新教材人教B版高中数学必修第二册全册学案(知识点汇总及配套习题、含答案)

人教B版高中数学必修第二册全册学案第四章指数函数、对数函数与幂函数 -2-4.1指数与指数函数 -2-4.1.1实数指数幂及其运算 -2-4.1.2指数函数的性质与图像 -7-第1课时指数函数的性质与图像 -7-第2课时指数函数的性质与图像的应用 -13-4.2对数与对数函数 -19-4.2.1对数运算 -19-4.2.2对数运算法则 -23-4.2.3对数函数的性质与图像 -28-第1课时对数函数的性质与图像 -28-第2课时对数函数的性质与图像的应用 -33-4.3指数函数与对数函数的关系 -39-4.4幂函数 -44-4.5增长速度的比较 -49-4.6函数的应用(二) -54-第五章统计与概率 -59-5.1统计 -59-5.1.1数据的收集 -59-第1课时总体与样本、简单随机抽样 -59-第2课时分层抽样 -65-5.1.2数据的数字特征 -70-5.1.3数据的直观表示 -78-5.1.4用样本估计总体 -86-5.3概率 -92-5.3.1样本空间与事件 -92-5.3.2事件之间的关系与运算 -96-5.3.3古典概型 -102-5.3.4频率与概率 -107-5.3.5随机事件的独立性 -110-5.4统计与概率的应用 -116-第六章平面向量初步 -121-6.1平面向量及其线性运算 -121-6.1.1向量的概念 -121-6.1.2向量的加法 -126-6.1.3向量的减法 -132-6.1.4数乘向量 -137-6.1.5向量的线性运算 -141-6.2向量基本定理与向量的坐标 -146-6.2.1向量基本定理 -146-6.2.2直线上向量的坐标及其运算 -151-6.2.3平面向量的坐标及其运算 -154-6.3平面向量线性运算的应用 -161-第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值．2．理解有理数指数幂的含义，能正确运用其运算法则进行化简、计算．3．理解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程．4．掌握实数指数幂的运算法则．1.通过学习n次方根、n次根式概念及有理数指数幂含义，提升数学抽象素养．2．通过根式运算性质、有理数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．3．通过学习无理数指数幂，了解无限逼近思想，提升数学抽象素养．4．通过实数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．必备知识·探新知知识点n次方根(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__xn＝a__，则x称为a的n次方根．(2)表示：n为奇数n为偶数a∈Ra＞0a＝0a＜0x＝__eq\r(n,a)__x＝__±eq\r(n,a)__0不存在思考：对于式子eq\r(n,a)中a一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？提示：不一定是非负数，其范围由n的奇偶决定；当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0．知识点根式(1)当eq\r(n,a)有意义时，eq\r(n,a)称为根式，n称为__根指数__，a称为被开方数．(2)性质：①(eq\r(n,a))n＝__a__；②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(__a__，n为奇数，,__|a|__，n为偶数.))思考：(eq\r(n,a))n与eq\r(n,an)中的字母a的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(eq\r(n,a))n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子eq\r(n,an)中，a∈R．分数指数幂的意义知识点正分数指数幂n为正整数，eq\r(n,a)有意义，且a≠0时，规定aeq\s\up4(\f(1,n))＝__eq\r(n,a)__正分数eq\f(m,n)，aeq\s\up4(\f(m,n))＝__(eq\r(n,a))m__＝eq\r(n,am)负分数指数幂s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝__eq\f(1,as)__思考：分数指数幂中的eq\f(m,n)有什么规定？提示：eq\f(m,n)为既约分数，如果没有特殊说明，一般总认为分数指数中的分数都是既约分数．知识点无理数指数幂当a＞0且t是无理数时，at是一个确定的__实数__．思考：当a＞0时，式子ax中的x的范围是什么？提示：x∈R．知识点实数指数幂的运算法则(a＞0，b＞0，r，s∈R)(1)aras＝__ar＋s__．(2)(ar)s＝__ars__．(3)(ab)r＝__arbr__．关键能力·攻重难题型探究题型n次方根的概念及相关问题典例剖析典例1(1)求使等式eq\r(a－3a2－9)＝(3－a)eq\r(a＋3)成立的实数a的取值范围；(2)设－3＜x＜3，求eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)的值．[分析](1)利用eq\r(a2)＝|a|进行讨论化简．(2)利用限制条件去绝对值号．[解析](1)eq\r(a－3a2－9)＝eq\r(a－32a＋3)＝|a－3|eq\r(a＋3)，要使|a－3|eq\r(a＋3)＝(3－a)eq\r(a＋3)成立，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3≤0，,a＋3≥0，))解得－3≤a≤3，即实数a的取值范围为[－3,3]．(2)原式＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，∵－3＜x＜3，∴当－3＜x＜1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；当1≤x＜3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4．∴原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3＜x＜1，,－4，1≤x＜3.))规律方法：1.对于eq\r(n,a)，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0时才有意义；(2)只要eq\r(n,a)有意义，eq\r(n,a)必不为负．2．当n为偶数时，eq\r(n,an)先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号．对点训练1．(1)若eq\r(4,a－2)＋(a－3)0有意义，则a的取值范围是__[2,3)∪(3，＋∞)__；(2)已知x∈[1,2]，化简(eq\r(4,x－1))4＋eq\r(6,x－26)＝__1__．[解析](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2≥0，,a－3≠0，))得a≥2，且a≠3．(2)∵x∈[1,2]，∴x－1≥0，x－2≤0，∴(eq\r(4,x－1))4＋eq\r(6,x－26)＝x－1＋|x－2|＝x－1－(x－2)＝1．题型根式与分数指数幂的互化典例剖析典例2(1)用根式表示下列各式：aeq\s\up4(\f(1,5))；aeq\s\up4(\f(3,4))；a－eq\s\up4(\f(2,3))；(2)用分数指数幂表示下列各式：eq\r(3,a5)；eq\r(3,a6)；eq\f(1,\r(3,a2))．[分析]利用分数指数幂的定义求解．[解析](1)aeq\s\up4(\f(1,5))＝eq\r(5,a)；aeq\s\up4(\f(3,4))＝eq\r(4,a3)；a－eq\s\up4(\f(2,3))＝eq\f(1,aeq\s\up4(\f(2,3)))＝eq\f(1,\r(3,a2))．(2)eq\r(3,a5)＝aeq\s\up4(\f(5,3))；eq\r(3,a6)＝aeq\s\up4(\f(6,3))＝a2；eq\f(1,\r(3,a2))＝eq\f(1,aeq\s\up4(\f(2,3)))＝a－eq\s\up4(\f(2,3))．