2024届重庆市直属校数学高二第二学期期末调研模拟试题含解析

2024届重庆市直属校数学高二第二学期期末调研模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在正四棱锥中，，直线与平面所成的角为，为的中点，则异面直线与所成角为（）A． B． C． D．2．设随机变量X服从正态分布，若，则=A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.853．设全集，集合，，则（）A． B． C． D．4．如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．已知图中直角三角形两个直角边的长分别为2和1．若从图中任选一点，则该点恰在阴影区域的概率为（）A． B． C． D．5．用反证法证明命题“已知函数在上单调，则在上至多有一个零点”时，要做的假设是（）A．在上没有零点 B．在上至少有一个零点C．在上恰好有两个零点 D．在上至少有两个零点6．若函数的图象的顶点在第一象限，则函数的图像是（）A． B．C． D．7．已知，为的导函数，则的图象是（）A． B．C． D．8．如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是()A．0 B．256 C．64 D．9．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．10．从名学生志愿者中选择名学生参加活动，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从人中剔除人，剩下的人再按系统抽样的方法抽取人，则在人中，每人入选的概率（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且为 D．都相等，且为11．在等差数列中，，则为（）A．2 B．3 C．4 D．512．若函数，则下列结论正确的是()A．，在上是增函数 B．，在上是减函数C．，是偶函数 D．，是奇函数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．_____14．已知集合，若则集合所有可能的情况有_________种.15．用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为_____．16．已知复数满足，则的最小值为___________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图,棱锥P-ABCD的地面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=22(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)求二面角P-CD-B的大小;(3)求点C到平面PBD的距离.18．（12分）已知函数.（1）若在点处的切线方程为,求的值;（2）若是函数的两个极值点,试比较与的大小.19．（12分）某中学开设了足球、篮球、乒乓球、排球四门体育课程供学生选学，每个学生必须且只能选学其中门课程.假设每个学生选学每门课程的概率均为，对于该校的甲、乙、丙名学生，回答下面的问题.（1）求这名学生选学课程互不相同的概率；（2）设名学生中选学乒乓球的人数为，求的分布列及数学期望.20．（12分）如图，三棱柱中，，，（1）证明：；（2）若平面

平面，，求点到平面的距离．21．（12分）已知关于的方程x2+kx+k2﹣2k=0有一个模为的虚根，求实数k的值．22．（10分）已知集合=，集合=.（1）若，求；（2）若AB，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】试题分析：连接交于点，连接.因为为中点，所以，所以即为异面直线与所成的角．因为四棱锥为正四棱锥，所以，所以为在面内的射影，所以即为与面所成的角，即，因为，所以所以在直角三角形中，即面直线与所成的角为故选C．考点：直线与平面所成的角，异面直线所成的角【名师点睛】本题考查异面直线所成角，直线与平面所成的角，考查线面垂直，比较基础连接AC，BD交于点O，连接OE，OP，先证明∠PAO即为PA与面ABCD所成的角，即可得出结论．2、A【解题分析】

先计算，再根据正态分布的对称性得到【题目详解】随机变量X服从正态分布故答案选A【题目点拨】本题考查了正态分布的概率计算，正确利用正态分布的对称性是解题的关键，属于常考题型.3、B【解题分析】

求得，即可求得，再求得，利用交集运算得解.【题目详解】由得：或，所以，所以由可得：或所以所以故选：B【题目点拨】本题主要考查了对数函数的性质，还考查了补集、交集的运算，属于基础题.4、C【解题分析】

直接根据几何概型计算得到答案.【题目详解】，，故.故选：.【题目点拨】本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力.5、D【解题分析】分析：利用反证法证明，假设一定是原命题的完全否定，从而可得结果.详解：因为“至多有一个”的否定是“至少有两个”，所以用反证法证明命题“已知函数在上单调，则在上至多有一个零点”时，要做的假设是在上至少有两个零点，故选D.点睛：反证法的适用范围是，（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．6、A【解题分析】

求导，根据导函数的性质解题。【题目详解】，斜率为正，排除BD选项。的图象的顶点在第一象限其对称轴大于0即b<0,选A【题目点拨】本题考查根据已知信息选导函数的大致图像。属于简单题。7、A【解题分析】

先化简f（x）＝，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．【题目详解】由f（x）＝，∴，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．又，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴＜0，故函数y＝在区间上单调递减，故排除C．故选A．【题目点拨】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题．8、D【解题分析】分析：先确定n值，再根据赋值法求所有项的系数和.详解：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n＝6.令x＝1，则展开式中所有项的系数和是,选D.点睛：二项式系数最大项的确定方法①如果是偶数，则中间一项(第项)的二项式系数最大；②如果是奇数，则中间两项第项与第项的二项式系数相等并最大.9、D【解题分析】

函数中的取值范围与函数中的范围一样.【题目详解】因为函数的定义域为，所以，所以，所以函数的定义域为.选D.【题目点拨】求抽象函数定义域是一种常见的题型，已知函数的定义域或求函数的定义域均指自变量的取值范围的集合，而对应关系所作用的数范围是一致的，即括号内数的取值范围一样.10、D【解题分析】

根据简单随机抽样与系统抽样方法的定义，结合概率的意义，即可判断出每个人入选的概率.【题目详解】在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除时，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，所以，每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的，因此，每个人入选的概率为.故选：D.【题目点拨】本题考查简单随机抽样和系统抽样方法的应用，也考查了概率的意义，属于基础题.11、A【解题分析】

