小学奥数数论知识总结

小学奥数数论专题知识总结

小学数学中，数论问题通常起源于除法算式：被除数♦除

数=商……余数。这里我们将数论基础知识进行总结，包括能

整除和不能整除两个方面。

能整除的问题包括整除、因数与倍数、奇数与偶数、质数

与合数、公因数与公倍数、分解质因数等。不能整除的问题则

包括余数、余数的性质与计算、同余问题和物不知数问题。

先来看因数与倍数。因数与倍数是相互依存的关系，缺一

不可。如果一个整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就

叫做a的因数。如果非零自然数a、b、c之间存在axb=c,或

者c：a=b,那么称a、b是c的因数，c是a、b的倍数。一个

数的因数个数是有限的，最小的因数是1,最大的因数是它本

身。一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有

最大的倍数。另外，一个数的因数中，最小的是1,第二小的

是质数；最大的是它本身，第二大的是原数♦第二小的因数。

完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平

方数。完全平方数的质因数出现次数都是偶数次。在1000以

内，完全平方数的个数是31个，在2000以内是44个，在

3000以内是54个。

数的整除（数的倍数）也是因数与倍数的一种。一般地，

三个整数a、b、c,且b声，如有a：b=c,则我们就说，a能被

b整除，或b能整除a,或a能整除以b。如果一个整数a,除

以一个整数b（bW）,得到一个整数商c,而且没有余数，那

么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。（a>b）整除还

有一些性质，例如如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-

b）也能被c整除；如果a能被b整除，c是整数，那么axe也

能被b整除；如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也

能被c整除；如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最

小公倍数整除。

最后，我们介绍一些常见数的整除特征，包括末位判别法

和截断求和法。例如，2、5的倍数特征是末位上的数字是2、

5的倍数；4、25的倍数特征是末两位上的数字是4、25的倍

数；8、125的倍数特征是末三位上的数字是8、125的倍数。

另外，9（及其因数3）的倍数特征是一位截断求和。

本文介绍了数学中的一些常见知识点和特征。

首先是倍数特征。对于99及其因数3、9、11、33的倍数,

其特征是两位数截断后求和。对于999及其因数3、9、27、

37、111、333的倍数，其特征是三位数截断后求和。对于11

的倍数，其特征是一位数截断后求差；对于101的倍数，其特

征是两位数截断后求差；对于1001及其因数7、11、13、77、

91、143的倍数，其特征是三位数截断后求差。

其次是公倍数法。对于6的倍数，其特征是2和3的公倍

数，先判断是否是2的倍数，再判断是否是3的倍数。对于

12的倍数，其特征是4和3的公倍数，先判断是否是4的倍

数，再判断是否是3的倍数。

然后是奇数和偶数。奇数是不是2的倍数的数，最小的奇

数是1;偶数是2的倍数的数，最小的偶数是2.在连续的偶数

中，奇偶各半；奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶

数，任意多个偶数的和是偶数；两个奇（偶）数的差是偶数，

一个偶数与一个奇数的差是奇数；若a、b为整数，则a+b与

a-b有相同的奇偶性；n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积

是2的倍数，算式中有一个是偶数，则乘积必是偶数；连续的

奇数或偶数差为2.奇偶相加为偶数，奇偶相减的结果为奇数，

奇数和偶数相乘的结果为偶数。

最后是质数和合数。质数只有1和它本身两个因数，合数

除了1和它本身还有其它因数。常见质数特征是2是最小的质

数，4是最小的合数，2是质数中唯一的偶数，也是偶数中唯

一的质数。在100以内，有25个质数：2、3、5、7、11、13、

17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、

73、79、83、89、97.分解质因数时，可以使用唯一分解定理,

将一个大于1的自然数分解成有限个质数的乘积，其中质数是

这个数的质因数。例如，28可以分解为2x2x7或22x7.

