专题11等差数列性质及应用归类（解析版）

专题11等差数列性质及应用归类一、巩固提升练【题型一】等差数列定义【题型二】等差数列“高斯计巧”【题型三】双数列等差中项比值型【题型四】奇数项与偶数项和型【题型五】等差数列单调性与最值【题型六】等差数列正负型不等式判断【题型七】等差数列恒成立求参【题型八】跳项型等差数列【题型九】整数型比值【题型十】范围型【题型十一】绝对值型求和【题型十二】等差数列与三角函数综合二、能力培优练热点好题归纳【题型一】等差数列定义知识点与技巧：等差数列常用结论若{an}为等差数列，公差为d，前n项和为Sn，则有：(1)下标意识：若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an，特别地，若p＋q＝2k，则ap＋aq＝2ak；(2)隔项等差：数列ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列；(3)分段等差：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差为nd的等差数列；(4)数列{eq\f(Sn,n)}是公差为eq\f(d,2)的等差数列，其通项公式eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))；1.（2023·河北唐山·模拟）设甲：为等比数列；乙：为等比数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】A【分析】根据等比数列的概念和充分必要条件的概念即可得到答案.【详解】充分性：若为等比数列，设其公比为，则，所以为等比数列，公比为，满足充分性.必要性：若为等比数列，公比为，则，即，假设为等比数列，此时无解，故不满足必要性.所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选：A2.（2022上·陕西咸阳·高二统考期中）若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（

）A．数列，，，…，…为等差数列B．数列，，，…，，…为等差数列C．数列为等差数列D．数列为等差数列【答案】C【分析】利用等差数列的定义判断即可.【详解】A选项：因为为等差数列，所以设（为常数），又，所以数列也为等差数列，故A正确；B选项：，所以数列为等差数列，故B正确；C选项：，不是常数，故不是等差数列，故C错；D选项：，所以数列为等差数列，故D正确.故选：C.3.（2019·高二课时练习）现有下列命题：①若，则数列是等差数列；②若，则数列是等差数列；③若（b、c是常量），则数列是等差数列．其中真命题有（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】由等差数列的定义即可得出结论.【详解】由，得，满足等差数列的定义，故①正确；，不是常数，不满足等差数列的定义，故②错误；，，，满足等差数列的定义，故③正确.故选：C4.（2022·高二课时练习）若等差数列的公差为d，（c为常数且），则（

）A．数列是公差为d的等差数列B．数列是公差为cd的等差数列C．数列是首项为c的等差数列D．数列不是等差数列【答案】B【分析】根据等差数列的定义，计算，由其结果即可判断出答案.【详解】由题意可知，所以数列是以cd为公差的等差数列，故选:B．5.（2022高二课时练习）下列说法中正确的是（

）A．若a，b，c成等差数列，则成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a+2，b+2，c+2成等差数列，D．若a，b，c成等差数列，则成等差数列【答案】C【分析】选项A、B、D举反例即可判断，选项C可用等差数列的定义判断【详解】对于A选项，成等差数列，但不成等差数列，故A错误；对于B选项，成等差数列，但为不成等差数列，故B错误；对于C选项，由于a，b，c成等差数列，故，则，即a+2，b+2，c+2成等差数列，C正确；对于D选项，成等差数列，但不成等差数列,故D错误故选：C【题型二】等差数列“高斯技巧”知识点与技巧：等差数列下标公式性质，称为“高斯技巧”。若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an，特别地，若p＋q＝2k，则ap＋aq＝2ak；1.（2023春·新疆喀什·高二校考期中）已知等差数列的前n项和，若，则（

）A．150 B．160 C．170 D．180【答案】B【分析】根据等差数列的性质计算出，再利用求和公式变形得到答案.【详解】因为为等差数列，所以，因为，所以，.故选：B2.（2023春·河南新乡·高二校考阶段练习）数列为等差数列，若，则（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】C【分析】根据等差数列的性质即可得出结果.【详解】数列为等差数列，.故选：C.3.（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）等差数列的前项和为，若，则（

