中考数学10道必考典型压轴题详解

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中考数学10道必考典型压轴题详解

一、动点型问题：

例1.(基础题)如图，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴从左至右分别交于A、

B两点，与y轴交于C点,顶点为D.

(1)求与直线BC平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式；

(2)若线段AD上有一动点E,过E作平行于y轴的直线右抛赳在干F当错

段EF取得最大值时，求点E的坐标.、|/

变式练习：(2012•杭州模拟)如图，已知抛物线y=a(x-1)2+W5(a#0)经

过点A(-2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OMHAD.过顶点D平行

于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上，连接BC.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若动点P从点O出发，以每秒I个长度单位的速度沿射线OM运动，设

点P运动的时间为t(s).问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边

形？直角梯形？等腰梯形？

(3)若OC=OB,动点P和动点Q分别从点。和点B同时出发，分别以每秒

I个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动,当其中一个点停止运动

时另一个点也随之停止运动设它们运动的时间为t(s),连接PQ,当t为何值

时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值.

（4）在（3）中当t为何值时，以。，P,Q为顶点的三角形与±OAD相仞?

（直接写出答案）

苏州中考题：（2015年•苏州）如图，在矩形4比。中，AD=acm,AB=bcm

（a>6>4）,半径为2s的。。在矩形内且与AB.4。均相切.现有动点P

从4点出发，在矩形边上沿着4一的方向匀速移动，当点"到达。点

时停止移动；0。在矩形内部沿4。向右匀速平移，移动到与。相切时立即沿

原路按原速返回，当。。回到出发时的位置（即再次与48相切）时停止移动.已

知点P与。。同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）.

（1）如图①,点P尿AB-C-D,全程共移动了―6（用含a、6的代

数式表示）；

（2）如图①,已知点户从4点出发，移动25到达8点，继续移动3s,到达

8c的中点.若点P与。。的移动速度相等,求在这5$时间内圆心。移动的距

/

2

（3）如图②，已知a=20,b=10.是否存在如下情形：当。。到达。a的位

置时（此时圆心Q在矩形对角线BD上）,OP与。Q恰好相切？请说明理由.

二、几何图形的变换（平移、旋转、翻折）

例2.（辽宁省铁岭市）如图所示,已知在直角梯形048C中，AB\\OC.BC1.

*轴于点C,4（1,8（3,1）.动点户从。点出发，沿*轴正方向以每

秒1个单位长度的速度移动.过户点作PQ垂直于直线OA,垂足为Q.设夕

点移动的时间为f秒（0<r<4）,0PQ与直角梯形O48U重叠部分的面积为

S.

（1）求经过a48三点的抛物线解析式；

（2）求5与t的函数关系式；

（3）将，8Q绕着点"顺时针旋转90。，是否存在f,使得-。门Q的顶点。或

Q在抛物线上?若存在，直接写出，的值；若不存在，请说明理由.

3

变式练习：如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=3x+m与x轴、y

4

2

轴分别交于点A和点B(0,-1),抛物线：/=Ax+bx+,:经过点B,且与直线I

另一个交点为C(4,n).

图1图2

(1)求n的值和抛物线的解析式；

(2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(0vt<4).DEliy轴交直线I于

点E,点F在直线I上，且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周

长为P,求P与t的函数关系式以及p的最大值；

(3加是平面内一点［酎AOB绕点M沿逆时针方向旋转90。后得到,

点A、O、B的对应点分别是点Ai*Oi.Bi.若AiOiBi的两个顶点恰好落在

抛物线上，请直接写出点Ai的横坐标.

苏州中考题：(2014-2015学年第一学期期末•高新区)如图1,在平面直角坐

标系xOy中，直线/:y=：x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,-1),

抛物线y=；x2+bx+c经过点B,且与直线/的另一个交点为C(4,n).

(1)求n的值和抛物线的解析式；

(2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(0<t<4).DEIIy轴交直线/于点

E,点F在直线/上,且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为

P,求P与t的函数关系式以及p的最大值；

(3)将'AOB在平面内经过一定的平移得到AiOaBi,点A、。、B的对应点

分别是点Ai、Oi、B「若，AOiBi的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出

点A1的横坐标为.

三、相似与三角函数问题

例3.(四川省遂宁市)如图，二次函数的图象经过点"0,1石),且顶点U的

横坐标为4,该图象在X轴上截得的线段48的长为6.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+户。最小，求出点"的坐标；

(3)在抛物线上是否存在点Q,使Q48与48c相似？如果存在，求出点Q

的坐标；如果不存在，请说明理由.

变式练习：如图1,直角梯形OABC中，BCuOA,0A=6,BC=2,zBAO=454.

（l）OC的长为;

（2）D是OA上一点，以BD为直径作。M,OM交AB于点Q.当0M与y

轴相切时，sinzBOQ=;

（3）如图2,动点P以每秒1个单位长度的速度，从点。沿线段0A向点A

运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B-C-O向点。运动.当点

P到达点A时，两点同时停止运动.过点P作直线PEllOC,与折线O-B-A

交于点E.设点P运动的时间为t（秒）.求当以B、D、E为顶点的三角形是直

角三角形时点E的坐标.

