2024届安徽省毛坦厂中学高二数学第二学期期末质量检测试题含解析

2024届安徽省毛坦厂中学高二数学第二学期期末质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，若的展开式中各项系数之和为，则展开式中常数项为（）A． B． C． D．2．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）A．12,24,15,9 B．9,12,12,7 C．8,15,12,5 D．8,16,10,63．已知X的分布列为X－101P设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为A． B．4 C．－1 D．14．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n（）个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．有下列函数:①②③④其中是一阶整点的是（）A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④5．设函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．一个几何体的三视图如图所示，若主视图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，左视图是底边为2的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A． B． C．2 D．47．若函数f（x）=有最大值，则a的取值范围为（）A． B． C． D．8．在等差数列{an}中，若S9=18，Sn=240，=30，则n的值为A．14 B．15 C．16 D．179．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为A． B．C． D．10．已知，其中、是实数，是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知，则（）A． B． C． D．或12．若满足约束条件，则的最小值是（）A．0 B． C． D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线：，点是它的焦点，对于过点且与抛物线有两个不同公共点，的任一直线都有，则实数的取值范围是______.14．更相减损术是出自九章算术的一种算法如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入，，则输出的值为______．15．引入随机变量后，下列说法正确的有：__________（填写出所有正确的序号）.①随机事件个数与随机变量一一对应；②随机变量与自然数一一对应；③随机变量的取值是实数.16．已知，直线：和直线：分别与圆：相交于、和、，则四边形的面积为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆：的左焦点，离心率为，点为椭圆上任一点，且的最小值为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过椭圆的左焦点，与椭圆交于两点，且的面积为，求直线的方程.18．（12分）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P、种黄瓜的年收益Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？19．（12分）已知函数．（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）已知当时恒成立，求的最大值．20．（12分）已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若不等式对于任意恒成立，求正实数的取值范围.21．（12分）已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记与的面积分别为和，求的最大值.22．（10分）对于函数y=fx，若关系式t=fx+t中变量t是变量x的函数，则称函数y=fx为可变换函数.例如：对于函数fx=2x，若t=2x+t，则t=-2x，所以变量t（1）求证：反比例函数gx=（2）试判断函数y=-x3（3）若函数hx=logbx为可变换函数

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

通过各项系数和为1，令可求出a值，于是可得答案.【题目详解】根据题意，在中，令，则，而，故，所以展开式中常数项为，故答案为B.【题目点拨】本题主要考查二项式定理，注意各项系数之和和二项式系数和之间的区别，意在考查学生的计算能力，难度不大.2、D【解题分析】试题分析：由题意，得抽样比为，所以高级职称抽取的人数为，中级职称抽取的人数为，初级职称抽取的人数为，其余人员抽取的人数为，所以各层中依次抽取的人数分别是8人，16人，10人，6人，故选D．考点：分层抽样．【方法点睛】分层抽样满足“”，即“或”，据此在已知每层间的个体数量或数量比，样本容量，总体数量中的两个时，就可以求出第三个．3、A【解题分析】由条件中所给的随机变量的分布列可知EX=﹣1×+0×+1×=﹣，∵E（2X+3）=2E（X）+3，∴E（2X+3）=2×（﹣）+3=．故答案为：A．4、D【解题分析】

根据新定义的“一阶整点函数”的要求，对于四个函数一一加以分析，它们的图象是否通过一个整点，从而选出答案即可．【题目详解】对于函数，它只通过一个整点（1，2），故它是一阶整点函数；

对于函数，当x∈Z时，一定有g（x）=x3∈Z，即函数g（x）=x3通过无数个整点，它不是一阶整点函数；

对于函数，当x=0，-1，-2，时，h（x）都是整数，故函数h（x）通过无数个整点，它不是一阶整点函数；

对于函数，它只通过一个整点（1，0），故它是一阶整点函数．

故选D．【题目点拨】本题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题，解决本题的关键是对于新定义的概念的理解，即什么叫做：“一阶整点函数”．5、A【解题分析】分析：的定义域为，由得所以能求出的取值范围．详解：的定义域为，由得

所以．

①若，当时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减．所以是函数的极大值点．

满足题意，所以成立．

②若，由，得，当时，即，此时

当时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减．所以是函数的极大值点．

满足题意，所以成立．．

如果函数取得极小值，不成立；

②若，由，得．

因为是f（x）的极大值点，成立；

综合①②：的取值范围是．

故选：A．点睛：本题考查函数的单调性、极值等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．6、A【解题分析】

由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截掉两个三棱锥，利用所给数据，求出三棱柱与三棱锥的体积，从而可得结果.【题目详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截掉两个三棱锥，画出几何体的直观图，如图，把几何体补形为一个直三棱柱，由三视图的性质可知三棱柱的底面面积，高，所以，,所以，几何体的体积为.故选A.【题目点拨】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.7、B【解题分析】