）A．18 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】方法1：运用等差数列的前n项和公式与等和性可得结果.方法2：运用等差数列的通项公式与等差数列的前n项和公式的基本量计算可得结果.【详解】方法1：∵为等差数列，∴，∴，∴.方法2：∵为等差数列，∴∴∴.故选：C.4.（2023春·广东深圳·高二校联考期中）若前项和为的等差数列满足，则.【答案】【分析】根据等差数列的下标和性质和求和公式计算即可.【详解】解：由等差数列的性质知因为前项和为的等差数列满足，所以，即，所以，所以.故答案为：5.（2022秋·上海奉贤·高二校考期中）已知平面内有四点，且任意三点不共线，点为平面外一点，数列为等差数列，其前项和为，若，则.【答案】2020【分析】先利用四点共面证明，所以能得到然后利用等差数列的性质即可求解【详解】因为平面内有四点，且任意三点不共线，所以，所以，可整理得，即，易得，因为，所以，即因为为等差数列，所以，故答案为：2020【题型三】双数列等差中项比值型知识点与技巧：双等差数列等差中项比值型性质：、均为等差数列且其前项和为、则1.（2023春·高二课时练习）等差数列和的前项和分别记为与，若，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等差数列的性质，将变形为数列的前n项和的比的形式，即可求得答案.【详解】和为等差数列，故a3故选：D.2.（2022秋·宁夏银川·高二校考期中）已知分别是等差数列与的前项和，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差数列的性质可得：，将所求的式子化简，再利用等差数列前项和即可求解.【详解】因为数列是等差数列，所以，所以，又因为分别是等差数列与的前项和，且，所以,故选：.3.（2022春·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质计算作答.【详解】两个等差数列和的前项和分别为、，且，所以.故选：A4.（2022·高二课时练习）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质、前n项和公式推理计算作答.【详解】两等差数列，，前n项和分别是，，满足，所以.故选：B5.（2021秋·河南驻马店·高二校联考期中）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则（）A． B． C． D．15【答案】B【分析】利用等差数列的性质以及前项和公式，逆向构造得，从而求出其比值.【详解】因为,故答案选.【题型四】奇数项与偶数项和型知识点与技巧：含项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为1.（2023春·高二课时练习）已知等差数列共有99项，其中奇数项之和为300，则偶数项之和为（

