广东省广州市第二外国语学校2024届数学高二第二学期期末统考试题含解析

广东省广州市第二外国语学校2024届数学高二第二学期期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是两个非空集合，定义集合，则结果是()A． B． C． D．2．5名同学在“五一”的4天假期中，随便选择一天参加社会实践，不同的选法种数是（）A． B． C． D．3．已知，，则等于()A． B． C． D．4．已知集合，，那么()A． B． C． D．5．已知定义域为R的函数满足：对任意实数有，且，若，则＝()A．2 B．4 C． D．6．在等比数列中，“是方程的两根”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．函数f(x)＝3sin(2x－)在区间[0，]上的值域为()A．[，] B．[，3]C．[，] D．[，3]8．已知函数的图象如图，则与的关系是：（）A． B．C． D．不能确定9．已知是虚数单位，，则复数的共轭复数为（）A． B． C． D．10．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个11．下列叙述正确的是（）A．若命题“p∧q”为假命题，则命题“p∨q”是真命题B．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若xC．命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∀xD．“α>45°”是“12．下面是关于复数（i为虚数单位）的四个命题：①对应的点在第一象限；②；③是纯虚数；④．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若的展开式中，奇数项的系数之和为-121，则n=___________。14．不等式的解集是_______.15．的不同正约数共有______个．16．把3名辅导老师与6名学生分成3个小组(每组1名教师，2名学生)开展实验活动，但学生甲必须与教师A在一起，这样的分组方法有________种．(用数字作答)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知.猜想的表达式并用数学归纳法证明你的结论.18．（12分）已知函数，.①时，求的单调区间；②若时，函数的图象总在函数的图象的上方，求实数的取值范围.19．（12分）如图，已知点是椭圆上的任意一点，直线与椭圆交于，两点，直线，的斜率都存在．（1）若直线过原点，求证：为定值；（2）若直线不过原点，且，试探究是否为定值．20．（12分）设命题：方程表示双曲线；命题：“方程表示焦点在轴上的椭圆”.（1）若和均为真命题，求的取值范围;（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.21．（12分）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，，求的最大整数值．22．（10分）某研究机构对高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得下表数据：（1）请根据上表提供的数据，用相关系数说明与的线性相关程度；（结果保留小数点后两位，参考数据:）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．参考公式：，；相关系数；

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

根据定义集合分析元素特征即可得解.【题目详解】因为表示元素在中但不属于，那么表示元素在中且在中即，故选C.【题目点拨】本题考查了集合的运算，结合题中给出的运算规则即可进行运算,属于基础题,2、D【解题分析】

根据乘法原理得到答案.【题目详解】5名同学在“五一”的4天假期中，随便选择一天参加社会实践，不同的选法种数是答案为D【题目点拨】本题考查了乘法原理，属于简单题.3、B【解题分析】

根据余弦的半角公式化简、运算，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，可知，则，又由半角公式可得，故选B．【题目点拨】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟练应用余弦函数的半角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4、C【解题分析】

解出集合B，即可求得两个集合的交集.【题目详解】由题：，所以.故选：C【题目点拨】此题考查求两个集合的交集，关键在于准确求出方程的解集，根据集合交集运算法则求解.5、B【解题分析】分析：令，可求得，再令，可求得，再对均赋值，即可求得.详解：，令，得，又，再令，得，，令，得，故选B.点睛：本题考查利用赋值法求函数值，正确赋值是解题的关键，属于中档题.6、A【解题分析】

由韦达定理可得a4+a12＝﹣3，a4•a12＝1，得a4和a12均为负值，由等比数列的性质可得．【题目详解】∵a4，a12是方程x2+3x+1＝0的两根，∴a4+a12＝﹣3，a4•a12＝1，∴a4和a12均为负值，由等比数列的性质可知a8为负值，且a82＝a4•a12＝1，∴a8＝﹣1，故“a4，a12是方程x2+3x+1＝0的两根”是“a8＝±1”的充分不必要条件.故选A．【题目点拨】本题考查等比数列的性质和韦达定理，注意等比数列隔项同号，属于基础题．7、B【解题分析】

分析：由，求出的取值范围，从而求出的范围，从而可得的值域.详解：，，，，即在区间上的值域为，故选B.点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.8、B【解题分析】

通过导数的几何意义结合图像即得答案.【题目详解】由于导数表示的几何意义是切线斜率，而由图可知，在A处的切线倾斜角小于在B处切线倾斜角，且都在第二象限，故，答案为B.【题目点拨】本题主要考查导数的几何意义，比较基础.9、A【解题分析】

先由复数的除法，化简z，再由共轭复数的概念，即可得出结果.【题目详解】因为，所以.故选A【题目点拨】本题主要考查复数的运算，以共轭复数的概念，熟记运算法则与概念即可，属于基础题型.10、A【解题分析】试题分析：,,所以，即集合中共有3个元素，故选A．考点：集合的运算．11、B【解题分析】

结合命题知识对四个选项逐个分析，即可选出正确答案.【题目详解】对于选项A，“p∧q”为假命题，则p，q两个命题至少一个为假命题，若p，q两个命题都是假命题，则命题“p∨q”是假命题，故选项A错误；对于选项B，“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2对于选项C，命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R，对于选项D，若α=135°，则tanα<0，故“【题目点拨】本题考查了命题的真假的判断，考查了学生对基础知识的掌握情况.12、B【解题分析】

