江苏省沭阳县修远中学2024届数学高二第二学期期末经典试题含解析

江苏省沭阳县修远中学2024届数学高二第二学期期末经典试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设命题，，则为（）．A．， B．，C．， D．，2．已知函数的导函数为，且对任意的实数x都有（e是自然对数的底数），且，若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．3．等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，则A． B．C． D．4．在复平面上，复数对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．x>2是x2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．下列函数中，在定义域内单调的是（）A． B．C． D．7．展开式中项的系数是A．4 B．5C．8 D．128．正切函数是奇函数，是正切函数，因此是奇函数，以上推理（）A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．以上均不正确9．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则（）A．- B．1或2 C．1 D．210．已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A．3 B．4 C． D．11．已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为（）ξ1234PmnA． B． C． D．12．已知命题在上递减；命题，且是的充分不必要条件，则m的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知复数，其中是虚数单位，复数满足，则复数的模等于__________.14．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．15．曲线在点处的切线方程为__________.16．已知函数有六个不同零点，且所有零点之和为3，则的取值范围为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴．（1）求的方程（2）过的直线交于两点，交直线于点．证明：直线的斜率成等差数列．18．（12分）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；(2)全体站成一排，女生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生互不相邻．19．（12分）已知函数.（1）若函数与相切于点，求的值；（2）若是函数图象的切线，求的最小值.20．（12分）已知函数，为常数（Ⅰ）若时，已知在定义域内有且只有一个极值点，求的取值范围；（Ⅱ）若，已知，恒成立，求的取值范围。21．（12分）求二项式的展开式中项系数最大的项的系数.22．（10分）已知函数有两个极值点和3.(1)求，的值；(2)若函数的图象在点的切线为，切线与轴和轴分别交于，两点，点为坐标原点，求的面积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.【题目详解】解：表示对命题的否定，“，”的否定是“，”．故选．【题目点拨】本题主要考查命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型.2、B【解题分析】

先利用导数等式结合条件求出函数的解析式，由，得，转化为函数在直线下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，然后利用导数分析函数的单调性与极值，作出该函数的图象，利用数形结合思想求出实数的取值范围.【题目详解】由等式，可得，即，即（为常数），，则，，因此，，，令，得或，列表如下：极小值极大值函数的极小值为，极大值为，且，作出图象如下图所示，由图象可知，当时，.另一方面，，则，由于函数在直线下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，由图象可知，这两个点的横坐标分别为、，则有，解得，因此，实数的取值范围是，故选B.【题目点拨】本题考查函数的单调性、函数不等式的整数解问题，本题的难点在于利用导数方程求解函数解析式，另外在处理函数不等式的整数解的问题，应充分利用数形结合的思想，找到一些关键点来列不等式求解，属于难题．3、D【解题分析】分析：由等比数列的性质，可知其第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.详解：由等比数列的性质可知，等比数列的第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，则有构成等比数列，，即，，故选D.点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.4、D【解题分析】

直接把给出的复数写出代数形式，得到对应的点的坐标，则答案可求．【题目详解】由题意，复数，所以复数对应的点的坐标为位于第一象限，故选A．【题目点拨】本题主要考查了复数的代数表示，以及复数的几何意义的应用，其中解答中熟记复数的代数形式和复数的表示是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5、A【解题分析】

解不等式x2【题目详解】由x2-2x>0解得：x<0或x>2，因此，x>2是x2-2x>0的充分不必要条件，故选：【题目点拨】本题考查充分必要条件的判断，一般利用集合的包含关系来判断两条件的充分必要性：（1）A⊊B，则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；（2）A⊋B，则“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件；（3）A=B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件。6、A【解题分析】

指数函数是单调递减，再判断其它选项错误,得到答案.【题目详解】A.，指数函数是单调递减函数,正确\B.反比例函数，在单调递减，在单调递减，但在上不单调，错误C.，在定义域内先减后增，错误D.，双勾函数，时先减后增，错误故答案选A【题目点拨】本题考查了函数的单调性，属于简单题.7、B【解题分析】

把（1+x）5按照二项式定理展开，可得（1﹣x）（1+x）5展开式中x2项的系数．【题目详解】（1﹣x）（1+x）5=（1﹣x）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），其中可以出现的有1*10x2和﹣x*5x，其它的项相乘不能出现平方项，故展开式中x2项的系数是10﹣5=5，故选B．【题目点拨】这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等．8、C【解题分析】

根据三段论的要求：找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可。【题目详解】大前提：正切函数是奇函数，正确；小前提：是正切函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：是奇函数，该函数为偶函数，故错误；结合三段论可得小前提不正确.故答案选C【题目点拨】本题考查简易逻辑，考查三段论，属于基础题。9、C【解题分析】分析：由为偶数，且，即可得结果.详解：幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，为偶数，且，解得，故选C.点睛：本题考查幂函数的定义、幂函数性质及其应用，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力.10、B【解题分析】