规律方法：根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数eq\o(→,\s\up7(化为))分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．对点训练2．(1)用根式表示下列各式：xeq\s\up4(\f(3,5))；x－eq\s\up4(\f(1,3))；(2)用分数指数幂表示下列各式：①eq\r(\f(b3,a2)·\r(\f(a2,b6)))(a＞0，b＞0)；②eq\r(a－4b2\r(3,ab2))(a＞0，b＞0)．[解析](1)xeq\s\up4(\f(3,5))＝eq\r(5,x3)；x－eq\s\up4(\f(1,3))＝eq\f(1,\r(3,x))．(2)①eq\r(\f(b3,a2)·\r(\f(a2,b6)))＝eq\r(\f(b3,a2)·\f(a,b3))＝a－eq\s\up4(\f(1,2))．②eq\r(a－4b2\r(3,ab2))＝eq\r(a－4b2·ab2eq\s\up4(\f(1,3)))＝eq\r(a－4b2aeq\s\up4(\f(1,3))beq\s\up4(\f(2,3)))＝eq\r(a－eq\s\up4(\f(11,3))beq\s\up4(\f(8,3)))＝a－eq\s\up4(\f(11,6))beq\s\up4(\f(4,3))．题型有理(实数)指数幂的运算法则的应用典例剖析典例3化简：(1)(5x－eq\s\up4(\f(2,3))yeq\s\up4(\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)x－1yeq\s\up4(\f(1,2))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)xeq\s\up4(\f(1,3))y－eq\s\up4(\f(1,6))))(其中x＞0，y＞0)；(2)0.064－eq\s\up4(\f(1,3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,8)))0＋[(－2)3]－eq\s\up4(\f(4,3))＋16－0.75；(3)32＋eq\r(3)×27－eq\f(\r(3),3)；(4)(1＋eq\r(2))[(－eq\r(2)－1)－2(eq\r(2))eq\s\up4(\f(1,2))]eq\s\up4(\f(1,2))＋(eq\r(2))1－eq\r(3)×(eq\r(2))1＋eq\r(3)．[分析]利用幂的运算法则计算．[解析](1)原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5×－\f(1,4)×－\f(5,6)))·x－eq\s\up4(\f(2,3))＋(－1)＋eq\f(1,3)·yeq\s\up4(\f(1,2))＋eq\s\up4(\f(1,2))－eq\f(1,6)＝eq\f(25,24)x－eq\s\up4(\f(4,3))yeq\s\up4(\f(5,6))．(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝eq\f(5,2)－1＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＝eq\f(27,16)．(3)32＋eq\r(3)×27－eq\s\up4(\f(eq\r(3),3))＝32＋eq\r(3)×(33)－eq\s\up4(\f(eq\r(3),3))＝32＋eq\r(3)×3－eq\r(3)＝32＋eq\r(3)－eq\r(3)＝32＝9．(4)(1＋eq\r(2))[(－eq\r(2)－1)－2(eq\r(2))eq\s\up4(\f(1,2))]eq\s\up4(\f(1,2))＋(eq\r(2))1－eq\r(3)×(eq\r(2))1＋eq\r(3)＝(1＋eq\r(2))[(eq\r(2)＋1)－2·(eq\r(2))eq\s\up4(\f(1,2))]eq\s\up4(\f(1,2))＋(eq\r(2))1－eq\r(3)＋1＋eq\r(3)＝(1＋eq\r(2))[(eq\r(2)＋1)－2×eq\f(1,2)(eq\r(2))eq\s\up4(\f(1,2))×eq\s\up4(\f(1,2))]＋(eq\r(2))2＝(1＋eq\r(2))·[(eq\r(2)＋1)－1·(eq\r(2))eq\s\up4(\f(1,4))]＋2＝(eq\r(2))eq\s\up4(\f(1,4))＋2＝2＋2eq\s\up4(\f(1,8))．规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．对点训练3．化简与求值(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(3,8)))－eq\s\up4(\f(2,3))＋(0.002)－eq\s\up4(\f(1,2))－10(eq\r(5)－2)－1＋(eq\r(2)－eq\r(3))0；(2)eq\r(3,a\f(3,2)·\r(a－3))·eq\r(a－5－eq\s\up4(\f(1,2))·a－eq\s\up4(\f(1,2))13)．[解析](1)原式＝(－1)－eq\s\up4(\f(2,3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))－eq\s\up4(\f(2,3))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,500)))－eq\f(1,2)－eq\f(10,\r(5)－2)＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))－eq\s\up4(\f(2,3))＋(500)eq\s\up4(\f(1,2))－10(eq\r(5)＋2)＋1＝eq\f(4,9)＋10eq\r(5)－10eq\r(5)－20＋1＝－eq\f(167,9)．(2)原式＝(aeq\s\up4(\f(3,2))·a－eq\s\up4(\f(2,3)))eq\s\up4(\f(1,3))·[(a－5)－eq\s\up4(\f(1,2))·(a－eq\s\up4(\f(1,2)))13]eq\s\up4(\f(1,2))＝(a0)eq\s\up4(\f(1,3))·(aeq\s\up4(\f(5,2))·a－eq\s\up4(\f(2,3)))eq\s\up4(\f(1,2))＝(a－4)eq\s\up4(\f(1,2))＝a－2．易错警示典例剖析典例4化简(1－a)[(a－1)－2·(－a)eq\s\up4(\f(1,2))]eq\s\up4(\f(1,2))．[错解]原式＝(1－a)(a－1)－1·(－a)eq\s\up4(\f(1,4))＝－(－a)eq\s\up4(\f(1,4))．[辨析]误解中忽略了题中有(－a)eq\s\up4(\f(1,2))，即－a≥0，a≤0，则[(a－1)－2]eq\s\up4(\f(1,2))≠(a－1)－1．[正解]∵(－a)eq\s\up4(\f(1,2))存在，∴－a≥0，故a－1＜0，原式＝(1－a)·(1－a)－1(－a)eq\s\up4(\f(1,4))＝(－a)eq\s\up4(\f(1,4))．4.1.2指数函数的性质与图像第1课时指数函数的性质与图像素养目标·定方向课程标准学法解读1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念．2．掌握指数函数的性质与图像．3．初步学会运用指数函数来解决问题．1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养．2．通过利用计算机软件作指数函数的图像，发展直观想象素养．3．通过指数函数的实际应用，提升数学建模素养．必备知识·探新知知识点指数函数函数__y＝ax__称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．思考：(1)为什么指数函数的底数a＞0，且a≠1?(2)指数函数的解析式有什么特征？提示：(1)①如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．②如果a＜0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，该函数无意义．③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1．(2)①a＞0，且a≠1，②ax的系数为1；③自变量x的系数为1．