通常使用短除法来分解质因数，因为任何一个合数的分解

质因数结果都是唯一的。

如果要求出乘积中末尾的0的个数，只需要知道这些乘数

分解质因数后2和5的个数，不需考虑其他质因数。两个数的

公因数只有1时，它们被称为互质数。常见的互质数包括相邻

自然数、相邻奇数、2与任意奇数、不同的两个质数、1与任

意非零自然数以及当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个

质数互质。

最大公因数是几个数的公有因数中最大的一个，最小公倍

数是几个数的公有倍数中最小的一个，分别用(a,b)和[a,b]

表示。最大公因数有几个性质，如几个数都除以它们的最大公

因数，得到的几个商是互质数。最小公倍数也有几个性质，如

两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

求最大公因数的方法包括列举法、短除法、分解质因数法

和辗转相除法，求最小公倍数的方法包括列举法、短除法和分

解质因数法。分类求最大公因数和最小公倍数可以分为倍数关

系、互质关系和一般关系。

分解质因数可以用来求一个数的因数个数和所有因数的和。

例如，360可以分解为23x32x5,因此它的因数个数为

(3+1)x(2+1)x(1+1)=24个，所有因数的和可以通过分解质因数

后计算得出。

步骤：

1.分解质因数：以180为例，可分解为22x32x5.它的所有

因数之和可用公式(2+2+2)X(3+3+3)(5+5)=7X13X6=546

计算得出。

2.余数性质与同余问题:

1）余数小于除数。

2）若a、b除以c的余数相同，贝U（a-b）或（b-a）可以被c整

除。

3）a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加b除以

c的余数的和除以c的余数。（和的余数=余数的和）

4）a与b的差除以c的余数等于a除以c的余数减b除以

c的余数的差除以c的余数。（差的余数=余数的差）

5）a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以

c的余数的积除以c的余数。（积的余数=余数的积）

3.余数的计算（求余数）：

1）末位判断法适用于2、5、4、25、8、125等数字。

2）数字求和法适用于3、9等数字。各个数位上数字之和

除以3或9的余数=某数除以3或9的余数。

3）截断求和法适用于99、999及其因数。例如，

345+12=357,357<XXX,所以:999余357.

4）截断求差法适用于11、101、1001及其因数7、11、13、

77、91、143.例如，奇数位数字之和3+5+9=位,偶数位数字

之和2+4+6=12,17-12=5,所以XI余5,即三5（modll）。

偶数，则它的十位数字一定是偶数。

4）一个数如果是完全平方数，则它的因数中，每个因数都

有一对相等的因数。

例如，16的因数为1、2、4、8、16,其中

1x16=2x8=4x4=16,都是16的因数对。

完全平方数是指一个数能够表示成某个整数的平方的形式,

例如4、9、16等。它们有一些特征，如末位数字只能是0、1、

4、5、6、9,奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数,

如果十位数字是奇数，则个位数字一定是6,反之亦然。此外,

一个数如果是完全平方数，则它的因数中，每个因数都有一对

相等的因数。

在数论中，还有一些重要的概念和定理，如辗转相除法、

欧几里得算法、费马小定理、同余问题和中国剩余定理等。辗

转相除法是求两个数的最大公约数的一种方法，欧几里得算法

是辗转相除法的一种改进方法，费马小定理是一个关于质数和

整数的定理，同余问题是求除数的问题，中国剩余定理是求被

除数的问题，其中口诀法适用于3、5、7这三个数。

最后，完全平方数和这些概念和定理在数学中有着广泛的

应用，如密码学、编码和计算机科学等领域。掌握它们的概念

和应用，对于我们的数学研究和实际生活都有着重要的意义。

1.完全平方数的特征：

个位数字只能是0.1.456.9；

十位数字一定是奇数；

奇数的平方是8n+l型，偶数的平方是4的倍数；

完全平方数的形式一定是3k或3k+l,4k或4k+l,16m,

16m+1,16m+4,16m+9；

质数p能整除完全平方数a,则p2也能整除a；

一个自然数n是完全平方数的充要条件是n有奇数个因数;

任何四个连续整数的乘积加1