山东省平邑县曾子学校2024届高二数学第二学期期末达标测试试题含解析

山东省平邑县曾子学校2024届高二数学第二学期期末达标测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．曲线的极坐标方程化为直角坐标为（）A． B．C． D．2．已知复数，若为纯虚数，则（）A．1 B． C．2 D．43．抛物线的焦点坐标是（）A． B． C． D．4．函数的最小正周期是（）A． B． C． D．5．曲线与直线及直线所围成的封闭图形的面积为()A． B． C． D．6．设是边长为的正三角形，是的中点，是的中点，则的值为（）A． B． C． D．7．已知全集U＝{x∈Z|0<x<10}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则(∁UA)∩B＝()A．{6，8} B．{2，4} C．{2，6，8} D．{4，8}8．将4名学生分配到5间宿舍中的任意2间住宿，每间宿舍2人，则不同的分配方法有（）A．240种 B．120种 C．90种 D．60种9．设集合，则（）A． B． C． D．10．下面是利用数学归纳法证明不等式（，且的部分过程：“……，假设当时，＋＋…＋，故当时，有，因为，故＋＋…＋，……”，则横线处应该填（）A．＋＋…＋+＜，B．＋＋…＋，C．2＋＋…＋+，D．2＋＋…＋，11．已知复数，若是纯虚数，则实数等于（）A．2 B．1 C．0或1 D．-112．假设如图所示的三角形数表的第行的第二个数为，则（）A．2046 B．2416 C．2347 D．2486二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线的一个法向量，则直线的倾斜角是_________（结果用反三角函数表示）；14．已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是，，，，这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）.15．一个直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为________16．不等式的解集是_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围18．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点（点均在第一象限），且直线的斜率成等比数列，证明：直线的斜率为定值.19．（12分）已知复数（，为正实数，是虚数单位）是方程的一个根.（1）求此方程的另一个根及的值；（2）复数满足，求的取值范围.20．（12分）已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数，且a∈R．（1）求a的值；（2）设函数g（x）＝，若将函数g（x）的图象向右平移一个单位得到函数h（x）的图象，求函数h（x）的值域．21．（12分）已知函数，其中为常数.（1）证明：函数的图象经过一个定点，并求图象在点处的切线方程；（2）若，求函数在上的值域.22．（10分）已知椭圆的左右焦点分别为，直线经过椭圆的右焦点与椭圆交于两点，且.（I）求直线的方程；（II）已知过右焦点的动直线与椭圆交于不同两点，是否存在轴上一定点，使？（为坐标原点）若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

利用直角坐标与极坐标的互化公式，即可得到答案．【题目详解】由曲线的极坐标方程，两边同乘，可得，再由，可得：，所以曲线的极坐标方程化为直角坐标为故答案选B【题目点拨】本题考查把极坐标转化为直角坐标方程的方法，熟练掌握直角坐标与极坐标的互化公式是解题的关键，属于基础题．2、B【解题分析】

计算，根据纯虚数的概念，可得，然后根据复数的模的计算，可得结果.【题目详解】为纯虚数，，，故选：B【题目点拨】本题考查复数中纯虚数的理解以及复数的模的计算，审清题干，细心计算，属基础题.3、A【解题分析】分析：先把抛物线的方程化成标准方程，再求其焦点坐标.详解：由题得，所以抛物线的焦点坐标为.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)研究圆锥曲线时，首先一般把曲线的方程化成标准方程再研究.4、C【解题分析】

根据三角函数的周期公式，进行计算，即可求解．【题目详解】由角函数的周期公式，可得函数的周期，又由绝对值的周期减半，即为最小正周期为，故选C．【题目点拨】本题主要考查了三角函数的周期的计算，其中解答中熟记余弦函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算与求解能力，属于基础题．5、D【解题分析】联立曲线与两条直线的方程组成的方程组可得三个交点分别为，结合图形可得封闭图形的面积为，应选答案D．6、D【解题分析】

将作为基向量，其他向量用其表示，再计算得到答案.【题目详解】设是边长为的正三角形，是的中点，是的中点，故答案选D【题目点拨】本题考查了向量的乘法，将作为基向量是解题的关键.7、A【解题分析】

先化简已知条件,再求.【题目详解】由题得,因为,,故答案为A【题目点拨】本题主要考查集合的化简，考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.8、D【解题分析】

根据分步计数原理分两步：先安排宿舍，再分配学生，继而得到结果．【题目详解】根据题意可以分两步完成：第一步：选宿舍有10种；第二步：分配学生有6种；根据分步计数原理有：10×6＝60种．故选D．【题目点拨】本题考查排列组合及计数原理的实际应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题．9、C【解题分析】

先求，再求【题目详解】,故选C.【题目点拨】本题考查了集合的并集和补集，属于简单题型.10、A【解题分析】

由归纳假设，推得的结论，结合放缩法，便可以得出结论．【题目详解】假设当时，＋＋…＋，故当时，＋＋…＋+＜，因为，＋＋…＋，故选A．【题目点拨】本题主要考查数学归纳法的步骤，以及放缩法的运用，意在考查学生的逻辑推理能力．11、B【解题分析】分析：由复数是纯虚数，得实部等于0且虚部不等于0.求解即可得到答案.详解：复数是纯虚数，，解得.故选B.点睛：此题考查复数的概念，思路：纯虚数是实部为0.虚部不为0的复数.12、B【解题分析】