指数函数的图像和性质知识点0＜a＜1a＞1图像定义域实数集R值域__(0，＋∞)__性质过定点__(0,1)__是__减__函数是__增__函数思考：(1)对于指数函数y＝2x，y＝3x，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，…，为什么一定过点(0,1)?(2)对于指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)，在下表中，？处y的范围是什么？底数x的范围y的范围a＞1x＞0？x＜0？0＜a＜1x＞0？x＜0？提示：(1)当x＝0时，a0＝1恒成立，即指数函数的图像一定过点(0,1)．(2)底数x的范围y的范围a＞1x＞0y＞1x＜00＜y＜10＜a＜1x＞00＜y＜1x＜0y＞1关键能力·攻重难题型探究题型指数函数的概念典例剖析典例1(1)函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为__2__．(2)指数函数y＝f(x)的图像经过点(π，e)，则f(－π)＝__eq\f(1,e)__．[分析](1)根据指数函数解析式的特征列方程求解．(2)设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f(－π)．[解析](1)由题意得a2－3a＋3＝1，即(a－2)(a－1)＝0，解得a＝2或a＝1(舍)．(2)设指数函数为y＝ax(a＞0且a≠1)，则e＝aπ，所以f(－π)＝a－π＝(aπ)－1＝e－1＝eq\f(1,e)．规律方法：1.判断一个函数是指数函数的方法(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a＞0，且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1．(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y＝eq\f(1,3x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x是指数函数．2．求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式f(x)＝ax(a＞0且a≠1)．(2)利用已知条件求底数A．(3)写出指数函数的解析式．对点训练1．(1)函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)＝(D)A．8 B．eq\f(3,2)C．4 D．2(2)指数函数y＝f(x)的图像经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))，那么f(4)·f(2)＝__64__．[解析](1)因为f(x)＝(2a－3)ax为指数函数，所以2a－3＝1，解得a＝2，所以f(1)＝21＝2．(2)设指数函数的解析式为y＝ax(a＞0且a≠1)，因为函数的图像经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))，所以eq\f(1,4)＝a－2，所以a＝2，所以指数函数的解析式为y＝2x，所以f(4)·f(2)＝24×22＝26＝64．题型指数函数的图像问题典例剖析典例2(1)函数y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图像可能是(D)(2)要得到函数y＝23－x的图像，只需将函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图像(A)A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位C．向右平移8个单位 D．向左平移8个单位[分析](1)要注意对a进行讨论，分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论判断．(2)先对解析式变形，再进行判断．[解析](1)函数y＝x＋a单调递增．由题意知a＞0且a≠1．当0＜a＜1时，y＝ax单调递减，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于0且小于1；当a＞1时，y＝ax单调递增，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于1.故选D．(2)因为y＝23－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－3，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图像向右平移3个单位得到y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－3，即y＝23－x的图像．规律方法：1.函数图像问题的处理技巧(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点．(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势．2．指数型函数图像过定点问题的处理策略求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的x与y的值，即为函数图像所过的定点．对点训练2．(1)图中曲线C1，C2，C3，C4分别是指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像，则a，b，c，d与1之间的大小关系是(D)A．a＜b＜1＜c＜dB．a＜b＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜c＜dD．b＜a＜1＜d＜c(2)若函数y＝ax＋m－1(a＞0)的图像经过第一、三和第四象限，则(B)A．a＞1 B．a＞1，且m＜0C．0＜a＜1，且m＞0 D．0＜a＜1[解析](1)过点(1,0)作直线x＝1，在第一象限内分别与各曲线相交，可知1＜d＜c，b＜a＜1，故b＜a＜1＜d＜C．(2)y＝ax(a＞0)的图像在第一、二象限内，欲使y＝ax＋m－1的图像经过第一、三、四象限，必须将y＝ax向下移动．当0＜a＜1时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a＞1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a＞1时，图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m－1＜－1，所以m＜0，故选B．题型指数函数的定义域、值域问题典例剖析典例3(1)当x＞0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值域为(1，＋∞)，则实数a的取值范围是(D)A．(－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2)) B．(－1,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)(2)函数y＝5eq\r(2x－1)的定义域为__eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)))))__．[分析](1)根据指数函数的图像，函数值恒大于1，底数应该大于1可得．(2)根据根式的性质，被开方数大于或等于0求解．[解析](1)当x＞0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则底数a2－1＞1，a2＞2，所以|a|＞eq\r(2)，所以实数a的取值范围是(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)．(2)要使函数y＝5eq\r(2x－1)有意义，则2x－1≥0，所以x≥eq\f(1,2).所以函数y＝5eq\r(2x－1)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)))))．规律方法：函数y＝af(x)定义域、值域的求法(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．(2)值域：①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．对点训练3．