湖南省长沙市开福区长沙市第一中学2024届数学高二第二学期期末综合测试试题含解析

湖南省长沙市开福区长沙市第一中学2024届数学高二第二学期期末综合测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的方案有()A．12种 B．7种 C．24种 D．49种2．从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派议程种数是（）A．70 B．140 C．420 D．8403．空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标是A．(－10,2,8) B．(－10,2,－8) C．(5,2,－8) D．(－10,3,－8)4．以双曲线的焦点为顶点，离心率为的双曲线的渐近线方程是（）A． B．C． D．5．某中学高二共有12个年级，考试时安排12个班主任监考，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任监考，则不同的安排方案有（）A．4455 B．495 C．4950 D．74256．已知，那么（）A．20 B．30 C．42 D．727．若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．8．设x，y满足约束条件y+2⩾0，x-2⩽0，2x-y+1⩾0，A．-2 B．-32 C．-19．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．10．已知双曲线的离心率为，则m=A．4 B．2 C． D．111．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（）A．在上是增函数B．在上是减函数C．在上是增函数D．在时，取极大值12．已知正方体的棱长为，定点在棱上(不在端点上)，点是平面内的动点，且点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则点的轨迹所在的曲线为A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某研究性学习小组调查研究学生玩手机对学习的影响，部分统计数据如表玩手机不玩手机合计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218合计201030经计算的值，则有__________的把握认为玩手机对学习有影响．附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，.14．已知球的半径为1，、是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是__________．15．在二项式展开式中，第五项为________.16．数列定义为，则_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）若在定义域上不单调，求的取值范围；（2）设分别是的极大值和极小值，且，求的取值范围.18．（12分）已知数列满足，.（Ⅰ）证明：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和.19．（12分）将正整数排成如图的三角形数阵，记第行的个数之和为.（1）设，计算，，的值，并猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）的猜想.20．（12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，(1)若B1C=1，求直线AB(2)在(1)的条件下，求二面角A1(3)若B1C=2，CG⊥平面A1ABB1，G为垂足，令CG=pCA+qCB+rCB21．（12分）已知函数.(1)当时，解不等式；(2)若不等式有实数解，求实数a的取值范围.22．（10分）据悉,2017年教育机器人全球市场规模已达到8.19亿美元,中国占据全球市场份额10.8%.通过简单随机抽样得到40家中国机器人制造企业,下图是40家企业机器人的产值频率分布直方图.（1）求的值；（2）在上述抽取的40个企业中任取3个，抽到产值小于500万元的企业不超过两个的概率是多少？（3）在上述抽取的40个企业中任取2个,设为产值不超过500万元的企业个数减去超过500万元的企业个数的差值,求的分布列及期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】第一步，他进门，有7种选择；第二步，他出门，有7种选择．根据分步乘法计数原理可得他进出门的方案有7×7＝49(种)．2、C【解题分析】

试题分析：先分组：“个男个女”或“个女个男”，第一种方法数有，第二种方法数有.然后派到西部不同的地区，方法数有种.考点：排列组合.3、B【解题分析】

直接利用中点坐标公式求解即可.【题目详解】设点关于点的对称点的坐标是,根据中点坐标公式可得，解得，所以点关于点的对称点的坐标是(－10,2,－8)，故选B.【题目点拨】本题主要考查中点坐标公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.4、D【解题分析】

由题求已知双曲线的焦点坐标，进而求出值即可得答案。【题目详解】由题可知双曲线的焦点坐标为，则所求双曲线的顶点坐标为，即，又因为离心率为，所以，解得，所以，即，所以渐近线方程是故选D【题目点拨】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题的关键是判断出焦点位置后求得，属于简单题。5、A【解题分析】

根据题意，分两步进行：先确定8个是自己的班主任老师监考的班级，然后分析剩余的4个班级的监考方案，计算可得其情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【题目详解】某中学高二共有12个年级，考试时安排12个班主任监考，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任监考，首先确定8个是自己的班主任老师监考的班级，有种，而剩余的4个班级全部不能有本班的班主任监考，有种；由分步计数原理可得，共种不同的方案；故选：A.【题目点拨】本题解题关键是掌握分步计数原理和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.6、B【解题分析】

通过计算n，代入计算得到答案.【题目详解】答案选B【题目点拨】本题考查了排列数和组合数的计算，属于简单题.7、A【解题分析】

将条件转化为有解，然后利用导数求出右边函数的值域即可.【题目详解】因为函数至少存在一个零点所以有解即有解令，则因为，且由图象可知，所以所以在上单调递减，令得当时，单调递增当时，单调递减所以且当时所以的取值范围为函数的值域，即故选：A【题目点拨】1.本题主要考查函数与方程、导数与函数的单调性及简单复合函数的导数，属于中档题.2.若方程有根，则的范围即为函数的值域8、A【解题分析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线z=x+y，观察直线在x轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出z最大值和最小值，于此可得出答案。【题目详解】如图，作出约束条件表示的可行域.由图可知，当直线z=x+y经过点A(2，5)时.当直线z=x+y经过点B(-32,-2)时，z取得最小值.故z【题目点拨】本题考查简单的线性规划问题，一般利用平移直线利用直线在坐标轴上的截距得出最优解，考查计算能力，属于中等题。9、C【解题分析】

求导计算处导数，画出函数和的图像，根据图像得到答案.【题目详解】当时，，则，；当时，，则，当时，；画出和函数图像，如图所示：函数有3个交点，根据图像知.故选：.【题目点拨】本题考查了根据函数零点个数求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出函数图像是解题的关键.10、B【解题分析】

