云南省玉溪市元江一中2024届高二数学第二学期期末统考模拟试题含解析

云南省玉溪市元江一中2024届高二数学第二学期期末统考模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等差数列中，，为等差数列的前n项和，则()A．9 B．18 C．27 D．542．在某次试验中，实数的取值如下表：013561.35.67.4若与之间具有较好的线性相关关系，且求得线性回归方程为，则实数的值为（）A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.93．命题“，使”的否定是（）A．，使 B．，使C．，使 D．，使4．对于函数,“的图象关于轴对称”是“=是奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要5．已知为虚数单位，复数，则复数的虚部为A． B． C． D．6．直线与圆有两个不同交点的充要条件是（）A． B． C． D．7．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪裹、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿？”已知上造分得只鹿，则大夫所得鹿数为（）A．1只 B．只 C．只 D．2只8．的展开式中的常数项为（）A． B． C． D．9．已知一个等比数列，这个数列，且所有项的积为243，则该数列的项数为（）A．9 B．10 C．11 D．1210．函数f(x)=lnxA． B． C． D．11．由直线与曲线围成的封闭图形的面积是（）A． B． C． D．12．已知椭圆E:x2a2+y24=1，设直线l:y=kx+1k∈R交椭圆A．mx+y+m=0 B．mx+y-m=0C．mx-y-1=0 D．mx-y-2=0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一抽取的学生人数为______名．14．若为上的奇函数，且满足，对于下列命题：①；②是以4为周期的周期函数；③的图像关于对称；④.其中正确命题的序号为_________15．若复数，则__________．（是的共轭复数）16．若对满足的任意正实数,都有,则实数的取值范围为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，过点作直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B.（1）若，求直线的一般式方程；（2）求当取得最小值时直线的方程.18．（12分）（1）求的展开式中的常数项；（2）用，，，，组成一个无重复数字的五位数，求满足条件的五位数中偶数的个数.19．（12分）已知曲线C的参数方程为（a参数），以直角坐标系的原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l极坐标方程为，求曲线C上的点到直线l最大距离.20．（12分）已知等式.（1）求的展开式中项的系数，并化简：；（2）证明：（ⅰ）；（ⅱ）.21．（12分）已知函数.（I）解不等式：；（II）若函数的最大值为，正实数满足，证明：22．（10分）用数学归纳法证明：当时，能被7整除．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由已知结合等差数列的性质求得a5，再由考查等差数列的前n项和公式求S2．【题目详解】在等差数列{an}中，由a2+a5+a8＝3，得3a5＝3，即a5＝2．∴S2．故选：A．【题目点拨】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和，是基础题．2、D【解题分析】

根据表中数据求得，代入回归直线方程即可求得结果.【题目详解】由表中数据可知：，又，解得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查利用回归直线求解数据的问题，关键是明确回归直线恒过点，属于基础题.3、A【解题分析】

根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.【题目详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以命题“，使”的否定是“，使”.故选A【题目点拨】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，只需改量词与结论即可，属于基础题型.4、B【解题分析】

由奇函数，偶函数的定义,容易得选项B正确.5、B【解题分析】由题意得，所以复数的虚部为．选B．6、A【解题分析】

由已知条件计算圆心到直线的距离和半径进行比较，即可求出结果【题目详解】圆，圆心到直线的距离小于半径，由点到直线的距离公式：，，故选【题目点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，根据题意将其转化为圆心到直线的距离，然后和半径进行比较，较为基础．7、C【解题分析】

设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列{an}，则，由前5项和为5求得，进一步求得d，则答案可求．【题目详解】设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列{an}，则，则，∴1，则，∴．∴大夫所得鹿数为只．故选：C．【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，属于基础题．8、C【解题分析】

化简二项式的展开式，令的指数为零，求得常数项.【题目详解】二项式展开式的通项为，令，故常数项为，故选C.【题目点拨】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式中的常数项，属于基础题.9、B【解题分析】

根据等比数列性质列式求解【题目详解】选B.【题目点拨】本题考查利用等比数列性质求值，考查基本分析求解能力，属基础题.10、A【解题分析】

利用函数的奇偶性，排除选项B,D，再利用特殊点的函数值判断即可．【题目详解】函数为非奇非偶函数，排除选项B,D；当-1<x<0,f（x）<0，排除选项C故选：A．【题目点拨】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的图象的变化趋势是判断函数的图象的常用方法．11、B【解题分析】分析：先求曲线交点，再确定被积上下限，最后根据定积分求面积.详解：因为，所以所以由直线与曲线围成的封闭图形的面积是,选B.点睛：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．12、D【解题分析】