(1)已知集合A＝{x|y＝2eq\s\up7(\f(1,x-4))}，B＝{0,2,4}，A∩B＝____________；(2)求函数y＝3eq\s\up4(\f(1,eq\r(2x-4)))的定义域和值域．[解析](1)要使y＝2eq\s\up7(\f(1,x-4))有意义需x－4≠0，则x≠4，即A＝{x|x≠4，x∈R}，所以A∩B＝{0,2}．(2)要使函数y＝3eq\s\up4(\f(1,eq\r(2x-4)))有意义，只需2x－4＞0，解得x＞2；令t＝eq\s\up4(\f(1,eq\r(2x-4)))，则t＞0，由于函数y＝3t在t∈(0，＋∞)上是增函数，故3t＞1.故函数y＝3eq\s\up4(\f(1,eq\r(2x-4)))的定义域为{x|x＞2}，值域为{y|y＞1}．误区警示：此题易忽略2x－4≠0，而误认为2x－4≥0从而造成错误．易错警示典例剖析典例4若函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．[错解]∵函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0－1＝2,a2－1＝0))，∴a＝eq\r(3)．故实数a的值为eq\r(3)．[辨析]误解中没有对a进行分类讨论．[正解]当a＞1时，函数f(x)＝ax－1在[0,2]上是增函数，由题意可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0－1＝0,a2－1＝2))，解得a＝eq\r(3).当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax－1在[0,2]上是减函数，由题意可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0－1＝2,a2－1＝0))，此时a无解．综上所述，a＝eq\r(3)．第2课时指数函数的性质与图像的应用素养目标·定方向课程标准学法解读1.进一步熟练掌握指数函数的图像、性质．2．会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性．3．能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式．1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，提升学生的逻辑推理素养．2．借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，提升学生的数学运算及数学抽象素养．必备知识·探新知知识点底数与指数函数图像的关系(1)由指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图像与直线x＝1相交于点(1，a)可知，在y轴右侧，图像从__下__到__上__相应的底数由小变大．(2)由指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图像与直线x＝－1相交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a)))可知，在y轴左侧，图像从下到上相应的底数__由大变小__．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1．知识点解指数型不等式(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax(a＞0且a≠1)的__单调性__求解；(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax(a＞0且a≠1)的__单调性__求解；(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝bx(b＞0且b≠1)的图像求解．知识点与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y＝af(x)(a＞0且a≠1)函数的性质有：(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有__相同__的定义域．(2)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有__相同__的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有__相反__的单调性．思考：(1)指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的单调性取决于哪个量？(2)如何判断形如y＝f(ax)(a＞0且a≠1)的函数的单调性？提示：(1)指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a＞1时，y＝ax(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数，当0＜a＜1时，y＝ax(a＞0且a≠1)在定义域上是减函数．(2)①定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．关键能力·攻重难题型探究题型指数函数性质的简单应用典例剖析典例1比较下列各组数的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1；(4)eq\r(5,5)，eq\r(3,3)，eq\r(2)．[分析]底数相同的幂值ab与ac比较大小，一般用y＝ax的单调性；指数相同的幂值ac与bc比较大小，可在同一坐标系中，画出y＝ax与y＝bx的图像考察x＝c时，函数值的大小；底数与指数均不同的一般考虑先化同底．不方便化时，常借助中间量0、1等过渡．[解析](1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．(2)考查函数y＝0.8x，由于0＜0.8＜1，所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．(3)由指数函数的性质得1．70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1．(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．∵eq\r(2)＝2eq\s\up4(\f(1,2))＝(23)eq\s\up10(\f(1,6))＝8eq\s\up10(\f(1,6))，eq\r(3,3)＝3eq\s\up10(\f(1,3))＝(32)eq\s\up10(\f(1,6))＝9eq\s\up10(\f(1,6))而8＜9.∴8eq\s\up10(\f(1,6))＜9eq\s\up10(\f(1,6))，即eq\r(2)＜eq\r(3,3)，又eq\r(2)＝2eq\s\up4(\f(1,2))＝(25)eq\s\up4(\f(1,10))＝32eq\s\up4(\f(1,10))，eq\r(5,5)＝5eq\s\up10(\f(1,5))＝(52)eq\s\up4(\f(1,10))，而25＜32，∴eq\r(5,5)＜eq\r(2)．总之，eq\r(5,5)＜eq\r(2)＜eq\r(3,3)．规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较．2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较．对点训练1．比较下列各题中两个值的大小．(1)0.3x与0.3x＋1；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2与2eq\s\up4(\f(1,2))．[解析](1)∵y＝0.3x为减函数，又x＜x＋1，∴0.3x＞0.3x＋1．(2)化同底为：(eq\f(1,2))－2＝22，与2eq\s\up4(\f(1,2))，∵函数y＝2x为增函数，2＞eq\f(1,2)．∴22＞2eq\s\up4(\f(1,2))，即(eq\f(1,2))－2＞2eq\s\up4(\f(1,2))．题型形如y＝af(x)类型函数的单调性与值域典例剖析典例2求函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－x2＋x＋2的单调递增区间、值域．