根据离心率公式计算．【题目详解】由题意，∴，解得．故选B．【题目点拨】本题考查双曲线的离心率，解题关键是掌握双曲线的标准方程，由方程确定．11、C【解题分析】分析：根据导函数图象，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果.详解：根据导函数图象可知，在上先减后增，错；在上先增后减，错；在上是增函数，对；在时，取极小值，错，故选C.点睛：本题考查函数的单调性与导函数的关系，意在考查对基本性质掌握的熟练程度以及数形结合思想的应用，属于中档题.12、D【解题分析】

作，，连接，以为原点建立空间直角坐标系，利用勾股定理和两点间距离公式构造，整理可得结果.【题目详解】作，，垂足分别为以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：设，由正方体特点可知，平面，，整理得：的轨迹是抛物线本题正确选项：【题目点拨】本题考查立体几何中点的轨迹问题，关键是能够通过建立空间直角坐标系，求出动点满足的方程，从而求得轨迹.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、99.5【解题分析】分析：由已知列联表计算出后可得．详解：，∵，∴有99.5%的把握认为玩手机对学习有影响．点睛：本题考查独立性检验，解题关键是计算出，然后根据对照表比较即可．14、【解题分析】分析：以球心为坐标原点建立空间直角坐标系，设点的坐标，用来表示，进而求出答案.详解：由题可知，则，以球心为坐标原点，以为轴正方向，平面的垂线为轴建立空间坐标系，则，，设，在球面上，则设，当直线与圆相切时，取得最值.由得故答案为点睛：本题考查了空间向量数量积的运算，使用坐标法可以简化计算，动点问题中变量的取值范围是解此类问题的关键.15、60【解题分析】

根据二项式的通项公式求解.【题目详解】二项式的展开式的通项公式为：，令，则，故第五项为60.【题目点拨】本题考查二项式定理的通项公式，注意是第项.16、【解题分析】

由已知得两式，相减可发现原数列的奇数项和偶数项均为等差数列，分类讨论分别算出奇数项的和和偶数项的和，再相加得原数列前的和【题目详解】两式相减得数列的奇数项，偶数项分别成等差数列，，，，数列的前2n项中所有奇数项的和为：，数列的前2n项中所有偶数项的和为：【题目点拨】对于递推式为，其特点是隔项相减为常数，这种数列要分类讨论，分偶数项和奇数项来研究，特别注意偶数项的首项为，而奇数项的首项为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2).【解题分析】分析：（1）利用导数法求出函数单调递增或单调递减时，参数的取值范围为，则可知函数在定义域上不单调时，的取值范围为；（2）易知，设的两个根为，并表示出，则，令，则，再利用导数法求的取值范围.详解：由已知，（1）①若在定义域上单调递增，则，即在上恒成立，而，所以；②若在定义域上单调递减，则，即在上恒成立，而，所以.因为在定义域上不单调，所以，即.（2）由（1）知，欲使在有极大值和极小值，必须.又，所以.令的两根分别为，，即的两根分别为，，于是.不妨设，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以.令，于是，，由，得，又，所以.因为，所以在上为减函数，所以.点睛：导数问题一直是高考数学的重点内容也是难点内容，要注意研究函数的单调性，有时需要构造相关函数，将问题转化为求函数的值域问题，本题中的第一问，采用了“正难则反”的策略，简化了解题，在解决第二问换元时，要注意表明新元的取值范围.18、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）利用定义得证.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用分组求和法的到前项和.【题目详解】解：（Ⅰ）由，可得，即，又，∴，∴数列是首项为3，公差为2的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴.【题目点拨】本题考查了等差数列的证明，分组求和法求前项和，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用.19、（1）；（2）见解析．【解题分析】分析：直接计算，猜想：；（2）证明：①当时，猜想成立.②设时，命题成立，即③证明当时，成立。详解：（1）解：，，，，猜想；（2）证明：①当时，猜想成立.②设时，命题成立，即，由题意可知.所以，，所以时猜想成立.由①、②可知，猜想对任意都成立.点睛：推理与证明中，数学归纳法证明数列的通项公式是常见的解法。根据题意先归纳猜想，利用数学归纳法证明猜想。数学归纳法证明必须有三步：①当时，计算得出猜想成立.②当时，假设猜想命题成立，③当时，证明猜想成立。20、（1）π6；（2）3π4；（3）q=49，【解题分析】

(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设平面A1ACC1的法向量为n=(x,y，z)，则n(2)在(1)的条件下，平面A1ACC1的法向量为n=(1,0，1)，取平面ABC的法向量m=(0,0，(3)作CM⊥AB，M为垂足.由B1C⊥平面ABC.可得B1C⊥AB，AB⊥平面MCB作CG⊥MB1，垂足为G，则CG⊥平面ABB1.利用三角形面积计算公式、勾股定理及其CG=pCA【题目详解】解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，C(0,0，0)，B1(0,0，1)，A(0,-1,0)，CA=(0,-1,0)，CC1=(-1,0，设平面A1ACC1的法向量为n=(x,y∴-y=-x+z=0，取x=1，则n=(1,0，1)cos<∴直线AB1与平面A1(2)在(1)的条件下，平面A1ACC1的法向量为取平面ABC的法向量m=(0,0，1)则cos<由图可知：二面角A1∴二面角A1-AC-B的平面角为(3)作