由题意得（1+2d）2＝1+12d，求出公差d的值，得到数列{an}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【题目详解】∵a1＝1，a1、a3、a13成等比数列，∴（1+2d）2＝1+12d．得d＝2或d＝0（舍去），∴an＝2n﹣1，∴Snn2，∴．令t＝n+1，则t2≥6﹣2＝1当且仅当t＝3，即n＝2时，∴的最小值为1．故选：B．【题目点拨】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．11、A【解题分析】

根据随机变量和的关系得到，概率和为1，联立方程组解得答案.【题目详解】且，则即解得故答案选A【题目点拨】本题考查了随机变量的数学期望和概率，根据随机变量和的关系得到是解题的关键.12、A【解题分析】

由题意可得当时不成立，当时，满足求出的范围，从而求出，再求出，根据是的充分不必要条件，即可求解.【题目详解】由命题在上递减，当时，，不满足题意，当时，则，所以：，由命题，则：，由因为是的充分不必要条件，所以.故选：A【题目点拨】本题考查了由充分不必要条件求参数的取值范围以及考查了二次函数的图像与性质，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

可设出复数z，通过复数相等建立方程组，从而求得复数的模.【题目详解】由题意可设，由于，所以，因此，解得，因此复数的模为：.【题目点拨】本题主要考查复数的四则运算，相等的条件，比较基础.14、.【解题分析】

首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，可以断定为锐角，从而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果.【题目详解】因为，结合正弦定理可得，可得，因为，结合余弦定理，可得，所以为锐角，且，从而求得，所以的面积为，故答案是.【题目点拨】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住、、等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15、【解题分析】

利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式求出切线方程．【题目详解】∵y＝lnx，∴，∴函数y＝lnx在x＝1处的切线斜率为1，又∵切点坐标为（1，0），∴切线方程为y＝x﹣1．故答案为：y＝x﹣1．【题目点拨】本题考查了函数导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程，正确求导是关键．16、【解题分析】根据题意，有，于是函数关于对称，结合所有的零点的平均数为，可得，此时问题转化为函数，在上与直线有个公共点，此时，当时，函数的导函数，于是函数单调递增，且取值范围是，当时，函数的导函数，考虑到是上的单调递增函数，且，于是在上有唯一零点，记为，进而函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，如图：接下来问题的关键是判断与的大小关系，注意到，，函数，在上与直线有个公共点，的取值范围是,故答案为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）运用椭圆的定义和勾股定理，可得a，b，进而得到椭圆方程；

（2）由题意可设直线AB的方程为y=k（x-2），求得M的坐标，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，结合等差数列的中项性质，化简整理，即可得证．【题目详解】解：（1）因为点在上，且轴，所以，设椭圆左焦点为，则，，中，，所以．所以，，又，故椭圆的方程为；（2）证明：由题意可设直线的方程为，令得，的坐标为，由得，，设，，，，则有，①．记直线，，的斜率分别为，，，从而，，．因为直线的方程为，所以，，所以②．①代入②得，又，所以，故直线，，的斜率成等差数列．【题目点拨】本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线的斜率成等差数列，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18、（1）3600（2）576（3）1440【解题分析】分析：（1）根据特殊元素“优先法”，由分步计数原理计算可得答案；(2)根据“捆绑法”将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列即可；(3）利用“插空法”，先将4名女生全排列5个空位中任选3个空位排男生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.详解：(1)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A种方法，故共有5×A＝3600种方法．(2)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A种方法，再将4名女生进行全排列，有A种方法，故共有A×A＝576种方法．(3)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A种方法，故共有A×A＝1440种方法．点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.19、（1）；（2）【解题分析】

（1）利用函数与相切于点，切线即可求的值.（2）若是函数图象的切线，设切点，表达函数的切线方程，表达，构造新函数，求其最小值即可.【题目详解】（1）由函数，则，，.所以，.（2）设切点，则切线方程为，即，亦即，由题意得.∴令.当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；∴∴的最小值为.【题目点拨】本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值，解题的关键是熟记基本初等函数的导数，属于中档题.20、（1）（2）【解题分析】分析：⑴将代入，求出的表达式，求导，然后综合只有一个极值点即可求出结果⑵法一：将代入，求导后利用单调性来求解；法二：整体思想，采用放缩法进行求解详解：（Ⅰ）当时，，，因为在定义域内有且只有一个极值点，所以在内有且仅有一根，则有图知，所以（Ⅱ），法1：因，，恒成立，则内，先必须递增，即先必须，即先必须，因其对称轴，有图知（此时在），所以