）A．300 B．298 C．296 D．294【答案】D【分析】由奇数项之和可求得，利用等差数列奇数项和与偶数项和的关系可构造方程求得结果.【详解】由题意得：，，又，.故选：.2.（2021春·上海黄浦·高一上海市大同中学阶段练习）已知某数列前项之和为，且前个偶数列的和为，则前个奇数项的和为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先计算数列前项之和为，减去前个偶数列的和得到答案.【详解】数列前项之和为，故数列前项之和为，前个偶数列的和为则前个奇数项的和为故选：3.（2022·陕西·高二练习）等差数列共有项，其中，所有奇数项之和为310，所有偶数项之和为300.则的值为.A．30 B．31 C．60 D．61【答案】A【详解】因为是等差数列，且所以，两式相除得.故答案为A4.（2023·全国·高二专题练习）等差数列共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由奇数项和与偶数项和的差可求得，由可构造方程求得的值.【详解】，，，，解得：.故选：D.5.（2022·高二课时练习）等差数列共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，则的值是A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：，，又，，所以，，故选A．考点：等差数列的性质．【题型五】等差数列单调性与最值知识点与技巧：在处理等差数列的前项和的最值，从以下几方面思考：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n项和(A、B为常数)看作关于项数n的二次函数，根据二次函数的性质求最值．1.（2023·全国·高二专题练习）设等差数列的前n项和为，若，，，则当满足成立时，n的最小值为.【答案】31【分析】根据给定条件，分析等差数列的单调性，结合前n项和公式即可求出的n的最小值.【详解】等差数列的前n项和为，，由得：，即，数列的公差，因此，数列是首项为正的递减数列，又，则当时，，而，因此，当时，，所以当满足成立时，n的最小值为31.故答案为：312.（2023秋·高二课时练习）已知等差数列的前项和能取到最大值，且满足：，对于以下几个结论：①数列是递减数列；②数列是递减数列；③数列的最大项是；④数列的最小的正数是．其中正确的序号是．【答案】①③④【分析】结合题意，数列是递减数列，且，，开口向下，数列先增后减，再根据，得，，故数列的最大项是，最后根据，判断④.【详解】解：等差数列的前项和能取到最大值，数列是递减数列，且，故①正确；，，数列先增后减，故②错误；由，，得，，数列的最大项是，故③正确；由，，得数列的最小的正数是，故④正确．正确的序号是①③④．故答案为：①③④．3.（2022·全国·高二专题练习）等差数列满足：，则其公差的取值范围为.【答案】【分析】由题意知，等差数列中的项一定有正有负，分成首项大于零和小于零两种情况进行讨论，结合已知条件，可知或，从而可求出公差的取值范围.【详解】解：由题意知，等差数列中的项一定有正有负，当时，由，则，由，则，所以，所以，即；当时，同理可求出，综上所述，公差的取值范围为.故答案为:.4.（2020·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考一模）已知下列四个命题：（1）等差数列一定是单调数列（2）等差数列的前项和构成的数列一定不是单调数列（3）已知等比数列的公比为，若,则数列是单调递增数列（4）记等差数列的前项和为，若，则数列的最大值一定在处取到.其中错误的有（填写所有错误的命题的序号）【答案】(1)(2)(3)【解析】根据等差数列与等比数列的通项公式与性质逐个举出反例，或直接推导判定即可.【详解】(1)当等差数列公差时数列不为单调数列，故(1)错误.(2)如等差数列，则前项和，为单调数列.故(2)错误.(3)当数列首项为，公比为2时，数列为为单调递减数列.故(3)错误.(4)，故，.故，.故数列为单调递减的数列，且的最大值在处取到.故(4)正确.综上，(1)(2)(3)错误.故答案为：(1)(2)(3)5.（2023·全国·高二专题练习）设公差为的等差数列的前项和为，若，，则当取最大值时，的值为.【答案】9【详解】试题分析：因为等差数列的公差满足，所以是递减数列.又.为负数.,即,.,,.即时，；，.所以当时，取最大值.【题型六】等差数列正负型不等式判断知识点与技巧：在处理等差数列的前项和的最值时，往往转化为判定的符号变化：①若，当时，则当且仅当最大；②若，当时，则当且仅当最小；③若最大，则.1.（2023秋·新疆喀什·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（

）A． B．C．数列是递增数列 D．【答案】B【分析】根据，即可得，从而可判断A；根据等差数列及等差数列前项和公式即可判断BD；根据，判断出公差的符号，即可判断C.【详解】因为，所以，故A错误；由等差数列，可得，所以，即，故B正确；因为，所以，所以等差数列的公差，所以数列是递减数列，故C错误；因为，所以，故D错误.故选：B.2.（2022·高二课时练习）已知等差数列的前项和为，若，，下列为真命题的序号为（

）①；②；③；④．A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】由，，可得，即，，再根据等差数列的性质及基本量的运算可求解.【详解】由，可得，即，，故可得等差数列的公差，选项③正确；把已知的两式相加可得整理可得结合上面的判断可知故有，，故选项②正确；由于，，则，故选项①错误；由公差可得，结合等差数列的列的性质，可得，从而可得，故，即选项④错误．故选：B．3.（2023·高二课时练习）等差数列的前项和为，若，，，则下列结论错误的是（