[分析]利用复合函数单调性的原则“同增异减”求解[解析]令t＝－x2＋x＋2，则y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t，因为t＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(9,4)，可得t的减区间为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，因为函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t在R上是减函数，所以函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－x2＋x＋2的单调递增区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))；又t≤eq\f(9,4)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(9,4)，所以函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－x2＋x＋2值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\f(9,4)，＋∞))．规律方法：复合函数的单调性、值域(1)分层：一般分为外层y＝at，内层t＝f(x)．(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．(3)值域复合：先求内层t的值域，再利用单调性求y＝at的值域．对点训练2．函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x2－2x的单调递减区间是__[1，＋∞)__，值域是__eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))__．[解析]令t＝x2－2x＝(x－1)2－1，则f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))t，利用二次函数的性质可得函数t的增区间为[1，＋∞)，所以函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x2－2x的减区间是[1，＋∞)；因为t≥－1，所以f(x)≤eq\f(3,2)，所以函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x2－2x的值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))．题型指数函数性质的综合应用典例剖析典例3(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x≥1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)))x＋2，x＜1，))对任意x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0成立，则实数a的取值范围是(B)A．(4,8) B．[4,8)C．(1，＋∞) D．(1,8)(2)已知函数f(x)＝eq\f(a·2x－1,1＋2x)是R上的奇函数．①判断并证明f(x)的单调性；②若对任意实数，不等式f[f(x)]＋f(3－m)＞0恒成立，求m的取值范围．[解析](1)因为分段函数为增函数，所以满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞1，,4－\f(a,2)＞0，,a≥6－\f(a,2)，))解得4≤a＜8．(2)①因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即eq\f(a－1,2)＝0，由此得a＝1，所以f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＝1－eq\f(2,2x＋1)，所以f(x)为R上的增函数．证明：设x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝1－eq\f(2,2x1＋1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,2x2＋1)))＝eq\f(2,2x2＋1)－eq\f(2,2x1＋1)，因为x1＜x2，所以eq\f(2,2x2＋1)－eq\f(2,2x1＋1)＜0，所以f(x1)＜f(x2)，所以f(x)为R上的增函数．②因为f(x)为R上的奇函数．所以原不等式可化为f[f(x)]＞－f(3－m)，即f[f(x)]＞f(m－3)，又因为f(x)为R上的增函数，所以f(x)＞m－3，由此可得不等式m＜f(x)＋3＝4－eq\f(2,2x＋1)对任意实数x恒成立，由2x＞0⇒2x＋1＞1⇒0＜eq\f(2,2x＋1)＜2⇒－2＜－eq\f(2,2x＋1)＜0⇒2＜4－eq\f(2,2x＋1)＜4，所以m≤2．规律方法：1.关于分段函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x≤x0，,gx，x＞x0))的单调性(1)增函数：f(x)，g(x)均为增函数，且f(x0)≤g(x0)．(2)减函数：f(x)，g(x)均为减函数，且f(x0)≥g(x0)．2．含参数恒成立问题的一种处理方法将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小．对点训练3．(1)若将本例(1)中的函数改为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－ax＋1，x＜1，,ax，x≥1，))其他条件不变，试求a的范围；(2)已知f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m.如果对于任意的x1∈[－2,2]，总存在x2∈[－2,2]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数m的取值范围是__m≥－5__．[解析](1)因为函数f(x)满足对任意x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0成立，所以函数f(x)在定义域上是增函数，则满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a＞0，,a＞1，,2－a＋1≤a，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜2,a＞1，,a≥\f(3,2).))得eq\f(3,2)≤a＜2．(2)因为f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，所以f(0)＝0，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1∈(0,3]，则当x∈[－2,2]时，f(x)∈[－3,3]，若对于∀x1∈[－2,2]，∃x2∈[－2,2]，使得g(x2)≥f(x1)，则等价为g(x)max≥3，因为g(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，x∈[－2,2]，所以g(x)max＝g(－2)＝8＋m，则满足8＋m≥3解得m≥－5．易错警示典例剖析典例4求函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1的值域．[错解]令t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，则y＝t2＋t＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)，所以t＝－eq\f(1,2)时，ymin＝eq\f(3,4)，所以函数的值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))．[辨析]在换元时，令t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＞0，在误解中忽略了这一点．[正解]令t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，则y＝t2＋t＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)．