在直线l中取k值，对应地找到选项A、B、C中的m值，使得直线与给出的直线关于坐标轴或原点具有对称性得出答案。【题目详解】当直线l过点-1,0，取m=-1，直线l和选项A中的直线重合，故排除A；当直线l过点1,0，取m=-1，直线l和选项B中的直线关于y轴对称，被椭圆E截得的弦长相同，故排除B；当k=0时，取m=0，直线l和选项C中的直线关于x轴对称，被椭圆E截得的弦长相同，故排除C；直线l的斜率为k，且过点0,1，选项D中的直线的斜率为m，且过点0,-2，这两条直线不关于x轴、y轴和原点对称，故被椭圆E所截得的弦长不可能相等。故选：D。【题目点拨】本题考查直线与椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中等题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、32【解题分析】试题分析：设高一年级抽取x名学生，所以x80考点：分层抽样14、①②④【解题分析】

由结合题中等式可判断命题①的正误；根据题中等式推出来判断出命题②的正误；由函数为奇函数来判断命题③的正误；在题中等式中用替换可判断出命题④的正误.【题目详解】对于命题①，由于函数是上的奇函数，则，在等式中，令可得，得，命题①正确；对于命题②，，所以，是以为周期的周期函数，命题④正确；对于命题③，由于函数是上的奇函数，不关于直线（即轴）对称，命题③错误；对于命题④，由，可得，即，由于函数是上的奇函数，则，命题④正确.故答案为：①②④.【题目点拨】本题考查函数的奇偶性、对称性以及周期性的推导，求解时充分利用题中的等式以及奇偶性、对称性以及周期性的定义式，不断进行赋值进行推导，考查推理能力，属于中等题。15、2【解题分析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，进而得到最后求出复数的模即可．详解：由，可得∴，∴故答案为：2点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.16、【解题分析】分析：正实数满足，可求得，由可求得恒成立，利用双钩函数性质可求得a的取值范围.详解：因为，又因为正实数满足解得：由可求得根据双钩函数性质可知，当时有最小值所以的取值范围为点睛：（1）基本不等式是每年高考中必考的考点，要熟练掌握；（2）恒成立问题要注意首选方法是分离参数，将参数分离后让不等式的另一边构造为一个新函数，从而解决新函数的最值是这类问题的基本解题思路.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

设出，（1）由，可求得，从而得直线斜率，写出直线方程；（2）由共线得出满足的等量关系，求出，【题目详解】设出，（1）∵，∴，即，解得，∴直线方程为，即；（2）∵共线，∴，整理得，∴，当且仅当，即时等号成立。∴直线方程为，即。【题目点拨】本题考查求直线方程，由于题中条件都与向量有关，因此引入直线与坐标轴的交点坐标，由平面向量的坐标运算求出参数，写出方程的截距式，再化为一般式。18、（1）15；（2）48.【解题分析】分析：(1）由排列组合的知识可知常数项为.(2）由排列组合的知识可知满足题意的偶数的个数为.详解：(1）由排列组合的知识可知的展开式中的常数项为.(2）首先排列好个位，然后排列其余位数上的数字，由排列组合的知识可知满足条件的五位数为偶数的个数为.点睛：本题主要考查排列组合与二项式定理知识的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19、（1）（2）【解题分析】

（1）利用平方和为1消去参数得到曲线C的直角坐标方程，再利用，整理即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离.【题目详解】（1）由，得，两式两边平方并相加，得，所以曲线表示以为圆心，2为半径的圆.将代入得，化简得所以曲线的极坐标方程为（2）由，得，即，得所以直线的直角坐标方程为因为圆心到直线的距离，所以曲线上的点到直线的最大距离为.【题目点拨】本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.20、（1）；（2）（ⅰ）详见解析；（ⅱ）详见解析.【解题分析】

（1）的展开式中含的项的系数为，二项式定理展开，展开得到含项的系数，利用，即可证明；（2）（ⅰ）用组合数的阶乘公式证明；（ⅱ）利用（ⅰ）的结论和组合数的性质得到，最后结合（1）的结论证明.【题目详解】（1）的展开式中含的项的系数为由可知的展开式中含的项的系数为，，；（2）（ⅰ）当时，；（ⅱ）由（1）知，，.【题目点拨】本题考查二项式定理和二项式系数和组合数的关系，以及组合数公式的证明，意在考查变形，转化，推理，证明的能力，属于难题，本题的（ⅱ）的关键步骤是这一步用到了（ⅰ）的结论和组合数的性质.21、（I）（2，6）；（II）详见解析.【解题分析】

（I）按零点分类讨论，去掉绝对值，分别求解不等式，即可得绝对值不等式的解集；（II）由函数，求得其最大值，得到，再利用基本不等式，即可求解.【题目详解】（I）当时，，解得，；当时，，解得，；当时，，解得，无解.综上所述，原不等式的解集为（2，6）.（II）证明：=，即（当且仅当时，等号成立）.【题目点拨】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的证明问题，其中解答中合理分类讨论去掉绝对值号是解答含绝对值不等