）A． B．C．数列是递减数列 D．【答案】D【分析】由，结合可判断选项A;由等差数列的前项和可得，，结合选项A中得出的结论可判断选项B；由，，可得，，从而，可判断选项C；由可判断选项D.【详解】由，则，即，又，故A正确；，，则，故，B正确；由，，即，所以，数列是递减数列，故C正确；，D错误.故选：D4.（2023·全国·高二专题练习）已知数列为等差数列，公差为d，为其前n项和，若满足，给出下列说法：①；②；③；④当且仅当时，取得最大值．其中正确说法的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由题可得，，然后结合条件及求和公式逐项分析即得.【详解】由，有，故②正确；又，则，从而，即，所以，故①正确；因为，所以，故④错误；因为，所以，故③错误；所以正确说法的个数为2.故选：B．5.（2023·全国·高二专题练习）设等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定的两个等式，构造函数，再利用函数性质确定与的关系即可求解作答.【详解】令函数，，，则是R上的单调递增的奇函数，由得，由得，于是得，且，即，且，所以等差数列前项，且.故选：C【题型七】等差数列恒成立求参1.已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则整数的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由求得，再由得出数列是等差数列，求得，用分离参数法变形不等式，即可得解．【详解】当时，，得，当时，，即，所以．又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，，即．，所以不等式等价于．当时，，当时，，记，，所以时，，即，递减，时，，所以的最大项是，所以，所以整数的最大值为3．故选：B2.设等差数列的前n项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使．则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据等差数列的前项和公式得到，令，化简得到，又因为，所以，得，再利用等差数列前项和公式得到，利用二次函数的性质即可得到答案.【详解】由题意得则得，即，令得，即①，即得.因为首项，公差，则得，即.又因为，所以，代入①得.当时，由得即，所以即因此当或11时，的最小值为.故选：C3.首项为正数的递减等差数列的前项和为，且对任意项序数，总存在正整数，满足，则的最小值为______．【答案】【分析】首先利用前项和公式，将条件变形为，并由条件可知，并且时，由，得，推理得到，计算求得，再代入，利用二次函数求最值.【详解】由题意知，，，则，当时，∴，当时，，，，又，，则，则，∴，∴，∴，∴，∴，∴或时取最小值为．故答案为：4.已知正项数列满足，且，其中为数列的前项和，若实数使得不等式恒成立，则实数的最大值是________.【答案】9【解析】由题意可得数列为等差数列，由可得的表达式，由分离参数可得，设利用其单调性可得的最大值.【详解】解：依题意，数列为等差数列，因为，即，即，因为，即，因为在时单调递增，其最小值为9，所以，故实数的最大值为9.5.已知是首项不为零的等差数列，若是与无关的常数，则______.【答案】或【分析】根据等差数列前项和公式，结合列式，分类讨论求得常数的值.【详解】由于是首项不为零的等差数列，若是与无关的常数，所以，即，即，对于任意的恒成立，故①，且②.由①得或.当时，成立.由②得或.当时，，当时，，代入①得，此时成立.综上所述，或.故答案为或.【题型八】跳项型等差数列1..知数列满足,,记,则数列的前n项和为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意求出的通项公式进而求出的通项公式,判断数列的类型，求出前n项和.【详解】解:由题知,是以1为首项,1为公差的等差数列,,故,,所以是以1为首项,2为公差的等差数列,记的前n项和为,.故选:A2.已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有200项，则它们的公共项的个数有________．【答案】50【详解】设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，则a1＝11.∵数列5，8，11，…与3，7，11，…的公差分别为3和4，∴{an}的公差d＝3×4＝12，∴an＝11＋12(n－1)＝12n－1.又5，8，11，…与3，7，11，…的第200项分别为602和799，∴an＝12n－1≤602，即n≤50.25.又n∈N*，∴两数列有50个相同的项．3.等差数列中，，，则其公差的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列通项公式将化简即可得到公差【详解】故选：B4.将数列与的公共项从小到大排列得数列，则______.【答案】【解析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】解:因为数列是以3为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以4为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以5为首项，以4为公差的等差数列，所以的通项公式为，故答案为：.5.已知数列对任意的有，若,则_______.【答案】【分析】先证明数列是等差数列，再利用等差数列的通项公式求解.【详解】令,则可知∴为等差数列，首项和公差均为2.∴，∴故答案为4038【题型九】整数型比值1.已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则使得为整数的正整数n的个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据给定条件结合等差数列性质及前n项和公式，将用n表示出即可作答.【详解】依题意，，又=，于是得，因此，要为整数，当且仅当是正整数，而，则是32的大于1的约数，又32的非1的正约数有2，4，8，16，32五个，则n的值有1，3，7，15，31五个，所以使得为整数的正整数n的个数为5.故选：B2.已知等差数列和的前n项和分别为和，若，则使得为整数的正整数n共有（