因为t＞0，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)在(0，＋∞)上是增函数，所以y＞1，即函数的值域为(1，＋∞)．4.2对数与对数函数4.2.1对数运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解对数的概念．2．知道自然对数和常用对数．3．通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化．2．理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养．必备知识·探新知知识点对数的概念(1)定义：在代数式ab＝N(a＞0且a≠1)，N∈(0，＋∞)中，幂指数b称为以a为底N的对数．(2)记法：b＝__logaN__，a称为对数的__底数__，N称为对数的__真数__．(3)范围：N＞0，即__负数和零没有对数__．思考：(1)为什么负数和零没有对数？(2)对数式logaN是不是loga与N的乘积？提示：(1)因为b＝logaN的充要条件是ab＝N，当a＞0且a≠1时，由指数函数的值域可知N＞0，故负数和零没有对数．(2)不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．知识点对数恒等式(1)alogaN＝N．(2)logaab＝B．知识点常用对数与自然对数(1)常用对数：log10N，简写为lgN．(2)自然对数：logeN，简写为lnN，e＝2.71828…．关键能力·攻重难题型探究题型对数的概念典例剖析典例1若a2020＝b(a＞0，且a≠1)，则(A)A．logab＝2020 B．logba＝2020C．log2020a＝b D．log2020b＝a(2)对数式log(a－2)(5－a)中实数a的取值范围是(C)A．(－∞，5) B．(2,5)C．(2,3)∪(3,5) D．(2，＋∞)(3)下列指数式与对数式互化不正确的一组是(B)A．e0＝1与ln1＝0B．log39＝2与9eq\s\up4(\f(1,2))＝3C．8－eq\s\up4(\f(1,3))＝eq\f(1,2)与log8eq\f(1,2)＝－eq\f(1,3)D．log77＝1与71＝7[分析](1)根据对数的定义转化．(2)对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0．(3)根据对数式的定义判断．[解析](1)若a2020＝b(a＞0，且a≠1)则logab＝2020．(2)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2＞0，,a－2≠1，,5－a＞0，))解得2＜a＜3或3＜a＜5．(3)由指、对数式的互化可知，A、C、D正确；对于B选项log39＝2可化为32＝9，所以B选项错误．规律方法：指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．对点训练1．(1)如果a5＝b(a＞0且a≠1，b＞0)，则(A)A．logab＝5 B．loga5＝bC．log5a＝b D．log5b＝a(2)若对数式log(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是(B)A．[2，＋∞) B．(2,3)∪(3，＋∞)C．(－∞，2) D．(2，＋∞)[解析](1)如果a5＝b(a＞0，且a≠1，b＞0)则化为对数式为logab＝5．(2)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t－2＞0,t－2≠1))，解得t＞2且t≠3．所以t的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)题型利用指数式与对数式关系求值角度1利用指数式与对数式的互化求值典例剖析典例2求下列各式的值：(1)log381；(2)log4eq\f(1,16)；(3)logeq\s\do8(\f(1,2))8；(4)lg0.1．[解析](1)因为34＝81，所以log381＝4．(2)因为4－2＝eq\f(1,16)，所以log4eq\f(1,16)＝－2．(3)因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－3＝8，所以logeq\s\do8(\f(1,2))8＝－3．(4)因为10－1＝0.1，所以lg0.1＝－1．角度2两个特殊对数值的应用典例3已知log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的值．[解析]因为log2[log3(log4x)]＝0，所以log3(log4x)＝1，所以log4x＝3，所以x＝43＝64，同理求得y＝16，所以x＋y＝80．规律方法：对数性质在求值中的应用1．对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0．2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．对点训练2．(1)log5[log3(log2x)]＝0，则x－eq\s\up4(\f(1,2))等于(C)A．eq\f(\r(3),6) B．eq\f(\r(3),9)C．eq\f(\r(2),4) D．eq\f(2,3)(2)log3eq\f(1,27)＝__－3__；log5625＝__4__．[解析](1)因为log5[log3(log2x)]＝0，所以log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，所以x＝23＝8，所以x－eq\s\up4(\f(1,2))＝8－eq\s\up4(\f(1,2))＝eq\f(1,\r(8))＝eq\f(\r(2),4)．(2)因为3－3＝eq\f(1,27)，所以log3eq\f(1,27)＝－3；因为54＝625，所以log5625＝4．题型对数恒等式的应用典例剖析典例4计算：(1)71－log75；(2)4eq\s\up4(\f(1,2))(log29－log25)；(3)alogab·logbc(a、b均为不等于1的正数，c＞0)．[解析](1)原式＝eq\f(7,7log75)＝eq\f(7,5)．(2)原式＝2(log29－log25)＝eq\f(2log29,2log25)＝eq\f(9,5)．(3)原式＝(alogab)logbc＝blogbc＝C．规律方法：对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式：(3)其值为对数的真数．对点训练3．求31＋log36－24＋log23＋103lg3＋(eq\f(1,9))log34的值．[解析]原式＝3·3log36－24·2log23＋(10lg3)3＋(3log34)－2＝3×6－16×3＋33＋4－2＝18－48＋27＋eq\f(1,16)＝－eq\f(47,16)．易错警示典例剖析典例5求满足等式log(x＋3)(x2＋3x)＝1中x的值．[错解]∵log(x＋3)(x2＋3x)＝1，∴x2＋3x＝x＋3，即x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1.故满足等式log(x＋3)(x2＋3x)＝1中x的值为－3和1．[辨析]误解中忽略了对数的真数与底数都必须为正数，且底数不能等于1．[正解]由对数性质，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋3x＞0,x＋3＞0,x＋3≠1,x2＋3x＝x＋3))，解得x＝1．故满足等式log(x＋3)(x2＋3x)＝1的x的值为1．4.2.2对数运算法则素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解积、商、幂的对数，能进行简单的对数运算．2．知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．通过本节课的学习，掌握对数的运算法则及换底公式，会用对数的运算法则进行化简求值，进一步提升数学抽象与数学运算素养．必备知识·探新知知识点积、商、幂的对数若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，则有(1)积的对数：__loga(MN)＝logaM＋logaN__．(2)商的对数：__logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN__．