安徽省滁州市定远县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

2023-2024期末九年级数学质量检测卷试题卷考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员

管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．抛物线的对称轴是（

）A．y轴 B．x轴 C．直线 D．直线2．如果，那么的值是（

）A． B． C． D．3．在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（

）A． B． C． D．4．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：AB＝（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：25．已知点，都在反比例函数的图像上，则的大小关系为（

）A． B． C． D．6．如图，在中，，，，将△ABC沿图中的虚线剪开，得到的三角形与原三角形不相似的是（

）A． B．C． D．7．已知点都在抛物线上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则8．如图，在中，点E、F分别是边AC上的点，连接，过点E作交于点D，连接，则下列选项能判定的是（

）A． B． C． D．9．二次函数的顶点坐标为．其部分图象如图所示．下列结论正确的是（

）A．B．C．若，是抛物线上的两点，则D．关于x的方程无实数根10．如图．已知中，，直线分别交边于点D、E，F是上任意一点，若的面积为24，则面积的最大值为（

）A．12 B． C． D．6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．抛物线与y轴的交点坐标是．12．生活中随处可见数学之美，例如梧桐树叶的叶脉中蕴含着黄金分割．如图，P为叶脉（是线段）的黄金分割点，即满足，如果的长度为，则的长度为．（结果保留根号）13．如图，在的正方形网格中，且点A、C都在格点上，则．14．如图，在平面直角坐标系中，在反比例函数上取一点，连接，作等腰．（1）的坐标为．（2）若过点作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，…，按此依次作图，则的坐标为．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）15．．16．近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为．(1)求y与x的函数表达式；(2)已知王老师的近视眼镜镜片度数为200度，求该镜片的焦距．四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）17．如图，在9×9的正方形网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为、，，根据下列要求作答：(1)若将的各顶点坐标进行某种变换，得到对应点的坐标为，在网格中画出变换后的图形；(2)变换前后的两个图形有怎样的位置关系？18．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略．在计算时，如图，在中，，延长使，连接，得，所以，类比这种方法，计算（画图并写出过程）五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）19．如图，E为平行四边形的边延长线上的一点，连结交于点O，交点F．(1)求证：；(2)求证：．20．如图1，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上．其侧面结构示意图如图2所示，调节杆长度为．，的最大仰角为．当时，求点A到桌面的的最大高度．（精确到1cm，参考数值：，，，）六、（本大题共12分）21．“三只羊”是我市某直播平台，近年，销售额频频突破百亿大关．某坚果公司在“三只羊”直播平台中推出一款“新春”产品礼盒，每盒的成本为元，若按每盒元销售，则同时段每天可售出盒．为了新年回馈网友，公司决定降价销售．经核算，发现销售价每降低1元，同时段每天的销量就增加盒．设该礼盒售价为每盒x元（），同时段每天的销售量为y盒，每天的销售利润为w元．(1)写出y与x的函数表达式（含自变量x的取值范围）；(2)直播间在让利顾客的前提下，要使1天的销售利润达到元，销售价应定为每盒多少元？(3)当销售价定为多少元时每天的利润最大？并求出最大利润.七、（本大题共12分）22．在中，．，且．点D、E、F分别是边上的动点（点E在点F左边），且，．(1)如图1，求证：；(2)如图2，当点D运动到与点A重合时，若设．，求y关于x的函数关系式（写出x的取值范围）；(3)如图3，连接，当为等腰三角形时，直接写出y的值．八、（本大题共14分）23．如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接．(1)若，，求a的值；(2)若，，（ⅰ）当，请判断此时抛物线的图像与直线的图像公共点的情况；（ⅱ）已知点和点在该抛物线上，若，求a的取值范围．

