2024届广西南宁市三中高二数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届广西南宁市三中高二数学第二学期期末学业水平测试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．点M的极坐标(4，A．(4，π3) B．(42．三棱锥中，，，为的中点,分别交，于点、，且，则三棱锥体积的最大值为（）A． B． C． D．3．在长方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．4．在空间中，“直线平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件5．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知当时，在上是“凸函数”，则在上()A．既有极大值,也有极小值 B．既有极大值,也有最小值C．有极大值,没有极小值 D．没有极大值,也没有极小值6．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为3，点是侧面的两条对角线的交点，则直线与底面所成角的正切值为（）A． B． C． D．17．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为，则椭圆的离心率的概率是()A． B． C． D．8．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳9．有一散点图如图所示，在5个数据中去掉（3，10）后，下列说法正确的是（）A．残差平方和变小 B．方差变大C．相关指数变小 D．解释变量与预报变量的相关性变弱10．已知复数满足,则复数在复平面内对应点所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）广告费23456销售额2941505971由上表可得回归方程为，据此模型，预测广告费为10万元时销售额约为（）A．118.2万元 B．111.2万元 C．108.8万元 D．101.2万元12．若一圆柱的侧面积等于其表面积的，则该圆柱的母线长与底面半径之比为（）A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为_______．14．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为和，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度为______米.15．若平面的一个法向量为，直线的方向向量为，则与所成角的大小为__________.16．已知直线上总存在点，使得过点作的圆：的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数的定义域为集合，集合，（1）若，求；（2）若，求.18．（12分）2019年6月湖北潜江将举办第六届“中国湖北（潜江）龙虾节”，为了解不同年龄的人对“中国湖北（潜江）龙虾节”的关注程度，某机构随机抽取了年龄在20—70岁之间的100人进行调查，经统计“年轻人”与“中老年人”的人数之比为。关注不关注合计年轻人30中老年人合计5050100（1）根据已知条件完成上面的列联表，并判断能否有99﹪的把握认为关注“中国湖北（潜江）龙虾节”是否和年龄有关？（2）现已经用分层抽样的办法从中老年人中选取了6人进行问卷调查，若再从这6人中选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“中国湖北（潜江）龙虾节”的人数为随机变量，求的分布列及数学期望。附：参考公式其中。临界值表：0.050.0100.0013.8416.63510.82819．（12分）已知函数在区间上的最大值为3，最小值为-17，求的值20．（12分）甲盒有标号分别为1、2、3的3个红球;乙盒有标号分别为1、2、3、4的4个黑球,从甲、乙两盒中各抽取一个小球.(1)求抽到红球和黑球的标号都是偶数的概率;(2)现从甲乙两盒各随机抽取1个小球,记其标号的差的绝对值为,求的分布列和数学期望.21．（12分）如图，圆锥的轴截面为等腰为底面圆周上一点．（1）若的中点为，求证：平面；（2）如果，求此圆锥的体积；（3）若二面角大小为，求.22．（10分）已知中，三个内角，，所对的边分别为，，，满足.（1）求；（2）若，的面积为，求，的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

在点M极径不变，在极角的基础上加上π，可得出与点M关于极点对称的点的一个极坐标。【题目详解】设点M关于极点的对称点为M'，则OM'所以点M'的一个极坐标为(4,7π6)【题目点拨】本题考查点的极坐标，考查具备对称性的两点极坐标之间的关系，把握极径与极角之间的关系，是解本题的关键，属于基础题。2、B【解题分析】

由已知可知，是正三角形，从而，，进而，是的平分线，，由此能求出三棱锥体积的最大值.【题目详解】由题意得，，所以是正三角形，分别交，于点、，，，，,，，是的平分线，，以为原点，建立平面直角坐标系，如图：设，则，整理得，，因此三棱锥体积的最大值为.故选：B【题目点拨】本题考查了三棱锥的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.3、D【解题分析】

取CC1的中点F，连结DF，A1F，EF，推导出四边形BCEF是平行四边形，从而异面直线AE与A1D所成角即为相交直线DF与A1D所成角，由此能求出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【题目详解】取的中点.连接.因为为棱的中点,所以,所以四边形为平行四边形.所以.故异面直线与所成的角即为相交直线与所成的角.因为,所以.所以.即为直角三角形,从而.故选D【题目点拨】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4、A【解题分析】若“直线平面”则“直线与平面内无穷多条直线都垂直”，正确；反之，若“直线与平面内无穷多条直线都垂直”则“直线平面”是错误的，故直线平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直”的充分非必要条件.故选A.5、C【解题分析】此题考查函数极值存在的判定条件思路：先根据已知条件确定m的值，然后在判定因为时，在上是“凸函数”所以在上恒成立，得在是单调递减，的对称轴要满足与单调递增单调递减，当时有极大值，当时有极小值所以在上有极大值无极小值6、C【解题分析】

通过作DH垂直BC，可知为直线与底面所成角，于是可求得答案.【题目详解】如图，过D作DH垂直BC于点H，连接DH，AH，于是DH垂直平面ABC，故为直线与底面所成角，而，,故，故选C.【题目点拨】本题主要考查线面角的相关计算，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度一般.7、C【解题分析】共6种情况8、A【解题分析】

观察折线图可知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，且折线图呈现增长趋势，高峰都出现在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月波动性更小.【题目详解】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确.故选A.【题目点拨】本题考查折线图，考查考生的识图能力，属于基础题.9、A【解题分析】