）个A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】由等差数列的形式和条件可设，，再代入等差数列的前项和公式表示，再求满足条件的正整数的个数.【详解】，设，，则，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，则满足条件的的值有6个.故选：D3.已知两个等差数列，的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由等差数列的性质推导出,即可得到,分析求解即可【详解】由题,,所以若为整数,则是的因数,即可取2,3,4,6,12,则为1,2,3,4,11,共有5个,故选:C4.已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的个数是A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】计算得到，故，，得到整数，得到答案.【详解】.故当，，时，是整数.故选：.5.已知等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】根据等差数列的性质和前n项和公式，可得，要使得为正整数，求得的取值个数，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据等差数列的性质和前n项和公式，可得，要使得为正整数，则或，所以要使得为正整数的正整数n的个数为2个，故选A．【题型十】范围型1.在等差数列中，，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题设可得关于的不等式，从而可求的取值范围.【详解】设公差为，因为，，所以，即，从而.故选：A.2.如果a1，a2，，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据等差数列的基本量，通过作差比较的大小即可.【详解】因为是公差的等差数列，则，则.故选：B.3.已知等差数列满足，若，则k的最大值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】设等差数列公差为，由题意可得，从而建立关于的不等式，求解不等式即可得答案.【详解】解：设等差数列公差为，由，且，得，即，当时，，当时，由，得，所以，所以，即，解得，所以k的最大值是9.故选：B.4.已知等差数列满足，，，若对任意正整数，恒有，则正整数的值是（

）A．6 B．5 C．4 D．7【答案】A【分析】利用等差性质研究数列项的变化，从而可得结果.【详解】由等差数列满足，，可知，即，且，，公差，∴又，∴当时，最大，∴正整数的值是.故选：A5.若是等差数列，首项，则使成立的最大自然数n是.A．20 B．37 C．38 D．40【答案】C【分析】由首项，结合非常数的等差数列的单调性，可以判断出的正负性，由的正负性，结合就可以判断出使成立的最大自然数n.【详解】因为，说明互为异号，而非常数等差数列是单调数列，而所以，由，由，因此使成立的最大自然数n是38，故本题选C.【题型十一】绝对值型求和1.已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋＋|a6|＝（

