2024届安徽省天长市关塘中学高二数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析

2024届安徽省天长市关塘中学高二数学第二学期期末达标检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲射中的概率，乙射中的概率，则目标被击中的概率为（）A．1.7 B．1 C．0.72 D．0.982．一个袋中装有大小相同的个白球和个红球，现在不放回的取次球，每次取出一个球，记“第次拿出的是白球”为事件，“第次拿出的是白球”为事件，则事件与同时发生的概率是（）A． B． C． D．3．设，则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知复数满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为10，14，则输出的（）A．6 B．4 C．2 D．06．在中，为边上一点，且，向量与向量共线，若，，，则（）A．3 B． C．2 D．7．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于，反证假设正确的是()A．假设三内角都大于 B．假设三内角都不大于C．假设三内角至多有一个大于 D．假设三内角至多有两个大于8．若实数满足，则的取值范围为()A． B． C． D．9．已知函数，，若成立，则的最小值为（）A． B． C． D．10．已知，，则等于（）A． B． C． D．111．在市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩，已知，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（）A．0.15 B．0.50 C．0.70 D．0.8512．（）A．0 B． C．1 D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线在点处的切线方程为________．14．《九章算术》卷五《商功》中有如下叙述“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈“刍甍”指的是底面为矩形的对称型屋脊状的几何体，“下广三丈”是指底面矩形宽三丈，“袤四丈”是指底面矩形长四丈，“上袤二丈”是指脊长二丈，“无宽”是指脊无宽度，“高一丈”是指几何体的高为一丈．现有一个刍甍如图所示，下广三丈，袤四丈，上袤三丈，无广，高二丈，则该刍甍的外接球的表面积为_______________平方丈．15．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率是，既刮风又下雨的概率为，设为下雨，为刮风，那么等于__________．16．复数的虚部为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直三棱柱中，，.（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求点到平面的距离.18．（12分）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．19．（12分）正项数列的前项和满足.（Ⅰ）求，，；（Ⅱ）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.20．（12分）已知函数（且，e为自然对数的底数.）（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数只有一个零点，求a的值.21．（12分）（江苏省南通市高三最后一卷---备用题数学试题）已知函数，其中.（1）当时，求函数处的切线方程；（2）若函数存在两个极值点，求的取值范围；（3）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.22．（10分）已知函数，；.（1）求的最大值；（2）若对，总存在使得成立，求的取值范围；（3）证明不等式.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

先计算没有被击中的概率，再用1减去此概率得到答案.【题目详解】.故选：.【题目点拨】本题考查了概率的计算，先计算没有被击中的概率是解题的关键.2、D【解题分析】

将事件表示出来，再利用排列组合思想与古典概型的概率公式可计算出事件的概率．【题目详解】事件：两次拿出的都是白球，则，故选D.【题目点拨】本题考查古典概型的概率计算，解题时先弄清楚各事件的基本关系，然后利用相关公式计算所求事件的概率，考查计算能力，属于中等题．3、A【解题分析】

通过分类讨论可证得充分条件成立，通过反例可知必要条件不成立，从而得到结果.【题目详解】若，则；若，则；若，则，可知充分条件成立；当，时，则，此时，可知必要条件不成立；是的充分不必要条件本题正确选项：【题目点拨】本题考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题.4、B【解题分析】分析：先求出z，然后根据共轭复数定义结合复数坐标写法即可.详解：由题可知：，所以所对应的坐标为（-1,1），故在第二象限，选B.点睛：考查复数的除法运算，复数的坐标表示，属于基础题.5、C【解题分析】

由程序框图，先判断，后执行，直到求出符合题意的.【题目详解】由题意，可知，，满足，不满足，则，满足，满足，则，满足，满足，则，满足，不满足，则，不满足，输出.故选C.【题目点拨】本题考查了算法和程序框图，考查了学生对循环结构的理解和运用，属于基础题.6、B【解题分析】取BC的中点E，则与向量共线，所以A、D、E三点共线，即中边上的中线与高线重合，则.因为，所以G为的重心，则所以本题选择B选项.7、B【解题分析】

反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案.【题目详解】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于不成立，即假设三内角都不大于，故本题选B.【题目点拨】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键.8、C【解题分析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围.详解：作出不等式组对应的平面区域如图：设，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时z最小，为，当直线经过点时，直线的截距最大，此时时z最大，为，即.故选：C.点睛：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法.9、A【解题分析】

根据得到，的关系，利用消元法转化为关于的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．【题目详解】设，则，，令，所以，又在增函数，且，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增．所以，即的最小值为．故选A.【题目点拨】本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键，有一定的难度．10、A【解题分析】

根据和角的范围可求出=—，再根据两角和与差的正弦求出的值，进而求出，代入求出结果即可.【题目详解】因为，，=—，所以==，所以，所以=.故选A.【题目点拨】本题考查三角函数给值求角，两角和与差的正弦，诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.11、D【解题分析】

根据正态密度曲线的对称性得出，于是可计算出，于此可得出结果．【题目详解】由于，由正态密度曲线的对称性可得，因此，，故选D.【题目点拨】本题考查正态分布在指定区间上的概率的计算，解题的关键在于利用正态密度曲线的对称性将所求概率转化为已知区间概率进行计算，属于基础题．12、C【解题分析】

根据定积分的意义和性质，，计算即可得出.【题目详解】因为，故选C.【题目点拨】本题主要考查了含绝对值的被积函数的定积分求值，定积分的性质，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

