复变函数第一章讲义

引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月。复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。1545年意大利数学物理学家在所著《重要的艺术》一书中列出并解出将分成两部分，使其积为的问题，即求方程的根。他求出形式的根为和，积为。但由于这只是单纯从形式上推广而引进，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的。因而复数在历史上长期不能为人们所接受。“虚数”这一名词就恰好反映了这一点。直到十八世纪，，等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人们缍接受并理解了复数。复数函数和理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕、和三人的工作进行的。到本世纪，复数函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它学科及数学的其它分支中，复数函数论都有着重要应用。第一章复数与复变函数教学重点：复变函数的极限和连续性教学难点：复平面上点集的个概念教学基本要求：1、了解复数定义及其几何意义，熟练掌握复数运算2、知道无穷远点邻域3、了解单连通区域与复连通区域4、理解复变函数、极限与连续§1复数1、复数域形如或的数，称为复数，其中和均是实数，分别称为的实部和虚部，记作，；称为虚单位。两个复数，，.虚部为零的复数可看作实数。因此，全体实数是全体复数的一部分。和称为互为共轭复数，记为或.复数四则运算规定为：易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律。全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的。2、复平面一个复数实际上是由一对有序实数唯一确定，因此，若平面上的点与复数对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系。由于轴上的点和轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称轴为实轴，轴为虚轴，这样表示复数的平面称为复平面或平面。3、复数的模与幅角由图1-1中可以知道，与从原点到点所引的向量也构成一一对应关系。从而，我们能够借助于的极坐标和来确定点，的长度称为复数的模，记为根据向量的运算及几何知识，得到两个重要的不等式：与实轴正向间的夹角满足称为的幅角（），记作，任一非复数均有无穷多个幅角，以表示其中一个特定值，并称满足条件的一个值为的主值或的主幅角，则有注：当时，，幅角无意义从直角坐标与极坐标关系有（三角形式）（1）若引进著名的公式：，则（1）可化为（指数形式）（2），由（2）及指数函数性质即可推得,因此，，,特别地，当时，有，当时，有（公式）例1.1求及用与表示的式子。4、曲线的复数方程例1.2连接及两点的线段的参数方程为：连接及两点的直线的参数方程为：例1.3平面上以原点心，为半径的圆周的方程为，平面上以为心，为半径的圆周的方程为例1.4平面上实轴的方程为虚轴的方程为§2复平面上的点集1、几个基本概念定义1.1满足不等式的所有点组成的平面点集称为的-邻域，记为.定义1.2设为一平面点集，若点的任意邻域内均有的无穷多个点，则称为的聚点；若使得则称为的内点。定义1.3若上的每个聚点都属于，则称为闭集；若的所有点均为内点，则称为开集。定义1.4若，均有，则称为有界集，否则称为无界集。2、区域与曲线定义1.5若非空点集满足下列两个条件：（1）为开集（2）中任意两点均可用全在中的折线连接起来，则称为区域。得也是一条射线.且与射线L重合。

(3)设.因，故，因故u=4，又当Z在双曲线上变动时在（-∞，+∞）上变动。因此.Z的象是这样的点：其实部U恒为4.其实部∈（-∞，+∞），因此满足上述条件的点所成立之集是平行于虚轴的一条直线U=4。2.复变函数的极限与连续性定义1.16设于点集上有定义，为的聚点。如果存在一复数，使对任给的，有，只要,。就有则称函数沿于有极限。并记为。注极限与趋于的方式无关。即要沿从四面八方通向的任何路径趋于。这是与实函数的极限的不同之处。

下述定理给出了复变函数极限与其实部和虚部极限的关系

定理1.2设函数于点集上有定义，，则

的充要条件是

证由极限定义易证。

下面再引入复变函数连续性的概念，其定义与实函数的连续性是相似的。

定义1.17设子点集上有定义，为的聚点，且。若

即对任给的，只要，，就有

则称沿于连续。

定理1.3设函数于点集上有定义，，则沿在点连续的充要条件是：二元实变函数，沿于点连续。

上述定理告诉我们：判断复变函数是否连续，只需看其实部、虚部是否连续。例设试证在原点无极限，从而在原点不连续。

证令变点，则

从而（沿正实轴）而沿第一象限的平分角线，时，。故在原点无确定的极限，从而在原点不连续。例试证不存在。证设，则，于是显然，k取不同值时，值也不同，故极限不存在。定义1.18如函数在点集上各点均连续，则称在上连续。例设在点连续，且，则在点的某以邻域内恒不为0.

证因在点连续，则，只要，就有特别，取，则由上面的不等式得

因此，在邻域内就恒不为0。在数学分析中，闭区间上的连续函数有三个重要性质：有界性、达到最值及一致连续性，对复变函数也有类似性质。定理1.4聚点定理：每一个有界无穷点集至少有一个聚点。定理1.5闭集套定理：无穷闭集列至少有一个为有界且是的直径,则必有唯一的一点。定理1.6覆盖定理：设有界闭集的每一点