由等差数列性质，得，问题得解.【题目详解】是等差数列，，，解得.故选：A【题目点拨】本题考查了等差数列的性质，属于基础题.12、C【解题分析】试题分析：因为，且函数定义域为令，则显然，当时，；当时，所以当时，在上是减函数，在上是增函数，所以选项A,B均不正确；因为当时，是偶函数，所以选项C正确．要使函数为奇函数，必有恒成立，即恒成立，这与函数的定义域相矛盾，所以选项D不正确．考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、函数的奇偶性．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据积分运算法则求，前者利用公式求解，后者所表示的几何意义是以为圆心，2为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，求出圆的面积乘以四分之一，两者结果做和即可得解．【题目详解】解：，由表示以为圆心，2为半径的圆面积的，∴，，∴，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．14、【解题分析】

通过确定X,Y,Z的子集，利用乘法公式即可得到答案.【题目详解】根据题意，可知，由于，可知Z共有种可能，而有4种可能，故共有种可能，所以答案为128.【题目点拨】本题主要考查子集相关概念，乘法分步原理，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度较大.15、【解题分析】

总体含100个个体，从中抽取容量为5的样本，则每个个体被抽到的概率为.【题目详解】因为总体含100个个体，所以从中抽取容量为5的样本，则每个个体被抽到的概率为.【题目点拨】本题考查简单随机抽样的概念，即若总体有个个体，从中抽取个个体做为样本，则每个个体被抽到的概率均为.16、4【解题分析】

根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案【题目详解】设，由得所以即点是圆心为，半径为1的圆上的动点，表示的是点与点的距离所以其最小值为点到圆心的距离减去半径即故答案为：4【题目点拨】本题考查的是复数模的几何意义，圆当中的最值问题一般向圆心进行转化.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)θ=45°;(3)23【解题分析】

（1）先证明ABCD为正方形,可得BD⊥AC,由PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可得BD⊥PA，利用线面垂直的判定定理可得结果；（2）以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,根据向量垂直数量积为零，列方程组求出平面PCD的法向量，结合(0,0,2)为平面ABCD的法向量，利用空间向量夹角余弦公式求出两个向量的夹角余弦，进而转化为二面角P-CD-B的平面角即可；（3）求出平面PBD的法向量，再求出平面的斜线PC所在的向量PC，然后求出PC【题目详解】(1)解法一:在RtΔBAD中,AD=2,BD=22∴AB=2,∴ABCD为正方形,因此BD⊥AC,∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PA.又∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.解法二:以AB,AD,AP为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A0,0,0,D0,2在RtΔBAD中,AD=2,BD=22∴AB=2,∴B2,0,0,∴AP=(0,0,2),AC∵BD⋅AP=0即BD⊥AP,BD⊥AC.又AP∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.(2)解法一:由PA⊥平面ABCD,知AD为PD在平面ABCD上的射影.又CD⊥AD,∴CD⊥PD,∴∠PDA为二面角P-CD-B的平面角.又∵PA=AD,∴∠PDA=45°.解法二:由1题得PD=0,2,-2设平面PCD的法向量为n1=x,y,z,则n即0+2y-2z=0-2x+0+0=0,∴x=0故平面PCD的法向量可取为n1∵PA⊥平面ABCD,∴AP=(0,0,2)设二面角P-CD-B的大小为θ,依题意可得cosθ=∴θ=45°.(3)解法一:∵PA=AB=AD=2,∴PB=PD=BD=22设C到平面PBD的距离为d,由VP-BCD有13得d=2解法二:由1题得PB=2,0,-2设平面PBD的法向量为n2则n2⋅PB即2x+0-2z=00+2y-2z=0∴x=y=z.故平面PBD的法向量可取为n2∵PC=(∴C到平面PBD的距离为d=n【题目点拨】本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）先求得切点的坐标，然后利用切点和斜率列方程组，解方程组求得的值.（2）将转化为只含有的式子.对函数求导，利用二次函数零点分布的知识求得的取值范围并利用韦达定理写出的关系式.化简的表达式，并利用构造函数法求得.用差比较法比较出与的大小关系.【题目详解】（1）根据题意可求得切点为,由题意可得,,∴,即,解得.（2）∵,∴,则.根据题意可得在上有两个不同的根.即,解得,且.∴.令,则,令,则当时,,∴在上为减函数,即,∴在上为减函数,即,∴,又∵,∴,即,∴.【题目点拨】本小题主要考查利用导数求解有关切线方程的问题，考查利用导数研究函数的极值点问题，难度较大.19、（1）；（2）分布列见解析，期望为．【解题分析】分析：（1）每个学生必须且只能选学其中门课程，每一个人都有4种选择，共有，名学生选学课程互不相同，则有种，从而求解；（2）的所有可能取值为，，，，分别算出对应的概率，再利用期望公式求解.详解：（1）名学生选学的课程互不相同的概率.（2）的所有可能取值为，，，，，，，，∴的分布列为：.点睛：求随机变量及其分布列的一般步骤(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义．(2)利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；(3)按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．20、（1）见解析（2）【解题分析】试题分析：(1)利用题意首先证得，然后利用线面垂直的定义即可证得题中的结论；(2)建