）A．9 B．15 C．18 D．30【答案】C【分析】根据定义知数列{an}为等差数列，求出等差数列的通项公式后得到前项代入即可求得结果.【详解】因为an＋1－an＝2，所以{an}是以2为公差的等差数列，又a1＝－5，所以，所以，，，，，所以|a1|＋|a2|＋＋|a6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.故选：C.2.设等差数列的通项公式为，且，则正整数m的最大值是A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据题目所给含有绝对值的式子分析可知绝对值等于本身，故，即，由此得到最大的的值.【详解】根据题意可知，是非负数，故，故的最大值为.所以选.【点睛】本题主要考查对题目所给还有绝对值的式子进行分析，得到关键点是数列中为非负数的项.根据数列的通项公式可求得的最大值.3.已知数列的通项公式为，，则其前项的和为______.【答案】【分析】利用分组求和直接计算.【详解】由，当时，，当时，，所以，故答案为：.4.已知等差数列满足：，则正整数的最大值为________【答案】62【分析】设，等差数列的公差为，不妨设，则，且，即，根据，得到即有，再根据等差数列的前n项和公式，求得，从而得出，即可求解.【详解】解：由题意知：等差数列满足，故等差数列不是常数列，且中的项一定满足或，且项数为偶数，设，等差数列的公差为，不妨设，则，且，即，由，则，即，即有，则，可得，解得，即有的最大值为，的最大值为.故答案为：.5.等差数列，满足，则（）A．的最大值为50 B．的最小值为50C．的最大值为51 D．的最小值为51【答案】A【分析】首先数列中的项一定满足既有正项，又有负项，不妨设，由此判断出数列为偶数项，利用配凑法和关系式的变换求出的最大值.【详解】为等差数列，则使，所以数列中的项一定有正有负，不妨设，因为为定值，故设，且，解得.若且，则，同理若，则.所以，所以数列的项数为，所以，由于，所以，解得，故，故选A.【题型十二】等差数列与三角函数综合1..设等差数列满足：，公差.若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用公式对式子化简，再借助函数来处理.【详解】由，得，由积化和差公式，得，整理，得，所以，因为公差，所以，则.所以，设，其图像的对称轴方程为.由题意，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，所以，解得.则首项的取值范围是.故B，C，D错误.故选：A.2.已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前项和为（）A．2017 B．﹣2017 C．0 D．1【答案】A【分析】利用等差数列的概念与性质以及正、余弦函数的诱导公式、对称性进行求解.【详解】∵，∴数列是等差数列，∵，∴，∵函数，∴，，∵，利用诱导公式知，，所以，同理，，…所以数列的前2017项和为：2×1008+1=2017，故B，C，D错误.故选：A．3..数列满足，则数列的前100项和为__________．【答案】2550【分析】利用前项和的周期规律求和可得答案.【详解】由，可得当时，，当时，，当时，，当时，，所以，，，，，，；同理可得；∴数列的前100项满足是以14为首项，8为公差的等差数列，则数列的前100项和为.故答案为：2550.4.等差数列的前项和为，且，，则________.【答案】2016【分析】利用诱导公式求出和，构造函数，利用函数的奇偶性和单调性找到和的关系，从而利用等差数列的性质求出.【详解】，又为单调递增的奇函数，所以，即，故答案为：2016.5.设数列是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的总有两个不同的根，则数列的通项公式为_________.【答案】【详解】试题分析：当时，又对任意的总有两个不同的根，又∵对任意的总有两个不同的根，又∵对任意的总有两个不同的根，.由此可得培优练1.．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C2.（2016·山西·统考二模）等差数列的前项和为，且，，则.【答案】2016【分析】利用诱导公式求出和，构造函数，利用函数的奇偶性和单调性找到和的关系，从而利用等差数列的性质求出.【详解】，又为单调递增的奇函数，所以，即，故答案为：2016.3.（2022·全国·高二假期作业）设是等差数列的前项和，若，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】利用等差数列下标和性质可得，进而求得结果.【详解】由是等差数列的前项和，.故选：D.4.（2011春·江西吉安·高一阶段练习）等差数列共有项，其中所有奇数项之和为310，所有偶数项之和为300，则的值为（）A．30 B．31 C．60 D．61【答案】A【分析】由奇数项之和为310，偶数项之和为300，利用等差数列求和公式，结合等差数列的性质，列方程求解即可.【详解】由题意可得：等差数列共有项，它的奇数项构成了一个新的等差数列，项数为，偶数项也构成了一个新的等差数列，项数为，由等差数列求和公式，奇数项和为，(1)偶数项和为，(2)由等差数列的性质可得：，可得：，解得：，故选A.5.（2021·高二课时练习）已知{an}是等差数列，d为其公差，Sn是其前n项和，若只有S4是{Sn}中的最小项，则可得出的结论中正确的是．①d>0

②a4<0

③a5>0

④S7<0

⑤S8>0【答案】①②③④【分析】结合等差数列的性质以及前n项和公式逐个分析即可得出结论.【详解】由已知条件得a5>0，a4<0，则d>0，故①②③正确．因为S7＝＝7a4<0，故④正确．S8＝＝4(a4＋a5)无法判断其正负，故⑤错误．综上