求出函数的导数，可得切线的斜率，运用斜截式方程可得切线的方程．【题目详解】曲线y＝（1﹣3a）ex在点（1，1），可得：1＝1﹣3a，解得a＝1，函数f（x）＝ex的导数为f′（x）＝ex，可得图象在点（1，1）处的切线斜率为1，则图象在点（1，1）处的切线方程为y＝x+1，即为x﹣y+1＝1．故答案为：x﹣y+1＝1．【题目点拨】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用斜截式方程是解题的关键，属于基础题．14、【解题分析】

连结，交于，可得，即可确定点为刍甍的外接球的球心，利用球的表面积公式即可得到答案．【题目详解】如图，连结，，连结，交于，可得，由已知可得，所以点为刍甍的外接球的球心，该球的半径为，所以该刍甍的外接球的表面积为．故答案为：【题目点拨】本题主要考查多面体外接球表面积的求法，同时考查数形结合思想，属于中档题．15、【解题分析】由题意可知，故答案为.16、【解题分析】

利用复数的除法将复数表示为一般形式，可得出该复数的虚部.【题目详解】由复数的除法法则得，因此，复数的虚部为.故答案为.【题目点拨】本题考查复数虚部的求解，一般利用复数四则运算法则将复数表示为一般形式即可，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

（1）根据直三棱柱的性质,可知直线与平面所成角即为,根据即可得解.（2）根据结合三棱锥体积求法即可得点到平面的距离.【题目详解】（1）画出空间几何体如下图所示:因为三棱柱为直三棱柱,所以即为直线与平面所成角因为,所以即直线与平面所成角为（2）因为直三棱柱中,,.所以则,设点到平面的距离为则所以即,解得所以点到平面的距离为【题目点拨】本题考查了直线与平面的夹角,点到平面距离的求法及等体积法的应用,属于基础题.18、（1）；（2）．【解题分析】

直接利用递推关系式，构造等比数列，求出数列的通项公式；

利用的结论，进一步利用分组法求出数列的和．【题目详解】（1）因为，所以，所以，即，所以，又所以是以2为首项，2为公比的等比数列．所以，即．（2）因为，所以．【题目点拨】本题考查了利用递推关系式求出数列的通项公式，等比数列的前n项和公式及分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．19、（Ⅰ）（Ⅱ）猜想证明见解析【解题分析】分析：（1）直接给n取值求出，，.(2)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.详解：（Ⅰ）令，则，又，解得；令，则，解得；令，则，解得.（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想；下面用数学归纳法证明.由（Ⅰ）可知当时，成立；假设当时，，则.那么当时，，由，所以，又，所以，所以当时，.综上，.点睛：（1）本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该基础知识的掌握水平和基本计算能力.(2)数学归纳法的步骤：①证明当n=1时，命题成立。②证明假设当n=k时命题成立，则当n=k+1时，命题也成立.由①②得原命题成立.20、（1）（2）【解题分析】

（1）代入，得，所以，求出，由直线方程的点斜式，即可得到切线方程；（2）分和两种情况，考虑函数的最小值，令最小值等于0，即可得到a的值.【题目详解】解：（1）当时，，，，∴切线方程为;（2），，令，得，1）当时，，x－0＋极小值所以当时，有最小值，.因为函数只有一个零点，且当和时，都有，所以，即，因为当时，，所以此方程无解.2）当时，，x－0＋极小值所以当时，有最小值，.因为函数只有一个零点，且当和时，都有，所以，即（）（*），设（），则，令，得，当时，；当时，；所以当时，，所以方程（*）有且只有一解.综上，时函数只有一个零点.【题目点拨】本题主要考查在曲线上一点的切线方程的求法，以及利用导数研究含参函数的零点问题，考查学生的运算求解能力，体现了分类讨论的数学思想.21、(1).(2).(3).【解题分析】

（1）首先将代入函数解析式，求出函数的导数，求出函数的切线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，化简求得结果；（2）求出函数的导数，利用函数存在两个极值点，是方程的两个不等正根，韦达定理得到关系，将化为关于的函数关系式，利用导数求得结果；（3）将恒成立问题应用导数来研究，分类讨论，求得结果.【题目详解】（1）当时，，故，且，故所以函数在处的切线方程为（2）由，可得因为函数存在两个极值点，所以是方程的两个不等正根，即的两个不等正根为所以，即所以令，故，在上单调递增，所以故得取值范围是（3）据题意，对任意的实数恒成立，即对任意的实数恒成立.令，则①若，当时，，故符合题意；②若，（i）若，即，则，在上单调赠所以当时，，故符合题意；（ii）若，即，令，得（舍去），，当时，，在上单调减；当时，，在上单调递增，所以存在，使得，与题意矛盾，所以不符题意.③若，令，得当时，，在上单调增；当时，，在上单调减.首先证明：要证：，即要证：，只要证：因为，所以，故所以其次证明，当时，对任意的都成立令，则，故在上单调递增，所以，则所以当时，对任意的都成立所以当时，即，与题意矛盾，故不符题意，综上所述，实数的取值范围是.【题目点拨】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有导数的几何意义，应用导数研究函数的极值点，应用导数研究不等式恒成立问题，涉及到的解题思想是分类讨论，注意思路清晰是解题的关键.22、【解题分析】试题分析：（1）对函数求导，，时，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值，也是最大值，所以的最大值为；（2）若对，总存在使得成立，则转化为，由（1）知，问题转化为求函数在区间上的最大值，对求导，，分类讨论，当时，函数在上恒成立，在上单调递增，只需满足，，