求出z的坐标判断①；求出判断②；求得的值判断③；由两虚数不能进行大小比较判断④．【题目详解】∵，∴z对应的点的坐标为（1，1），在第一象限，故①正确；，故②错误；，为纯虚数，故③正确；∵两虚数不能进行大小比较，故④错误．∴其中真命题的个数为2个．故选：B．【题目点拨】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解题分析】

令和，作和即可得到奇数项的系数和，从而构造出方程解得结果.【题目详解】令得：令得：奇数项的系数和为：，解得：本题正确结果：【题目点拨】本题考查二项式系数的性质应用问题，关键是采用赋值的方式快速得到系数和.14、【解题分析】

直接去掉绝对值即可得解.【题目详解】由去绝对值可得即，故不等式的解集是.【题目点拨】本题考查了绝对值不等式的解法，属于基础题.15、【解题分析】

将进行质因数分解为，然后利用约数和定理可得出的不同正约数个数.【题目详解】将进行质因数分解为，因此，的不同正约数共有.故答案为：.【题目点拨】本题考查合数的正约数个数的计算，一般将合数质因数分解，并利用约数和定理进行计算，也可以采用列举法，考查计算能力，属于中等题.16、30【解题分析】

将三名教师命名为A，B，C，按照要求，教师A只需再选一名学生，有5种选法，教师B有种选法，根据分步乘法计数原理，可得分组方法有种．【题目详解】将三名教师命名为A，B，C，所以可按三步完成分组，第一步让教师A选学生，第二步让教师B选学生，第三步将剩下的学生分配给教师C即可．教师A只需再选一名学生，有5种选法，教师B有种选法，根据分步乘法计数原理，可得分组方法有种．【题目点拨】本题主要考查分步乘法计数原理的应用．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、证明见解析【解题分析】

首先计算，猜想，再用数学归纳法证明.【题目详解】猜想，下面用数学归纳法证明：①时，猜想成立；②假设时猜想成立，即则时，由及得又=,时猜想成立.由①②知.【题目点拨】本题考查了数学归纳法，意在考查学生的归纳推理能力和计算能力.18、（1）的单增区间为；单减区间为.（2）实数a的取值范围【解题分析】

（1），得的单增区间为；单减区间为.（2）．所以19、（1）见解析（2），详见解析【解题分析】

（1）设，，由椭圆对称性得，把点，的坐标都代入椭圆得到两个方程，再相减，得到两直线斜率乘积的表达式；（2）设，，，则，由得：，进而得到直线的方程，再与椭圆方程联立，利用韦达定理得到坐标之间的关系，最后整体代入消元，得到为定值.【题目详解】（1）当过原点时，设，，由椭圆对称性得，则．∵，都在椭圆上，∴，，两式相减得：，即．故．（2）设，，，则，∵，∴，设直线的方程为()，联立方程组消去，整理得．∵在椭圆上，∴，上式可化为．∴，，∴，，，∴；．∴（定值）．【题目点拨】本题考查直线与椭圆的位置关系，对综合运算能力要求较高，对坐标法进行深入的考查，要求在运算过程中要大胆、耐心、细心地进行运算.20、（1）；（2）或【解题分析】

（1）根据双曲线方程和椭圆方程的标准形式，可得同时成立，从而求出；（2）为真命题，为假命题，则、一真一假，再根据集合的交、补运算求得或.【题目详解】（1）若为真命题，则，解得：或.若为真命题，则，解得：.若和均为真命题时，则的取值范围为.（2）若为真命题，为假命题，则、一真一假.当真假时，解得：或当假真时，，无解综上所述：的取值范围为或.【题目点拨】本题以椭圆、双曲线方程的标准形式为背景，与简易逻辑知识进行交会，本质考查集合的基本运算.21、(1)在上单调递减，在上单调递增.(2)2.【解题分析】分析：（1）先确定函数的定义域，再求出函数的导数，，分类讨论，确定和时函数的单调性.（2）根据题意，转化为时，条件下求参数问题.由（1）可知：①当时在上单调递增，且，即成立；②时，即，分析情况同①；③时，即，，构造关于的新函数，判断函数的单调性，确定函数零点位置，而；综上得的最大整数值为.详解：解：（1）函数的定义域为．，当时，，在上单调递增，当时，令，得，令，得，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，当时在上单调递增，又，所以当时，，满足题意.由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增.若，即，在上单调递增，所以当时，，满足题意.若，即，在上单调递减，在上单调递增.即令，，在上单调递减，又，，在上存在唯一零点，综上所述，的取值范围为，故的最大整数值为.点睛：本题考查利用导数分析含参函数单调性，应用函数的单调性求恒成立问题的参数，考查了分类讨论思想、转化思想和构造函数法，是一道综合题.导函数为二次函数的含参函数的单调性分类讨论步骤：（1）求定义域.（2）讨论导数的最高项系数，若最高项系数含有参数则需分等于零和不等于零进行讨论；若最高项系数不含参数则此步略.（3），再结合二次项系数的正负，确定函数单调性;（4），即有两个零点和，讨论两个零点的大小及其与函数定义域的关系，再结合二次项系数分解出各单调区间，明确单调性.（5）将分类讨论的情况进行总结.22、（1）见解析；（2）；（2）3【解题分析】分析：（1）计算出相关系数即得；（2）根据所给公式计算出回归直线方程的系