高一数学专题讲座

高一数学专题讲座函数的图像变换及应用主讲人王德生一、根本内容：函数的图像是函数关系的一种表示方法，它能把函数的三要素〔定义域、值域、对应法那么〕全面直观的反响出来，是研究函数性质的重要工具。中学阶段要掌握的主要是正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数〔初中接触过〕；指数函数、对数函数、幂函数〔还有以后的三角函数〕是高中阶段的重要函数，可以这样说，函数是贯穿整个高中数学的重要内容。二、根本要求〔1〕会作出根本函数的图像，能利用函数图像的变换方法作出较复杂的函数图像；(2)能用函数图像研究函数的性质；〔3〕能用数形结合的思想以函数图形辅助解题。三、作函数图像时需要注意以下几点：1〕画函数的图像不仅要依据函数的解析式，而且还必须考虑函数的定义域。〔2〕根据函数图像的定义，点集

在坐标系中一一描出，就是函数的图像。因此，从理论上讲，用描点法总能作出函数的图像，但是如果不了解函数本身的特点，就无法了解函数图像的特点。如二次函数的图像是抛物线，如不知道抛物线的顶点坐标和对称轴，盲目的列表描点是很难将图像的特征描绘出来的。所以，画函数图像时要标出图像的关键点。如：顶点，无定义的空点，图像与坐标轴的交点。有的还需标出关键线。如：对称轴、渐近线等等

。四、函数图象的平移变换①函数y=f(x+a)〔a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿x轴向左平移a个单位得到的。②函数y=f(x-a)(a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿x轴向右平移a个单位得到的。③函数y=f(x)+a(a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿y轴向上平移a个单位得到的；④函数y=f(x)-a(a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿y轴向下平移a个单位得到的.五、函数图像的对称变换。①函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图像关于y轴对称；②函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图像关于x轴对称；③函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图像关于原点对称；④函数y=f(x)与它的反函数y=f-1(x)关于直线y=x对称；⑤函数y=f(|x|)的图象可以通过作函数y=f(x)在y轴右方的图象及其与y轴对称的y轴左方的图形而得到．⑥y=|f(x)|的图象先保存原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到.六、典例解析函数的图像是把y=x2的图像先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的抛物线的一局部.如图1所示解：(1)配方得:，〔2〕当x≥1时，lgx≥0，y=10lgx=x；当0<x<1时这是一个分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出，如图2所示

所以：解：先作出函数f(x)的图像，如图3例2.试作出以下函数的图像：〔1〕〔2〕〔3〕的图像是把函数f(x)的图像作出，再把X轴下方的局部翻折到X轴上方，X轴上方的局部不变，如图6所示.解：〔1〕f(-x)的图像和f(x)的图像关于Y轴对称，如图4所示；〔2〕首先作出函数f(x)在y轴右侧的图像，再将这局部图像以Y轴为对称轴翻折到y轴左侧，左右合并即得的图像，如图5所示分析：由f(x＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x＋199)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的，的图像与f(x)的图像关于直线y=x对称,h(x)的图像由g(x)的图像向右平移1个单位得到，那么h(x)为__________解：因为g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y=x对称，所以g(x)=所以那么函数f(x)的最小值为____例4〔1〕求得f(x)的最小值即f(x＋199)的最小值是2．(2)要得到y=lg(3-x)的图像，只需作y=lgx关于＿

对称的图像，再向

平移3个单位即可.解：先作出函数y=f(x)的图像，再作它关于y轴的对称曲线得y=lg(-x)的图像，再把y=lg(-x)的图像向右平移3个单位得到y=lg(-(x-3))的图像，即得函数y=lg(3-x)的图像.〔3〕f(x)=xlg(x+2)-1的图像与x轴交点有＿个.

解：令f(x)=0,得xlg(x+2)-1=0,即lg(x+2)=,在同一坐标系中画出方程左右两边两个函数的图像，有两个交点.所以函数图像与x轴有两个交点.如图7.例5.将函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线y=x对称,那么〔〕解：函数

的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得函数为它与原函数图象关于直线y=x对称，是原函数的反函数，而原函数的反函数为所以有a-2=-a,所以a=1.又b=0时原函数没有反函数，应选(C).这个函数与函数是同一函数，例6己知函数假设的图像是,它关于直线y=x对称的图像是C2,C2关于原点对称的图像是C3,那么图像C3的函数解析式为＿解：C1的解析式是C1的反函数为C2：所以C3对应的解析式为例7函数图象与关于直线对称，且图象关于点〔2，－3〕对称，那么a的值为______解：的反函数

是:：，因为这个函数的对称中心为〔2，-3〕，所以a=2.例8K为何值时，方程无解？有一解？有两解？解：将函数的图像作出，然后向下平移一个单位，再把所得的图像位于x轴下方的局部以x轴为对称轴翻折到x轴的上方，X轴上方的局部不变，如图8所示当k<0时，方程无解；0<k<1时，方程有两解；当k=0或k≥1时，方程有唯一解.高中数学对函数的研究理论性加强了，函数的概念也比初中时抽象了，要想全面理解和掌握函数的性质，必须借助函数图像，利用数形结合的思想方法解决函数问题，培养和训练自己的分析问题解决问题的能力；