新课标高中数学基础知识求数列通项公式常用方法

新课标高中数学基础知识求数列通项公式常用方法云南昭通昭翼培训学校陈培泽掌握求数列通项公式的常用方法，是学习好数列这章知识的关键，高中新课标要求必须掌握的方法有哪些呢？观察-猜想-验证法：例.观察数列，写出它们的一个通项公式，（1）（2）（3）解：（1）观察分子：可以用表示；再观察分母：可以用表示，这样数列通项就可以表示为：，最后逐项验证，都成立，就完成了。(2)一下观察不出规律，先把系数和分式分开，系数为；再观察分式：也难观察出规律，估计是约掉了公因数，把每一项表示成分数，再把分子分母同乘以2或3，…等，并且容易看出要使分子，分母，逐项增大，再进行观察：，这时容易得出结论了，.（3）变形为：，再变形为：再变形为：，所以.小结：(1)并不是每一个数列都可以写出它的通项公式，例如：的不足近似值构成的数列。(2)数列即使有通项公式，通项公式也并不唯一，例如：；，都是这个数列的通项公式。2.已知是等差或等比数列，求例（1）已知数列是等差数列，公差,为数列前n项和，满足，求通项公式.解：数列是等差数列，满足，令.令，，或或.或或.(2)已知等比数列满足求数列的通项公式。解：设数列首项为，公比为q,，，代入解得或，或，或.小结：在已知数列是等差或等比数列的情况下，一般用前三项建立方程，就可求得通项，要防止小题大做。求递推数列通项公式，常见题型和方法有：3.形如：，用累加法：例：数列，，求通项公式.解：，用用累加法：=.小结：注意在变形题中，使用累加法，例如：题型，两边取对数，得：，就可以使用累加法了。练习：（1）已知数列满足：，，求.（2）已知数列中，，，求数列的通项公式.4．形如：用累乘法：例：已知数列满足：，，求.解：设，则，两式相减，得：，即：，.小结：累乘法和累加法都是新课标中要求掌握的重要方法，要熟悉其变形题，,，等。练习：（1）已知数列满足：，求通项公式.（2）已知数列满足：，求通项公式.5.形如：（其中p，q均为常数，）用待定系数法;设，即：，比较，得：.例：（1）已知数列满足：，，求通项公式.解：，，是首项为，公比的等比数列，.练习：在数列中，若，则该数列的通项_______________6.形如：（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）设，比较：，.例：（1）已知数列中，,，求.解：设，，，比较得：，是首项为，公比为的等比数列。所以数列通项公式为：.（2）已知数列中，，，求.解：因，由公式，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以通项为.小结：（1）符合题型时直接代公式，是变形题时用待定系数法。（2）用构造法：例：已知数列中，，求.解：两边同除以，整理得：是首项为，公比为的等比数列，，.练习：（1）已知数列中，，求.（建议用不同方法解同一题，学习效果会更佳。）(2)若已知数列中,，求7.递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型用与消去或用代入，求出，再求.例：(1)已知数列前n项和，，求.解：，，后式减前式，得：，，是首项为，公比为的等比数列。.(2)已知是数列的前n项和，，求解：时有：，.，又是公差为2，第二项为3的等差数列，，，代入，化简，得：，.小结：只有时才成立，若从第二项起是等差数列，用是等比数列用求（）再验证是否成立，若成立，写出通项；若不成立就用分段式表示。练习：已知是数列的前n项和，，求.8.形如：式，两边同乘以—转换方法解：对：两边同乘以，移项，得：，数列是公差为，首项为的等差数列。，取倒数，有：.例：已知数列，求数列的通项公式。解：本题可仿照上边方式推出结果，也可以利用公式，代入，得：.小结：（！）题型可以变换，例如：，只是形式上不同，实质一样，只需等式两边取倒数就行了。一般以分式形式出现的变式，都是本题类型，大家不妨推导出通项公式。9.形如类型：举例说明，已知数列，，，求数列的通项公式.解：，令：(1)(2)(3)由（2）—（1），得：，数列的奇数项构成公差是3，首项是1的等差数列，.由（3）—（2），得：，数列的偶数项构成公差是3，首项是3的等差数列，.10.通过求数列周期和运用数学归纳法求通项：对于某些数列不易直接求出通项时，可以先求出，看是不是存在周期，如果存在就可以求出，如果不存在，再归纳出，最后用数学归纳法证明。例：(1)已知数列满足，求，解：存在周期，,.(2)已知数列，，，求数列的通项公式.解：猜想：现在用数学归纳法予以证明。当时，左边=右边=2，结论成立。当时，假设结论成立，当时，，结论也成立。由1），2）知：时：.小结：（1）这类题是用从特殊到一般的方法处理，若是周期