分析函数每段的单调性确定其最值，列a的不等式即可求解.【题目详解】由题,单调递增，故单调递减，故,因为函数存在最大值，所以解.故选B.【题目点拨】本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.8、B【解题分析】试题分析：由等差数列的性质知；．考点：等差数列的性质、前项和公式、通项公式．9、B【解题分析】∵y2=2px的焦点坐标为,∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.10、D【解题分析】

由得，根据复数相等求出的值，从而可得复数的共轭复数，得到答案.【题目详解】由有，其中、是实数.所以，解得，所以则复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点为.所以复数的共轭复数对应的点位于第四象限.故选：D【题目点拨】本题考查复数的运算和根据复数相等求参数，考查复数的概念，属于基础题.11、B【解题分析】分析：根据角的范围利用同角三角函数的基本关系求出cos（α）的值，再根据sinα=sin[（α）+]，利用两角差的正弦公式计算求得结果．详解：∵，，∴∈（，π），∴cos（）=﹣，或（舍）∴sinα=sin[（）+]=sin（）cos+cos（）sin=-=，故选B．点睛：本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，解题关键根据角的取值范围对cos（）的值进行取舍，属于中档题．12、B【解题分析】可行域为一个三角形及其内部,其中，所以直线过点时取最小值，选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

设直线的方程为,联立抛物线的方程得出韦达定理,将翻译成关于点,的关系式,再代入韦达定理求解即可.【题目详解】设直线的方程为,则,设,.则.则由得.代入韦达定理有恒成立.故故答案为：【题目点拨】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,设而不求利用韦达定理翻译题目条件从而进行运算的方法等.属于中等题型.14、【解题分析】输入，执行程序框图，第一次；第二次；第三次；第四次，满足输出条件，输出的的值为，故答案为.15、③【解题分析】

要判断各项中对随机变量描述的正误，需要牢记随机变量的定义.【题目详解】引入随机变量,使我们可以研究一个随机实验中的所有可能结果，所以随机变量的取值是实数，故③正确.【题目点拨】本题主要考查随机变量的相关定义，难度不大.16、8【解题分析】由题意，直线l1：x+2y=a+2和直线l2：2x﹣y=2a﹣1，交于圆心（a，1），且互相垂直，∴四边形ABCD是正方形，∴四边形ABCD的面积为4×8，故答案为：8.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或.【解题分析】

（1）设椭圆的标准方程为：1（a＞b＞0），由离心率为，点P为椭圆C上任意一点，且|PF|的最小值为1，求出a2＝2，b2＝1，由此能求出椭圆C的方程；（2）设的方程为：，代入得：，由弦长公式与点到线的距离公式分别求得，由面积公式得的方程即可求解【题目详解】（1）设椭圆的标准方程为：1（a＞b＞0），∵离心率为，∴，∴a，∵点P为椭圆C上任意一点，且|PF|的最小值为1，∴c＝1，∴a2＝b2+c2＝b2+1，解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为1．（2）因，与轴不重合，故设的方程为：，代入得：，其恒成立，设，则有，又到的距离，解得，的方程为：或.【题目点拨】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，准确计算是关键，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．18、（1）；（2）甲大棚万元，乙大棚万元时，总收益最大,且最大收益为万元.【解题分析】试题分析：（1）当甲大棚投入万元，则乙大棚投入万元，此时直接计算即可；（2）列出总收益的函数式得，令，换元将函数转换为关于的二次函数，由二次函数知识可求其最大值及相应的值.试题解析：（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，∴（2），依题得，即，故.令，则，当时，即时，，∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.考点：1.函数建模；2.二次函数.19、（1）；（2）．【解题分析】

求得的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程可得a，b的值；

由求导数可得单调性、最值，可知，由题意可得恒成立，即可得到ab的最大值．【题目详解】（1）因为，所以解得．（2）当时，函数的定义域为．当时，；当时，．所以在上为增函数，在上为减函数．所以．由题意，知恒成立，即恒成立．于是在时恒成立．记，则．当时，；当时，．所以在上为增函数，在上为减函数．所以的最大值为．所以当时，取得最大值．【题目点拨】本题考查了导数的几何意义，利用导数求函数单调性、最值，利用导数研究恒成立问题，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于难题．20、(1)当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增.(2)【解题分析】

(1)对函数求导得到，讨论a和0和1的大小关系，从而得到单调区间；（2）原题等价于对任意，有成立，设，所以，对g(x)求导研究单调性，从而得到最值，进而求得结果.【题目详解】（Ⅰ）函数的定义域为．．①若，则当或时，，单调递增；当时，，单调递减；②若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增；综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增．（Ⅱ）原题等价于对任意，有成立，设，所以．．令，得；令，得．∴函数在上单调递减，在上单调递增，为与中的较大者．设，则，∴在上单调递增，故，所以，从而．∴，即．设，则．所以在上单调递增．又，所以的解为．∵，∴的取值范围为．【题目点拨】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.21、（Ⅰ）;