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西藏拉萨北京实验中学2024届高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若双曲线的一条渐近线经过点,则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.2.设是函数的导函数,的图象如图所示,则的图象最有可能的是()A. B.C. D.3.在中,分别为内角的对边,若,,且,则()A.2 B.3 C.4 D.54.已知i为虚数单位,复数z满足(1-i)·z=2i,是复数z的共轭复数,则下列关于复数z的说法正确的是()A.z=1-i B.C. D.复数z在复平面内表示的点在第四象限5.若x,y满足约束条件,则的最大值为()A. B.1 C.2 D.46.如图,可导函数在点处的切线方程为,设,为的导函数,则下列结论中正确的是()A.,是的极大值点B.,是的极小值点C.,不是的极值点D.,是是的极值点7.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑,平面,,,三棱锥的四个顶点都在球的球面上,则球的表面积为()A. B. C. D.8.如图1是把二进制数化为十制数的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是()A.B.C.D.否否开始是9.设,则()A. B.10 C. D.10010.已知椭圆的左、右焦点分别为、,过且斜率为的直线交椭圆于、两点,则的内切圆半径为()A. B. C. D.11.已知,均为正实数,且,则的最小值为()A.20 B.24 C.28 D.3212.甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为()A.0.12 B.0.42 C.0.46 D.0.88二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若将函数表示为其中,,,…,为实数,则=______________.14.若z是关于x的方程的一个虚数根,则的取值范围是________.15.设离散型随机变量的概率分布如下:则的值为__________.16.将函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象,则的值是____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知为虚数单位,复数满足,(1)求.(2)在复平面内,为坐标原点,向量,对应的复数分别是,,若是直角,求实数的值.18.(12分)(1)求关于的不等式的解集;(2)若关于的不等式在时恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)四棱锥中,底面是中心为的菱形,,.(1)求证:平面;(2)若直线与平面所成的角为,求二面角正弦值.20.(12分)已知函数.(Ⅰ)当时,求函数在处的切线方程;(Ⅱ)求函数的单调区间;(Ⅲ)求证:当时,函数的图像与函数的图像在区间上没有交点.21.(12分)现在很多人喜欢自助游,2017年孝感杨店桃花节,美丽的桃花风景和人文景观迎来众多宾客.某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关,在孝感桃花节期间,随机抽取了人,得如下所示的列联表:赞成“自助游”不赞成“自助游”合计男性女性合计(1)若在这人中,按性别分层抽取一个容量为的样本,女性应抽人,请将上面的列联表补充完整,并据此资料能否在犯错误的概率不超过前提下,认为赞成“自助游”是与性别有关系?(2)若以抽取样本的频率为概率,从旅游节大量游客中随机抽取人赠送精美纪念品,记这人中赞成“自助游”人数为,求的分布列和数学期望.附:22.(10分)已知sinα=-817且π<α<3π2,求sin
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】因为双曲线的一条渐近线经过点(3,-4),故选D.考点:双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质,在解决有关双曲线问题时,需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有:(1)与双曲线共渐近线的可设为;(2)若渐近线方程为,则可设为;(3)双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长;(4)的一条渐近线的斜率为.可以看出,双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小.另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化,其实质是确定极端或极限位置.2、C【解题分析】
根据导函数图象,确定出函数的单调区间和极值,从而可得结论.【题目详解】根据的图象可知,当或时,,所以函数在区间和上单调递增;当时,,所以函数在区间上单调递减,由此可知函数在和处取得极值,并且在处取得极大值,在处取得极小值,所以的图象最有可能的是C.故选:C.【题目点拨】本题考查导数与函数单调性、极值的关系,考查数形结合思想和分析能力.解决此类问题,要根据导函数的图象确定原函数的单调区间和极值,一定要注意极值点两侧导数的符号相反.3、C【解题分析】利用正弦定理可得:,①由余弦定理可得:,②由,得,③由①②③得,,故选C.4、C【解题分析】
把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简求出z,然后逐一核对四个选项得答案.【题目详解】复数在复平面内表示的点在第二象限,故选C.【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.5、D【解题分析】
已知x,y满足约束条件,画出可行域,目标函数z=y﹣2x,求出z与y轴截距的最大值,从而进行求解;【题目详解】∵x,y满足约束条件,画出可行域,如图:由目标函数z=y﹣2x的几何意义可知,z在点A出取得最大值,A(﹣3,﹣2),∴zmax=﹣2﹣2×(﹣3)=4,故选:D.【题目点拨】在解决线性规划的小题时,常用步骤为:①由约束条件画出可行域⇒②理解目标函数的几何意义,找出最优解的坐标⇒③将坐标代入目标函数,求出最值;也可将可行域各个角点的坐标代入目标函数,验证,求出最值.6、B【解题分析】