由散点图可知，去掉后，与的线性相关性加强，由相关系数，相关指数及残差平方和与相关性的关系得出选项.【题目详解】由散点图可知，去掉后，与的线性相关性加强，且为正相关，所以变大，变大，残差平方和变小，故选A.【题目点拨】该题考查的是有关线性相关性强弱的问题，涉及到的知识点有相关系数，相关指数，以及残差平方和与相关性的关系，属于简单题目.10、A【解题分析】

把已知变形等式，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【题目详解】由，得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限．故选：A．【题目点拨】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.11、B【解题分析】分析：平均数公式可求出与的值,从而可得样本中心点的坐标，代入回归方程求出，再将代入回归方程得出结论.详解：由表格中数据可得，，，解得，回归方程为，当时，，即预测广告费为10万元时销售额约为，故选B.点睛：本题考查了线性回归方程的性质与数值估计，属于基础题.回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.12、B【解题分析】

设这个圆柱的母线长为，底面半径为，根据已知条件列等式，化简可得答案.【题目详解】设这个圆柱的母线长为，底面半径为，则，化简得，即，故选：B【题目点拨】本题考查了圆柱的侧面积公式，考查了圆柱的表面积公式，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

从顶点到3总共有5个岔口，共有10种走法，每一岔口走法的概率都是，二项分布的概率计算公式，即可求解.【题目详解】由题意，从顶点到3的路线图单独画出来，如图所示，可得从顶点到3总共有种走法，其中每一岔口走法的概率都是，所以珠子从出口3出来的概率为.【题目点拨】本题主要考查了二项分布的一个模型，其中解答中认真审题，合理利用二项分布的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.14、【解题分析】

由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案．【题目详解】解：由题意可知，，，，．故答案为.【题目点拨】本题给出实际应用问题，着重考查了三角函数的定义，属于简单题．15、.【解题分析】

利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值，即可得出直线与平面所成角的大小.【题目详解】设，，设直线与平面所成的角为，则，，.因此，直线与平面所成角的大小为，故答案为.【题目点拨】本题考查利用空间向量法求直线与平面所成的角，解题的关键就是利用空间向量进行转化，考查计算能力，属于中等题.16、【解题分析】分析：若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心（﹣1，2）到直线l的距离，即可求出实数m的取值范围．详解：如图，设切点分别为A，B．连接AC，BC，MC，由∠AMB=∠MAC=∠MBC=90°及MA=MB知，四边形MACB为正方形，故，若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心（﹣1，2）到直线l的距离，即m2﹣8m﹣20≤0，∴﹣2≤m≤10，故答案为：﹣2≤m≤10.点睛：（1）本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键是分析出.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、解：（1）；（2）.【解题分析】试题分析：（1）把代入二次不等式求集合B，根据函数定义域化简集合A，然后根据交集的运算法则直接运算即可．（2）时求出集合B,化简集合A,再求出A、B的补集，根据集合的交集运算即可．试题解析：（1），得，∵，∴，∴.（2）∵，∴，∴，∴.18、（1）详见解析；（2）详见解析.【解题分析】

(1)首先将列联表填写完整，根据公式计算，再与临界值表作比较得到答案.(2)首先计算关注人数的概率，再写出分布列，计算数学期望.【题目详解】解：关注不关注合计年轻人103040中老年人402060合计5050100其中代入公式的≈，故有﹪的把握认为关注“中国湖北（潜江）龙虾节”和年龄有关.（2）抽取的6位中老年人中有4人关注，2人不关注，则可能取的值有所以的分布列为123P【题目点拨】本题考查了列联表的计算，分布列和数学期望的计算，意在考查学生的计算能力.19、k=﹣1，B=﹣17或k=1，B=3【解题分析】试题分析：由题设知k≠1且f'（x）=3kx（x-2），1＜x＜2时，x（x-2）＜1；x＜1或x＞2时，x（x-2）＞1；x=1和x=2时，f'（x）=1．由题设知-2≤x≤2，f（-2）=-21k+B，f（1）=B，f（2）=-4k+B．由此能够求出k、B的值试题解析：由题设知k≠1且f'（x）=3kx（x﹣2），1＜x＜2时，x（x﹣2）＜1；x＜1或x＞2时，x（x﹣2）＞1；x=1和x=2时，f'（x）=1．由题设知﹣2≤x≤2，f（﹣2）=﹣21k+B，f（1）=B，f（2）=﹣4k+B①k＜1时，﹣2＜x＜1时，f'（x）＜1；1＜x＜2时，f'（x）＞1，∴f（x）在[﹣2，1）上递减，在（1，2）上递增，x=1为最小值点；∵f（﹣2）＞f（2）∴f（x）的最大值是f（﹣2）即，解得k=-1，B=-17②k＞1时，，解得k=1，B=3综上，k=﹣1，B=﹣17或k=1，B=3考点：利用导数求闭区间上函数的最值20、（1）（2）见解析【解题分析】

（1）由独立事件的概率公式即可得到答案；（2）的所有可能取值为0,1,2,3，分别计算概率，于是得到分布列和数学期望.【题目详解】（1）由题意，抽到红球是偶数的概率为，抽到黑球是偶数的概率为因为两次抽取是相互独立事件，所以由独立事件的概率公式，得抽到红球和黑球的标号都是偶数的概率为（2）由题意，的所有可能取值为0,1,2,3故的分布列为0123故的数学期望为【题目点拨】本题主要考查相互独立事