安徽省六安三校2024届高二数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

安徽省六安三校2024届高二数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标是A．(－10,2,8) B．(－10,2,－8) C．(5,2,－8) D．(－10,3,－8)2．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是，当且仅当时称为“凹数”，若，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A． B． C． D．3．命题“任意”为真命题的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．4．从图示中的长方形区域内任取一点，则点取自图中阴影部分的概率为()A． B．C． D．5．的展开式中只有第5项二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（）A． B． C． D．6．多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，建立下图的空间直角坐标系，已知、、、、、.若为平行四边形，则点到平面的距离为A． B． C． D．7．定积分的值为()A． B． C． D．8．已知，则的值是A． B． C． D．9．已知等比数列中,，则等于（）A．9 B．5 C． D．无法确定10．设非零向量满足，，则向量间的夹角为()A．150° B．60°C．120° D．30°11．“”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．将5件不同的奖品全部奖给3个学生，每人至少一件奖品，则不同的获奖情况种数是（）A．150 B．210 C．240 D．300二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知过点的直线交轴于点，抛物线上有一点使,若是抛物线的切线，则直线的方程是___．14．设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．15．若点的柱坐标为，则点的直角坐标为______；16．若直线为曲线的一条切线，则实数的值是______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的离心率为，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线：与椭圆交于A，B两点，是否存在实数，使线段AB的中点在圆上，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（12分）已知是奇函数.（1）求的值；（2）若，求的值19．（12分）如图，有一块半径为的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池和其附属设施，附属设施占地形状是等腰，其中为圆心，在圆的直径上，在圆周上．（1）设，征地面积记为，求的表达式；（2）当为何值时，征地面积最大？20．（12分）如图，一条小河岸边有相距的两个村庄（村庄视为岸边上两点），在小河另一侧有一集镇（集镇视为点），到岸边的距离为，河宽为，通过测量可知，与的正切值之比为．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥（分别为两岸上的点，且垂直河岸，在的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知两村的人口数分别是人、人，假设一年中每人去集镇的次数均为次．设．（小河河岸视为两条平行直线）（1）记为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用表示；（2）试确定的余弦值，使得最小，从而符合建桥要求．21．（12分）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，．（1）求c的值；（2）求的面积．22．（10分）在平面直角坐标系中，过点作直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B.（1）若，求直线的一般式方程；（2）求当取得最小值时直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

直接利用中点坐标公式求解即可.【题目详解】设点关于点的对称点的坐标是,根据中点坐标公式可得，解得，所以点关于点的对称点的坐标是(－10,2,－8)，故选B.【题目点拨】本题主要考查中点坐标公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.2、C【解题分析】

先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.【题目详解】先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有个三位数.再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有种方法，所以共有凹数8+6=14个，由古典概型的概率公式得P=.故答案为：C【题目点拨】本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3、C【解题分析】试题分析：对此任意性问题转化为恒成立，当，即，，若是原命题为真命题的一个充分不必要条件，那应是的真子集，故选C.考点：1.集合；2.充分必要条件.4、C【解题分析】

先利用定积分公式计算出阴影部分区域的面积，并计算出长方形区域的面积，然后利用几何概型的概率计算公式可得出答案．【题目详解】图中阴影部分的面积为，长方形区域的面积为1×3＝3，因此，点M取自图中阴影部分的概率为．故选C．【题目点拨】本题考查定积分的几何意义，关键是找出被积函数与被积区间，属于基础题．5、C【解题分析】

根据只有第5项系数最大计算出，再计算展开式中含项的系数【题目详解】只有第5项系数最大,展开式中含项的系数,系数为故答案选C【题目点拨】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.6、D【解题分析】

利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的法向量，结合，利用空间向量夹角余弦公式求出与所求法向量的夹角余弦，进而可得结果.【题目详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，为平行四边形，由得，，，，设为平面的法向量，显然不垂直于平面，故可设，，即，，所以，又，设与的夹角为，则，到平面的距离为，故选D.【题目点拨】本题主要考查利用空间向量求点面距离，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.7、C【解题分析】