参考答案与解析

1．A【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此即可求解．【详解】解：由题意得：抛物线的对称轴是：直线，即对称轴是y轴，故选：A．2．B【分析】本题考查了比例的性质．根据已知条件即可得出．【详解】解：∵，∴，故选：B．3．B【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可．【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：，故选：B．4．A【分析】由条件可证明△DEF∽△BAF，结合面积比等于相似比的平方求可得相似比，可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DEAB，∴△DEF∽△BAF，∴＝（）2＝，∴＝，故选：A．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．5．A【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，反比例函数(k是常数)的图像是双曲线，当时，反比例函数图像的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图像的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大；根据反比例函数图像的性质解答即可．【详解】解：∵，∴反比例函数的图像在第一、三象限，y随x的增大而减小，∵，∴，即．故选A．6．D【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理逐项判定即可．【详解】解：A、剪开得到的三角形与原三角形有两个角相等，可判两三角形相似，故本选项不符合题意；B、剪开得到三角形与原三角形的两组对应边成比例且夹角相等，可判两三角形相似，故本选项不符合题意；C、由同位角相等、两直线平行可得平行线，故可判定两三角形相似，故本选项不符合题意．D、两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，不能判定两三角形相似，故本选项符合题意．故选：D．7．D【分析】画出二次函数的图象，利用数形结合的思想即可求解．【详解】解：当时，画出图象如图所示，根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项C错误，选项D正确；当时，画出图象如图所示，根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项A、B都错误；故选：D【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，借助图象，利用数形结合的思想解题的解决问题的关键．8．C【分析】本题主要考查了似三角形的判定和性质等知识点，找准对应线段是解题的关键．根据找到比例线段，再运用相似三角形的判定与性质逐项判断即可解答．【详解】解：∵，∴与无关，故A选项错误，不符合题意；∵，虽然，但不是夹角，不能判定，故B选项错误，不符合题意；∵，，∴，∴，∴，故C选项正确，符合题意；由是同一条直线上的比例线段，与无关，故D选项错误，不符合题意．故选C．9．D【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，由抛物线开口向下可得，抛物线与轴正半轴相交可得，可判断A；由图象得时，从而可得，可判断B；由抛物线开口向下，对称轴为直线，根据点，到对称轴的距离大小可判断，可判断C；由抛物线与直线无交点，可判断方程无实数根，可判断D．【详解】解：A.∵抛物线开口向下，∴，∵抛物线与轴正半轴相交，∴，∴，故选项A错误，不符合题意；B.由图象可得时，，故选项B错误，不符合题意；C.∵二次函数的顶点坐标为，∴抛物线的对称轴为，∵，抛物线开口向下，∴，故C错误，不符合题意；∵抛物线与直线无交点，，∴方程无实数根，故选项D正确，符合题意．故选：D．10．D【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，三角形面积，过点A作于H，交于G，先根据三角形面积公式求出，设，则，证明，推出，则，由，可得当时，最大，最大值为6．【详解】解：如图所示，过点A作于H，交于G，∵，即，∴，∵的面积为24，∴，∵，∴，设，则∵，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴当时，最大，最大值为6，故选：D．11．【分析】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标，根据坐标轴上点的特征，y轴上点的横坐标为0，即可得到答案，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．【详解】解：当时，此时，∴抛物线与y轴的交点坐标是，故答案为：．12．【分析】本题主要考查黄金分割，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中AB，并且线段的黄金分割点有两个．直接利用黄金分割的定义计算出即可．【详解】解：∵P为叶脉的黄金分割点，∴．故答案为．13．【分析】本题考查了求一个角的正切值，勾股定理与网格问题，确定格点得出是解题关键．【详解】解：如图所示：点为格点，∵，∴且∴∴故答案为：14．【分析】本题属于规律探究题型，主要考查反比例函数和等腰直角三角形，数形结合是解题的关键．（1）过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质可设的坐标为，代入反比例函数，即可求解；（2）分别过点、、作轴的垂线，垂足分别为、、，根据等腰直角三角形的性质和反比例函数的性质求出、的坐标，找到点的坐标规律，即可求解．【详解】（1）如图，过点作轴于点，是等腰直角三角形，且，，设的坐标为，代入反比例函数，得：，解得：，（不符合题意，舍去），的坐标为；（2）如图，分别过点、、作轴的垂线，垂足分别为、、，是等腰直角三角形，且，，，，由（1）知，，，，，设，则，，点在反比例函数上，，解得：，（舍去），，，，，，，设，则，点，点在反比例函数上，，解得：，（舍去），点，即点，点，同理可得：点，以此类推，可得的坐标为，故答案为：．15．【分析】本题主要考查了乘方、绝对值、特殊角的三角形函数值等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键．先根据乘方、绝对值、特殊角的三角形函数值化简，然后再计算即可．【详解】解：．16．(1)(2)0.5m【分析】（1）利用待定系数法，求解即可；（2）将代入解析式，求解即可．【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为，400度近视眼镜镜片的焦距为，∴，即；（2）将代入可得：该镜片的焦距为．【点睛】此题考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，正确求得反比例函数的解析式．17．(1)见解析(2)变换前后的两个图形是位似图形，位似比为【分析】本题主要考查位似变换：（1）根据题意找出各顶点的对应点，再顺次连接即可；（2）根据图形可得出结论【详解】（1）如图，即为所作，（2）由图可知，变换前后的两个图形是位似图形，位似比为18．，见解析【分析】在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，设AC=BC=1，则AB=BD=，根据tan22.5°=计算即可．【详解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，设AC=BC=1，则AB=BD=，∴tan22.5°==．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角．19．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查相似三角形判定及性质，平行四边形性质（1）根据题意判定，再利用平行四边形性质及相似三角形性质即可得到本题答案；（2）根据题意判定，再结合（1）中即可得到本题答案．【详解】（1）解：∵平行四边形，∴，，∴，，∴，∴，即：；（2）解：由（1）知：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．20．点到桌面的最大高度为．【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线、构造直角三角形、利用解直角三角形解决问题是解题的关键．过点A作于F，过点B作于G，利用解直角三角形可得，，根据点A到桌面的最大高度，据此即可解答．【详解】解：如图：过点A作于F，过点B作于G，在中，，在中，，所以点A到桌面的最大高度．答：点A到桌面的最大高度为．21．(1)（）(2)元(3)销售价定为元时每天的利润最大，最大利润为【分析】本题考查了一元二次方程、一次函数、二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意，掌握“建模”思想是解题关键．（1）根据销售价每降低1元，同时段每天的销量就增加盒，即可求解；（2）解方程即可求解；（3）求出每天的销售利润w与定价的函数关系即可求解．【详解】（1）解：∵销售价每降低1元，同时段每天的销量就增加盒，∴（）（2）解：每盒的成本为100元，由题意得：，解得：∵要让利顾客，∴取即：要使1天的销售利润达到元，销售价应定为每盒元（3）解：有（2）可得：∴（）∴当时，即销售价定为元时每天的利润最大，最大利润为22．(1)见解析(2)(3)或7【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．（1）直接根据已知条件证明，然后根据相似三角形的性质列比例式即可解答；（2）先说明，如图：过D作；再解