(3)幂的对数：__logaMn＝nlogaM__．思考：在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你可以得到一个什么样的结论？提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到n项的乘积．知识点换底公式若a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，则有__logab＝eq\f(logcb,logca)__．思考：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？(2)你能用换底公式推导出结论logNnMm＝eq\f(m,n)logNM吗？提示：(1)logab＝eq\f(lgb,lga)，logab＝eq\f(lnb,lna)．(2)logNnMm＝eq\f(lgMm,lgNn)＝eq\f(mlgM,nlgN)＝eq\f(m,n)·eq\f(lgM,lgN)＝eq\f(m,n)logNM．关键能力·攻重难题型探究题型利用对数的运算法则求值典例剖析典例1计算：(1)loga2＋logaeq\f(1,2)(a＞0且a≠1)；(2)log318－log32；(3)2log510＋log50.25；(4)2log525＋3log264；(5)log2(log216)；(6)62log63－20log71＋log4eq\f(1,16)．[解析](1)loga2＋logaeq\f(1,2)＝loga(2×eq\f(1,2))＝loga1＝0．(2)log318－log32＝log3(18÷2)＝log39＝2．(3)2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝2．(4)2log525＋3log264＝2log552＋3log226＝4＋18＝22．(5)log2(log216)＝log24＝2．(6)原式＝6log69－20×0＋log44－2＝9－2＝7．规律方法：对于同底的对数的化简，常用的方法：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．对点训练1．计算log535＋2log2eq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514的值．[解析]log535＋2log2eq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514＝log535＋2×eq\f(1,2)＋log550－log514＝log5eq\f(35×50,14)＋1＝3＋1＝4．题型利用对数的运算法则化简典例剖析典例2用lgx，lgy，lgz表示下列各式：(1)lg(xyz)；(2)lgeq\f(xy2,z)；(3)lgeq\f(xy3,\r(z))；(4)lgeq\f(\r(x),y2z)．[解析](1)lg(xyz)＝lgx＋lgy＋lgz．(2)lgeq\f(xy2,z)＝lg(xy2)－lgz＝lgx＋2lgy－lgz．(3)lgeq\f(xy3,\r(z))＝lg(xy3)－lgeq\r(z)＝lgx＋3lgy－eq\f(1,2)lgz．(4)lgeq\f(\r(x),y2z)＝lgeq\r(x)－lg(y2z)＝eq\f(1,2)lgx－2lgy－lgz．规律方法：关于对数式的化简首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序，其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开．对点训练2．lg2＝a，lg3＝b，试用a、b表示lg108，lgeq\f(18,25)．[解析]lg108＝lg(27×4)＝lg(33×22)＝lg33＋lg22＝3lg3＋2lg2＝2a＋3B．lgeq\f(18,25)＝lg18－lg25＝lg(2×32)－lgeq\f(102,22)＝lg2＋lg32－lg102＋lg22＝lg2＋2lg3－2＋2lg2＝3a＋2b－2．题型换底公式及其应用典例剖析典例3(1)已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log3645的值；(2)设3x＝4y＝6z＞1，求证：eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y)．[分析]在(1)中把所求的换成与已知同底的对数，在(2)中可用整体代换法求出x，y，z，并结合换底公式与对数的运算性质证明．[解析](1)由18b＝5，得log185＝b，∴log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log185＋log189,1＋log182)＝eq\f(b＋a,1＋1－log189)＝eq\f(a＋b,2－a)．(2)设3x＝4y＝6z＝t，∵3x＝4y＝6z＞1，∴t＞1，∴x＝eq\f(lgt,lg3)，y＝eq\f(lgt,lg4)，z＝eq\f(lgt,lg6)，∴eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(lg6,lgt)－eq\f(lg3,lgt)＝eq\f(lg2,lgt)＝eq\f(lg4,2lgt)＝eq\f(1,2y)．∴eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y)．规律方法：换底公式的应用(1)一般利用常用对数或自然对数进行化简求值．(2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用．(3)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式eq\f(1,logab)＝logbA．对点训练3．(1)若3a＝7b＝eq\r(21)，求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值；(2)设4a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1，求m的值．[解析](1)∵3a＝7b＝eq\r(21)，∴a＝log3eq\r(21)，b＝log7eq\r(21)，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log3\r(21))＋eq\f(1,log7\r(21))＝eq\f(1,\f(lg\r(21),lg3))＋eq\f(1,\f(lg\r(21),lg7))＝eq\f(lg3＋lg7,lg\r(21))＝eq\f(lg21,\f(1,2)lg21)＝2．(2)∵4a＝5b＝m，∴a＝log4m，b＝log5m，又eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1，∴eq\f(1,log4m)＋eq\f(2,log5m)＝1，即logm4＋2logm5＝1，∴logm100＝1，∴m＝100．易错警示典例剖析典例4已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求logeq\r(2)eq\f(x,y)的值．[错解]∵lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0．∴(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y．∵eq\f(x,y)＝1或4，∴logeq\r(2)eq\f(x,y)＝logeq\r(2)1＝0或logeq\r(2)eq\f(x,y)＝logeq\r(2)4＝4．[辨析]误解中忽视了对数的真数大于0这一条件．[正解]∵lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0．∴(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y．∵x＞0，y＞0，x－2y＞0，∴x＝y应舍去．∴eq\f(x,y)＝4，∴logeq\r(2)eq\f(x,y)＝logeq\r(2)4＝4．4.2.3对数函数的性质与图像第1课时对数函数的性质与图像素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解对数函数的概念．2．初步掌握对数函数的性质与图像．