根据微积分基本定理，可知求解，即可.【题目详解】故选：C【题目点拨】本题考查微积分基本定理，属于较易题.8、D【解题分析】，,又,故选D.9、A【解题分析】

根据等比中项定义，即可求得的值。【题目详解】等比数列，由等比数列中等比中项定义可知而所以所以选A【题目点拨】本题考查了等比中项的简单应用，属于基础题。10、C【解题分析】

利用平方运算得到夹角和模长的关系，从而求得夹角的余弦值，进而得到夹角.【题目详解】即本题正确选项：【题目点拨】本题考查向量夹角的求解，关键是利用平方运算和数量积运算将问题变为模长之间的关系，求得夹角的余弦值，从而得到所求角.11、C【解题分析】分析：首先求得复数z为纯虚数时x是值，然后确定充分性和必要性即可.详解：复数为纯虚数，则：，即：，据此可知，则“”是“复数为纯虚数”的充要条件本题选择C选项.点睛：本题主要考查充分必要条件的判断，已知复数类型求参数的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12、A【解题分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53•A33=60种分法，分成2、2、1时，根据分组公式90种分法，所以共有60+90=150种分法，故选A．点睛：一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、或.【解题分析】分析：由题设，求导得到直线然后分和两种情况讨论即可得到直线的方程.详解：由题设，求导即，则直线当时，验证符合题意，此时，故，当时，，，或（重合，舍去）此时，故点睛：本题考查曲线的切线方程的求法，垂直关系的斜率表示等，属基础题.14、【解题分析】

根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值.【题目详解】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，取最小值为.【题目点拨】函数的性质（1）.（2）周期（3）由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，（4）由求增区间；由求减区间.15、【解题分析】

由柱坐标转化公式求得直角坐标。【题目详解】由柱坐标可知，所以，所以直角坐标为。所以填。【题目点拨】空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换公式为。16、1【解题分析】设切点为，又，所以切点为（0,1）代入直线得b=1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）实数不存在，理由见解析．【解题分析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和的关系，解方程可得，进而得到椭圆方程；（2）设，，线段的中点为．联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得的坐标，代入圆的方程，解方程可得，进而判断不存在．试题解析：（1）由题意得，解得故椭圆的方程为；（2）设，，线段的中点为联立直线与椭圆的方程得，即，即，，所以，即．又因为点在圆上，可得，解得与矛盾．故实数不存在．考点：椭圆的简单性质．18、（1）；（2）4【解题分析】

（1）根据奇函数的定义，代入化简得，进而可得的值；（2）设，可得，根据奇函数的性质得，进而可得结果.【题目详解】解：（1）因为是奇函数，所以，即，整理得，又，所以（2）设，因为，所以因为是奇函数，所以所以【题目点拨】本题主要考查了已知函数的奇偶性求参数的值，根据函数的奇偶性求函数的值，属于中档题.19、（1）；（2）时，征地面积最大．【解题分析】试题分析：(1)借助题设条件运用梯形面积公式建立函数关系求解；(2)依据题设运用导数与函数的单调性的关系进行探求.试题解析：（1）连接，可得，，，，所以，．（2），令，∴（舍）或者．因为，所以时，，时，，所以当时，取得最大，故时，征地面积最大．考点：梯形面积公式、导数与函数单调性的关系等有关知识的综合运用．20、（1），；（2）当时，符合建桥要求.【解题分析】

（1）利用正切值之比可求得，；根据可表示出和，代入整理可得结果；（2）根据（1）的结论可得，利用导数可求得时，取得最小值，得到结论.【题目详解】（1）与的正切值之比为则，，，，（2）由（1）知：，，令，解得：令，且当时，，；当时，，函数在上单调递减；在上单调递增；时，函数取最小值，即当时，符合建桥要求【题目点拨】本题考查函数解析式和最值的求解问题，关键是能够通过根据题意建立起所求函数和变量之间的关系，利用导数来研究函数的最值.21、（1）；（2）【解题分析】

（1）由正弦定理及，得，再代入角A的余弦定理，求得。（2）由角C的余弦定理求得，再由面积公式求得面积。【题目详解】，，，，在中，由正弦定理，可得，可得：，即：，解得：2在中，由余弦定理，可得，故【题目点拨】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向第二步：定工