2024届北京市海淀首经贸数学高二下期末考试试题含解析

2024届北京市海淀首经贸数学高二下期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是离散型随机变量，，则（）A． B． C． D．2．已知双曲线mx2-yA．y=±24x B．y=±23．设圆x2+y2+2x-2=0截x轴和y轴所得的弦分别为AB和CDA．22 B．23 C．24．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A．152 B．126 C．90 D．545．函数是（）A．偶函数且最小正周期为2 B．奇函数且最小正周期为2C．偶函数且最小正周期为 D．奇函数且最小正周期为6．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（）A．72 B．90 C．101 D．1107．下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x0∈R使得”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”8．“a＞0”是“|a|＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知数列满足,则()A． B． C． D．10．，，三个人站成一排照相，则不站在两头的概率为（）A． B． C． D．11．函数的部分图象大致是（）A． B．C． D．12．已知数列{an}满足，则数列{an}的最小项为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．(N*)展开式中不含的项的系数和为________.14．对于自然数方幂和，，，求和方法如下：，，…，将上面各式左右两边分别相加，就会有，解得，类比以上过程可以求得，且与无关，则的值为__________．15．观察以下各等式：，，，分析上述各式的共同特点，则能反映一般规律的等式为__________．16．由曲线与直线所围成的封闭图形的面积为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，记动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）若直线与交于两点，且，求的值.18．（12分）如图，棱长为的正方形中，点分别是边上的点，且将沿折起，使得两点重合于，设与交于点，过点作于点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．19．（12分）设函数，曲线在点，（1））处的切线与轴垂直．（1）求的值；（2）若存在，使得，求的取值范围．20．（12分）设函数的最大值为.（1）求的值；（2）若正实数，满足，求的最小值.21．（12分）已知函数，且曲线在点处的切线方程为．（1）求实数的值及函数的最大值；（2）证明：对任意的.22．（10分）已知函数.（1）的最小正周期及单调递增区间；（2）当时，求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

根据题意，由随机变量的分布列的性质可得则只有两个变量，进而可得，解得，又由方差公式可得的值，又由方差的性质计算可得答案.【题目详解】根据题意，，则则只有两个变量，则，得，即，则，则.故选：B【题目点拨】本题考查了离散型随机变量分布列的性质、数学期望以及方差与方差性质，属于基础题.2、A【解题分析】x21m-y2=1,c=1m+1=33、C【解题分析】

先求出|AB|,|CD|,再求四边形ABCD的面积.【题目详解】x2+y令y=0得x=±3-1,则令x=0得y=±2，所以|CD|=2四边形ACBD的面积S=故答案为：C【题目点拨】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4、B【解题分析】试题分析：根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，故选B．考点：排列、组合的实际应用．5、C【解题分析】

首先化简为，再求函数的性质.【题目详解】，是偶函数，故选C.【题目点拨】本题考查了三角函数的基本性质，属于简单题型.6、B【解题分析】输入参数第一次循环，，满足，继续循环第二次循环，，满足，继续循环第三次循环，，满足，继续循环第四次循环，，满足，继续循环第五次循环，，满足，继续循环第六次循环，，满足，继续循环第七次循环，，满足，继续循环第八次循环，，满足，继续循环第九次循环，，不满足，跳出循环，输出故选B点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．7、C【解题分析】命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，A不正确；由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或6，因此“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，B不正确；命题“若x＝y，则sinx＝siny”为真命题，其逆否命题为真命题，C正确；命题“∃x0∈R使得＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，D不正确．综上可得只有C正确．8、A【解题分析】试题分析：本题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与集合的关系即可判断．解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件故选A考点：必要条件．9、B【解题分析】分析：首先根据题中所给的递推公式，推出，利用累求和与对数的运算性质即可得出结果详解：由，可得，即，累加得，又，所以，所以有，故选B.点睛：该题考查的是有关利用累加法求通项的问题，在求解的过程中，需要利用题中所给的递推公式，可以转化为相邻两项差的式子，而对于此类式子，就用累加法求通项，之后再将100代入求解.10、B【解题分析】分析：，，三个人站成一排照相，总的基本事件为种，不站在两头，即站中间，则有种情况，从而即可得到答案.详解：，，三个人站成一排照相，总的基本事件为种，不站在两头，即站中间，则有种情况，则不站在两头的概率为.故选：B.点睛：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.11、B【解题分析】

先判断函数奇偶性，再根据对应区间函数值的正负确定选项.【题目详解】为偶函数，舍去A;当时,舍去C；当时,舍去D；故选：B【题目点拨】本题考查函数奇偶性以及识别函数图象，考查基本分析求解判断能力，属基础题.12、B【解题分析】

