数的定义域，求出该函数的导数，利用（1）中的结论得出在定义域内恒成立，由此可得出函数的单调区间；（3）证法一：利用分析法得出要证，即证，利用数学归纳法和单调性证明出对任意的恒成立，再利用（1）中的不等式即可得证；证法二：利用数学归纳法证明，先验证当时，不等式成立，即，再假设当时不等式成立，即，利用函数的单调性得出，由归纳原理证明所证不等式成立.【题目详解】（1）令，则，由得，由得.函数在上单调递减，在上单调递增，，即恒成立；（2）由得或，函数的定义域为，因为，由（1）可知当时，恒成立，且，.函数单调递增区间为，，无单调递减区间；（3）证法一：，要证，即证，即证，即证.先证对任意，，即，即.构造函数，其中，则，则函数在上单调递增，，所以，对任意的，，即，.下面证明对任意的，.，.假设当时，，则当时，.由上可知，对任意的，.由（1）可知，当时，，，，因此，对任意的，；证法二：数学归纳法①当时，，，，，即成立；②假设当时结论成立，即成立.由（2）知，函数在上单调递增，，又，，，当时结论成立综合①②，恒成立.【题目点拨】本题考查利用导数证明不等式以及