由三角形数表特点可得，利用累加法可求得，进而得到结果.【题目详解】由三角形数表可知：，，，…，，，整理得：，则.故选：.【题目点拨】本题考查数列中的项的求解问题，关键是能够采用累加法准确求得数列的通项公式.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由法向量与方向向量垂直，求出方向向量，得直线的斜率，从而得倾斜角。【题目详解】直线的一个法向量，则直线的一个方向向量为，其斜率为，∴倾斜角为。故答案为：。【题目点拨】本题考查求直线的倾斜角，由方向向量与法向量的垂直关系可求得直线斜率，从而求得倾斜角，注意倾斜角范围是，而反正切函数值域是。14、45【解题分析】

通过分步乘法原理即可得到答案.【题目详解】对于英文字母来说，共有5种可能，对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法原理，即可知道共有个不同的编号.【题目点拨】本题主要考查分步乘法原理的相关计算，难度很小.15、【解题分析】

设此直三棱柱两底面的中心分别为，则球心为线段的中点，利用勾股定理求出球的半径，由此能求出球的表面积．【题目详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的球面上，∴设此直三棱柱两底面的中心分别为，则球心为线段的中点，设球的半径为，则∴球的表面积.故答案为：．【题目点拨】本题考查球的表面积的求法，空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中档题．16、【解题分析】

直接去掉绝对值即可得解.【题目详解】由去绝对值可得即，故不等式的解集是.【题目点拨】本题考查了绝对值不等式的解法，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】试题分析：（1）由函数求出导数，由区间上为减函数得到恒成立，通过分离参数，求函数最值得到的范围（2）将不等式恒成立转化为求函数最值问题，首先通过函数导数得到单调区间，进而求出最值，在求单调区间时注意对参数分情况讨论试题解析：（1）因为函数在区间上为减函数，所以对恒成立即对恒成立（2）因为当时，不等式恒成立，即恒成立，设，只需即可由①当时，，当时，，函数在上单调递减，故成立②当时，令，因为，所以解得1）当，即时，在区间上，则函数在上单调递增，故在上无最大值，不合题设．2）当时，即时，在区间上；在区间上．函数在上单调递减，在区间单调递增，同样在无最大值，不满足条件．③当时，由，故，，故函数在上单调递减，故成立综上所述，实数的取值范围是考点：1．不等式与函数的转化；2．利用导数求函数的单调性最值18、(1);(2)见解析.【解题分析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率和所过的点得到关于的方程组，解得后可得椭圆的方程．（2）由题意设直线的方程为，与椭圆方程联立后消元可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系可得直线的斜率，再根据题意可得，根据此式可求得，为定值．试题解析：（1）由题意可得，解得．故椭圆的方程为．（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，由，消去整理得，∵直线与椭圆交于两点，∴．设点的坐标分别为，则，∴．∵直线的斜率成等比数列，∴，整理得，∴，又，所以，结合图象可知，故直线的斜率为定值．点睛：（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查．（2）解决定值问题时，可直接根据题意进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．19、(1),;(2)【解题分析】

(1)先求得的根,再根据题意求另一根即可.

(2)根据复数模长的计算表达再求解即可.【题目详解】(1),故,,.

(2)由有,即.所以.【题目点拨】本题主要考查了复数的基本运算以及模长的用法等,属于基础题型.20、（1）；（2）【解题分析】

（1）由题意可得，解方程可得的值，即可求得的值；（2）求得，由图象平移可得，再由指数函数的值域，即可求解，得到答案．【题目详解】(1)由题意，函数是定义域为R的奇函数，所以，即，所以，经检验时，是奇函数.(2)由于，所以，即，所以，将的图象向右平移一个单位得到的图象，得，所以函数的值域为．【题目点拨】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，指数函数的图象与性质的应用，以及图象的变换，着重考查了变形能力，以及推理与运算能力，属于基础题．21、（1）证明见解析，；（2）【解题分析】

（1）将函数解析式重新整理，解得定点，再求导数，根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得切线方程，（2）先解出，再利用导数求函数值域.【题目详解】（1）因为，所以，所以函数的图像经过一个定点，因为，所以切线的斜率，.所以在点处的切线方程为，即；（2）因为，，所以，故，则，由得或，当变化时，，的变化情况如下表：1200单调减单调增从而在上有最小值，且最小值为，因为，，所以，因为在上单调减，，所以，所以，所以最大值为，所以函数在上的值域为.【题目点拨】本题考查导数几何意义以及利用导数求函数值域，考查综合分析求解能力，属中档题.22、（1）或；（2）【解题分析】

（I）解法一：直线方程与椭圆方程联立化为一元二次方程，利用弦长公式即可得出．解法二：利用焦半径公式可得．（II）II）设l2的方程为与椭圆联立：．假设存在点T（t，0）符合要求，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．∠OTP=∠OTQ，再利用