先利用，构造新数列，求出数列{an}的通项公式，结合通项公式的特点求解最小值.【题目详解】因为，所以；因为所以；，以上各式相乘可得，所以，由于有最小值，所以的最小值为.故选：B.【题目点拨】本题主要考查数列通项公式的求解，利用累乘法求出通项公式是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

先将问题转化为二项展开式的各项系数和问题，再利用赋值法求出各项系数和．【题目详解】要求(n∈N∗)展开式中不含y的项，只需令y=0，(N*)展开式中不含的项的系数和即为展开式的系数和，令x=1得展开式的各项系数和为；故答案为：1.【题目点拨】因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．14、.【解题分析】分析：利用类比法先求出，再求，从而得到答案.详解：利用类比法：，，，…，将上面各式左右两边分别相加，就会有，解得；继续使用类比法：，，，…，将上面各式左右两边分别相加，就会有，解得，.故答案为：.点睛：类比推理应用的类型及相应方法类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法．(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．15、【解题分析】由题意得，，与相差了，另外根据所给三个式子的特点可得一般规律为．答案：16、【解题分析】

计算交点的横坐标为，，再利用定积分计算得到答案.【题目详解】解方程，消去解得，，故面积为.故答案为：.【题目点拨】本题考查了定积分计算面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】分析：（1）设点的坐标为，由平面向量数量积的坐标运算法则结合题意可得的方程为.（2）由（1）知为圆心是，半径是的圆，利用点到直线距离公式结合圆的弦长公式可得，解得.详解：（1）设点的坐标为，则，所以，即，所以的方程为.（2）由（1）知为圆心是，半径是的圆，设到直线的距离为，则，因为，所以，由点到直线的距离公式得，解得.点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．18、（1）见证明（2）【解题分析】

（1）由平面可得，结合可得平面，故，又得出平面；（2）建立空间坐标系，求出各点坐标，计算平面的法向量，则为直线与平面所成角的正弦值．【题目详解】（1）证明：在正方形中，，，∴，在的垂直平分线上，∴，∵，，，∴平面∴，又，，∴平面，∴，又，，∴底面．（2）解：如图过点作与平行直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，∴，，，设平面的法向量，则，即，取，记直线与平面所成角为，则，故直线与平面PDF所成角的正弦值为．【题目点拨】本题考查了线面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19、（1）；（2）【解题分析】

（1）求得的导数，利用导数的几何意义可得切线的斜率，解方程可得；（2）依据的导数，讨论的范围，结合单调性可得最小值，解不等式即可得到所求范围．【题目详解】（1），由题设知，解得.（2）解：的定义域为，由（1）知，，（i）若，则故当，使得的充要条件为，即，解得（ii）若，则，故当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增，所以，存在，使得的充要条件为，所以不合题意（iii）若，则时，在上单调递减，但是，∴综上所述，的取值范围是【题目点拨】本题主要考查导数的运用：利用导数的几何意义求切线的斜率，研究单调性和极值，意在考查学生分类讨论思想、方程思想的运用能力以及数学运算能力。20、(1)m＝1(2)【解题分析】

试题分析：（1）零点分区间去掉绝对值，得到分段函数的表达式，根据图像即可得到函数最值；（2）将要求的式子两边乘以(b＋1)＋(a＋1)，再利用均值不等式求解即可.解析：（1）f(x)＝|x＋1|－|x|＝由f(x)的单调性可知，当x≥1时，f(x)有最大值1．所以m＝1．（2）由（Ⅰ）可知，a＋b＝1，＋＝(＋)[(b＋1)＋(a＋1)]＝[a2＋b2＋＋]≥(a2＋b2＋2)＝(a＋b)2＝．当且仅当a＝b＝时取等号．即＋的最小值为．21、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】分析：（1）求出导函数，已知切线方程说明，，代入后可得，然后确定函数的单调区间，得出最大值；（2）不等式为，可用导数求得的最小值，证明这个最小值大于0，即证得原不等式成立．详解：（1）函数的定义域为，，因的图象在点处的切线方程为，所以解得，所以，故．令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以当时，取得最大值．（2）证明：原不等式可变为则，可知函数单调递增，而，所以方程在（0，+∞）上存在唯一实根x0，使得．当x∈（0，x0）时，，函数h（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，，函数h（x）单调递增；所以.即在（0，+∞）上恒成立，所以对任意x＞0，成立．点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以