建筑力学 第13章 虚功原理和结构位移计算

位移：由于荷载作用、温度改变、支座移动或其它原因导致的结构各结点位置的移动（线位移）或者杆件横截面产生转动（角位移）。

结构的位移荷载作用支座移动温度改变绝对位移：线位移角位移：桁架杆件角位移：相对位移：相对线位移相对角位移：桁架杆件相对角位移：

1、刚度验算和性能设计的需要

2、计算超静定结构必须考虑位移条件。

3、施工技术的需要，例如建筑起拱

计算结构位移的目的计算位移的有关假定

1、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。

2、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。

3、当杆件同时承受轴力与横向力作用时，不考虑由于杆弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载为线形关系，故求位移时可用叠加原理。虚功当位移与作功的力无关，且在作功的过程中，力的大小保持不变材料力学：梁的挠曲线微分方程根据位移边界条件求待定系数优点：直接求出较精确；缺点：计算较繁。结构力学：虚功方程力与在力方向上所发生位移的乘积

功实功力由于自身所引起的位移而作功。ΔFP(FP,Δ)正功、负功

单根杆件的外力虚功ΔBPPABΔAABmmΔ

A

B变形直杆体系的外力虚功变形直杆体系的虚应变能（内力虚功）dsdsdsds外力位移内力应变

在具有理想约束的刚体体系上，如果力状态中的力系能满足平衡条件，位移状态中的刚体位移能与约束几何相容，则外力虚功等于零，即虚功方程刚体虚功方程变形体虚功方程

在变形体系上，如果力状态中的力系能满足平衡条件，位移状态中的应变能满足变形谐调条件(包括位移与应变的谐调和位移与约束几何相容)，则外力虚功等于虚应变能。即虚位移原理：虚力原理：实际力系在虚设位移上的功，以计算结构的未知力（反力、内力）。虚设力系在实际位移上的功，以计算结构的未知位移。用变形体虚功方程建立平面杆件结构位移计算一般公式对上述两种状态应用虚功原理：（1）静定、超静定结构均适用实际位移状态虚拟力状态虚单位荷载法（2）荷载、温度变化、支座位移下位移状态应变的展开（3）计算结果的正负（4）沿待求位移方向加虚单位荷载如何施加单位荷载（求线位移、相对线位移）

求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。如何施加单位荷载（求转角、相对转角）

求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。荷载作用下位移计算公式平面杆件结构位移的一般公式

1、梁和刚架2、桁架3、拱扁拱4、组合结构[例1]

试求图示桁架下弦中间结点5的竖向位移

5V。各杆材料相同，截面抗拉压模量为E=8.5GPa，A=144cm2。[例3]

求图示等截面简支梁（EI=常数，GA=常数）中点C的竖向位移ΔCV和B端截面转角

。

()()()结论：在满足前述条件下，积分式之值等于某一图形面积A乘以该面积形心所对应的另一直线图形的纵标yC,再除以EI。AB图乘法计算三个条件1、杆轴为直线。2、EI分段为常数。3、M、MP图形中至少有一个为直线图形。1、yC必须取自直线图形，若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形。2、如一个弯矩图为曲线，另一个是几段直线组成的折线，则分段叠加。3、当杆件为变截面时亦应分段计算。4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号；异侧时，取负号。l/32l/3A=hl/2h二次抛物线A=2hl/3h3l/4l/4二次抛物线A=hl/3顶点5l/83l/8二次抛物线A=2hl/3h顶点l/2l/2h顶点5、三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记。abcdl6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘。acdlA1A2yC1yC2[例1]试求图a所示简支梁A端的角位移和中点C的竖向位移。EI＝常数。[例2]试求图a所示伸臂梁C点的竖向位移。EI为常数。例3：求图示梁中点的挠度。例4：求图示梁C点的挠度。CP=1l/2Pl/2l/2CMPPlPaPaMPPPaaaP=1

[例5]试求图a所示刚架结点B的水平位移

BH

。考虑弯曲变形。EI为常数。[例6]试计算图a所示刚架在截面C处的转角，EI＝5×104

kN·m2。（弧度）平面杆件结构位移的一般公式

静定结构温度变化时位移计算公式

若每一杆件沿其全长温度改变相同，且截面高度相同，则：正负号确定比较虚拟状态的变形与实际状态由于温度变化所引起的变形，若二者变形方向相同，则取正号，反之，则取负号。相应地，式中各项均只取绝对值。例1

图示一桁架，假定由于温度变化，使杆AC、BC各伸长Δu＝1.2mm,桁架发生如虚线所示的变形。试求由此而引起的点C的竖向位移Δcv

。注意到桁架各杆中只有杆件AC和BC各伸长1.2mm，则有[例2]

图示简支刚架内侧温度升高25ºC，外侧温度升高5ºC，各截面为矩形，h=0.5m,线膨胀系数

=1.010－5,试求梁中点的竖向位移

DV。+25ºC+5ºCM图FN图平面杆件结构位移的一般公式

静定结构支座位移时的位移计算支座移动不引起静定结构的变形于是求位移公式简化为：式中，表示虚拟状态的支座反力，c表示实际状态的支座位移。

[例1]如图所示结构，