由图判断函数的单调性,结合为在点P处的切线方程,则有,由此可判断极值情况.【题目详解】由题得,当时,单调递减,当时,单调递增,又,则有是的极小值点,故选B.【题目点拨】本题通过图象考查导数的几何意义、函数的单调性与极值,分析图象不难求解.7、C【解题分析】由题意得为球的直径,而,即球的半径;所以球的表面积.本题选择C选项.点睛:与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.8、C【解题分析】略9、B【解题分析】
利用复数的除法运算化简为的形式,然后求得的表达式,进而求得.【题目详解】,,.故选B.【题目点拨】本小题主要考查复数的除法运算,考查复数的平方和模的运算,属于基础题.10、C【解题分析】分析:根据韦达定理结合三角形面积公式求出的面积,利用椭圆的定义求出三角形的周长,代入内切圆半径,从而可得结果.详解:椭圆的左、右焦点分别为,则的坐标为,过且斜率为的直线为,即,代入,得,则,故的面积,的周长,故的内切圆半径,故选C.点睛:本题主要考查利用椭圆的简单性质与椭圆定义的应用,属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.11、A【解题分析】分析:由已知条件构造基本不等式模型即可得出.详解:均为正实数,且,则当且仅当时取等号.的最小值为20.故选A.点睛:本题考查了基本不等式的性质,“一正、二定、三相等”.12、D【解题分析】由题意知,甲、乙都不被录取的概率为(1-0.6)(1-0.7)=0.12.∴至少有一人被录取的概率为1-0.12=0.88.故选D.考点:相互独立事件的概率.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、10【解题分析】法一:由等式两边对应项系数相等.即:.法二:对等式:两边连续对x求导三次得:,再运用赋值法,令得:,即14、【解题分析】
由判别式小于0求得m的范围,设z=a+bi(a,b∈R),利用根与系数的关系求得a值及b与m的关系,进一步求|z+1|,则答案可求.【题目详解】解:由△=4﹣4(m2﹣8)<0,解得m2>1.设z=a+bi(a,b∈R),则2a=2,a=1,a2+b2=m2﹣8,即b2=m2﹣1.∴|z+1|=|(a+1)+bi|=|2+bi|∈(2,+∞).故答案为:(2,+∞).【题目点拨】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理,考查复数模的求法,是基础题.15、【解题分析】分析:离散型随机变量的概率之和为1详解:解得:。点睛:离散型随机变量的概率之和为1,是分布列的性质。16、1【解题分析】
利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式,再代入后可得g()的值.【题目详解】解:将函数f(x)=sin(2x+π)的图象向右平移个单位后,得到函数g(x)=sin[2(x﹣)+π]=cos2x的图象,则g()=cos(2×)=1,故答案为1.【题目点拨】本题主要考查诱导公式的应用,函数y=Asin(ωx+φ)的图象平移变换,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)z=3+4i;(2)c=8【解题分析】
(1)设,由,进行计算化简,得到关于的方程组,解得答案;(2)代入(1)中求出的,然后由∠AOB是直角,得到,得到关于的方程,求出的值.【题目详解】(1)设,由,得,∴,解得.∴;(2)由题意,的坐标分别为∴,,∵是直角,∴,即.【题目点拨】本题考查复数的运算,复数模长的表示,向量垂直的坐标表示,属于简单题.18、(1);(2)【解题分析】分析:(1)分类讨论,转化为三个不等式组,即可求解不等式的解集;(2)由题意,令,则不等式恒成立,即为,分类讨论即可求解实数的取值范围.详解:(1)原不等式化为:①或②或③.解得或或.∴原不等式的解集为(2)令,则只须即可.①当时,(时取等);②当时,(时取等).∴.点睛:本题主要考查了绝对值不等式的求解及其应用,其中合理分类讨论,转化为等价不等式组进行求解是解答绝对值问题的关键,着重考查了推理与运算能力.19、(1)见解析(2)【解题分析】
(1)由题意,,又,则平面,则,又,则平面;(2)由题意,直线与平面所成的角即为,设菱形的边长为2,取的中点,连接,则平面,以为原点,,,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,利用平面的法向量求解二面角.【题目详解】(1)证明:因为底面是菱形,故,又,且平面,,∴平面,∵平面,∴又∵,,平面,∴平面;(2)解:由(1)知,平面,故直线与平面所成的角即为,设菱形的边长为2,由平面几何知识,,取的中点,连接,则平面,以为原点,,,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,则,,,,平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,,,故所求二面角的正弦值为.【题目点拨】本题主要考查线面垂直的判定与性质,考查利用空间向量求二面角,考查推理能力与计算能力,属于中档题.20、(Ⅰ);(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析.【解题分析】
(Ⅰ)当时,求得函数的导数,得到切线的斜率,利用直线的点斜式方程,即可求解;(Ⅱ)由题意,求得,利用导数即可求解函数的单调区间.(Ⅲ)令,利用导数得到函数的单调性和最值,即可作出证明.【题目详解】(Ⅰ)当时,函数在处的切线方程是;(Ⅱ),当时,函数的单调增区间是;当时,函数的单调增区间是,单调减区间是;(Ⅲ)令,可以证明函数的最小值是,所以恒成立,所以两个图像没有交点.【题目点拨】本题主要考查导数在函数中的应用,以及不等式的证明,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,求解曲线在某点处的切线方程;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题,同时注意数形结合思想的应用.21、(1)赞成“自助游”不赞成“自助游”合计男性女性合计在犯错误的概率不超过前提下,不能认为赞成“自助游”与性别有关系.(2)的分布列为:期望.【解题分析】试题分析:(1)根据分层抽样比为,可知女性共55人,从而可以知难行45人,即可填表,计算卡方,得出结论;(2)由题意知随机变量服从二项分布,从而利用公式计算分布列和期望.试题解析:(1)赞成“自助游”不赞成“自助游”合计男性女性合计将列联表中的数据代入计算,得的观测值:,在
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