理解对数函数的概念及对数函数的性质与图像，发展学生的数学抽象素养、直观想象素养及数学运算素养．必备知识·探新知知识点对数函数函数y＝__logax__称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．思考：(1)对数函数的定义域是什么？为什么？(2)对数函数的解析式有何特征？提示：(1)定义域为x＞0，因为负数和零没有对数．(2)①a＞0，且a≠1；②logax的系数为1；③自变量x的系数为1．对数函数的性质与图像知识点0＜a＜1a＞1图像定义域__(0，＋∞)__值域__R__性质过__定点(1,0)____是减函数____是增函数__思考：(1)对于对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝logeq\s\do8(\f(1,2))x，y＝logeq\s\do8(\f(1,3))x，…，为什么一定过点(1,0)?(2)对于对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)，在表中，？处y的范围是什么？底数x的范围y的范围a＞1x＞1？0＜x＜1？0＜a＜1x＞1？0＜x＜1？提示：(1)当x＝1时，loga1＝0恒成立，即对数函数的图像一定过点(1,0)．(2)底数x的范围y的范围a＞1x＞1y＞00＜x＜1y＜00＜a＜1x＞1y＜00＜x＜1y＞0关键能力·攻重难题型探究题型对数函数的概念典例剖析典例1指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝2log3x；(2)y＝log5x；(3)y＝logx2；(4)y＝log2x＋1．[解析](1)log3x的系数是2，不是1，不是对数函数．(2)是对数函数．(3)自变量在底数位置，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．规律方法：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1．(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x．对点训练1．(1)下列函数是对数函数的是(D)A．y＝loga(2x) B．y＝lg10xC．y＝loga(x2＋x) D．y＝lnx(2)若某对数函数的图像过点(4,2)，则该对数函数的解析式为(A)A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定[解析](1)由对数函数的定义，知D正确．(2)设所求对数函数的解析式为y＝logax(a＞0，a≠1)，由题意，得2＝loga4，∴a＝2，∴所求对数函数的解析式为y＝log2x．题型求函数的定义域典例剖析典例2求下列函数的定义域：(1)y＝eq\r(lg2－x)；(2)y＝eq\f(1,log33x－2)；(3)y＝log(2x－1)(3－4x)．[分析]函数的定义域是使函数有意义的自变量x的允许取值范围．求定义域时，要结合使根式、分式等有意义的条件和对数式的定义求解．[解析](1)由题意得lg(2－x)≥0，即2－x≥1，∴x≤1，则y＝eq\r(lg2－x)的定义域为{x|x≤1}．(2)欲使y＝eq\f(1,log33x－2)有意义，应有log3(3x－2)≠0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2＞0,3x－2≠1)).解得x＞eq\f(2,3)，且x≠1．∴y＝eq\f(1,log33x－2)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx＞\f(2,3)，且x≠1))．(3)使y＝log(2x－1)(3－4x)有意义时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＞0,2x－1≠1,3－4x＞0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞\f(1,2),x≠1,x＜\f(3,4)))，∴eq\f(1,2)＜x＜eq\f(3,4)．∴此函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq\s\up4(\f(1,2))＜x＜\f(3,4)))．规律方法：求对数型函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0．(2)根指数为偶数时，被开方数非负．(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1．对点训练2．求下列函数的定义域：(1)y＝eq\r(log0.54x－3)；(2)y＝eq\r(－lg1－x)；(3)y＝log(5x－1)(7x－2)．[解析](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－3＞0,log0.54x－3≥0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－3＞0,4x－3≤1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞\f(3,4),x≤1))，即eq\f(3,4)＜x≤1，∴所求函数的定义域为{x|eq\f(3,4)＜x≤1}．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－lg1－x≥0,1－x＞0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lg1－x≤0,x＜1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≤1,x＜1))，即0≤x＜1，∴所求函数的定义域为{x|0≤x＜1}．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x－1＞0,5x－1≠1,7x－2＞0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞\f(1,5),x≠\f(2,5),x＞\f(2,7)))，即x＞eq\f(2,7)，且x≠eq\f(2,5)，∴所求函数的定义域为{x|x＞eq\f(2,7)，且x≠eq\f(2,5)}．题型应用对数函数的单调性比较数的大小典例剖析典例3比较下列各组中两个数的大小：(1)log23.4和log28.5；(2)log0.53.8和log0.52；(3)log0.53和1;(4)log20.5和0；(5)log0.30.7和0;(6)log34和0．[分析](1)(2)中两数同底数，不同真数，可直接利用对数函数的单调性比较大小；(3)中将1化为log0.50.5，(4)中将0化为log21，(5)中将0化为log0.31，(6)中将0化为log31，然后再利用对数函数的单调性比较大小．[解析](1)∵y＝log2x在x∈(0，＋∞)上为增函数，且3.4＜8.5，∴log23.4＜log28.5．(2)∵y＝log0.5x在x∈(0，＋∞)上为减函数，且3.8＞2，∴log0.53.8＜log0.52．(3)∵1＝log0.50.5，∴log0.53＜log0.50.5，∴log0.53＜1．(4)∵0＝log21，∴log20.5＜log21，∴log20.5＜0．(5)∵0＝log0.31，∴log0.30.7＞log0.31，∴log0.30.7＞0．(6)∵0＝log31，∴log34＞log31，∴log34＞0．规律方法：比较对数的大小，主要依据对数函数的单调性．(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以先画出函数的图像，再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1、0等中间量进行比较．对点训练3．(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(D)A．a＞c＞b B．b＞c＞aC．c＞b＞a D．c＞a＞b(2)设a＝logeq\s\do8(\f(1,3))eq\f(1,2)，b＝logeq\s\do8(\f(1,3))eq\f(2,3)，c＝log3eq\f(4,3)，则a、b、c的大小关系是(B)A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．b＜a＜c D．b＜c＜a[解