苏州中考题：（2013年・28题）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=

10cm,BC=12cm.点E,F,G分别从A,B,C三点同时出发，沿矩形的边

按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为Icm/s，点F的运动速度为3cm/

s,点G的运动速度为1.5cm/s.当点F到达点C（即点F与点C重合）时，

三个点随之停止运动.在运动过程中，-EBF关于直线EF的对称图形是二EB'F,

设点E,F,G运动的时间为t（单位：s）.

6

（1）当t=s时,四边形EBFB'为正方形；

（2）若以点E,B,F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似，求t

的值；

（3）是否存在实数t,使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，

清说明理由.

<第2医）（瑞川图）

面积与相似：（2012苏州，29）如图，已知抛物线y=；xz-；（b+l）x+

2是实数且b>2）与x轴的正半轴分别交于点4H点4位于点8的左侧）,

与，轴的正半轴交于点C.

⑴点8的坐标为,点C的坐标为（用含6的代数式表示）；

（2»青探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形"CO8的面积等于2b,且

P8C是以点?为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点户的坐标；如

果不存在，请说明理由；

③请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得QCO、QOA和QAB

中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点

Q的坐标；如果不存在，请说明理由.

7

四、三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角

形等）

例4.（广东省湛江市）已知矩形纸片O46C的长为4,宽为3,以长04所在

的直线为*轴，。为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是以边上的动点（与

点OA不重合）,现将，POC沿"C翻折得到再在48边上选取适当的点

D,将月4。沿户。翻折，得到户尸。，使得直线PE、PF重合.

（1）若点F落在3U边上,如图④，求点"、G。的坐标，并求过此三点的

抛物线的函数关系式；

（2）若点F落在矩形纸片C46U的内部，如图②，设0P=*,，当*

为何值时，，取得最大值？

（3）在（1）的情况下，过点只C。三点的抛物线上是否存在点Q,使PDQ

是以"。为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的

坐标.

图①图②

变式.（广东省深圳市）已知：RtABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这

个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与*轴重合（其中OAv

OB）,直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）.

（1）求线段OA、0B的长和经过点A.B、C的抛物线的关系式.

（2）如图2,点D的坐标为（2,0）,点P（/n,"）是该抛物线上的一个动点

（其中m>0,〃>0）,连接DP交BC于点E.

①当BDE是等腰三角形时,直接写出此时点E的坐标.

②又连接CD、CP（如图3）,3CDP是否有最大面积？若有，求出，CDP

的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由.

9

苏州中考题：（2013年・29题）如图，已知抛物线y=；x2+bx+c（b,c是

数，且c<0）与x轴分别交于点A,B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半

轴交于点C,点A的坐标为（-1,0）.

（l）b=，点B的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）；

（2）连接BC,过点A作直线AEllBC,与抛物线y=；x?+bx+c交于点E.点

D是x轴上一点,其坐标为（2,0）,当C,D,E三点在同一直线上时，求抛物

线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB,PC,设所

得PBC的面积为S.

①求S的取值范围；

酒PBC的面积S为整数,则这样的PBC共有_______个.

（第29通）

五、与四边形有关的二次函数问题

例5.（内蒙古赤峰市）如图，的顶点坐标分别为4（0,右），8（-

；,日），C（1,0）,4ABC=90。，BC与，轴的交点为D,。点坐标为（0,

日）,以点。为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）将48U沿4c折叠后得到点8的对应点夕，求证：四边形4OCS是矩

形，并判断点乡是否在（1）的抛物线上；

（3）延长84交抛物线于点E,在线段8F上取一点P,过户点作"轴的垂线，

变式练习:（2011年苏州28题）已知四边形ABCD是边长为4的正方形,以

AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A.B重合），连接PA、

PB、PC、PD.

Q）如图①,当PA的长度等于时，/PAB=60。；

当PA的长度等于时,-PAD是等腰三角形；

（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图

11

所示的直角坐标系（点A即为原点O）,把二PAD、&PAB、iPBC的面积分别记

为Si、Sz.S3.坐标为（a,6）,试求2sls3-S?2的最大值，并求出此时a,

。的值.

苏州中考题：（2011年・29题）已知二次函数y=a（x:6x+8）（a>0）的图象与*

轴分别交于点A、B,与N轴交于点C.点D是抛物线的顶点.

Q）如图①，连接AC,将9AC沿直线AC翻折，若点。的对应点。‘恰好

落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；

（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4,4）.（4,3）,

边HG位于边EF的右侧.，J琳同学经过探索后发现了一个正确的命题：”若点P

是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一

个平i亍四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）若点P

是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出

探索过程；

（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标1是大于3的常

数，试问：是否存在一个正数a,使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个帮亍

12

四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成杂亍四边形)？请说明理由.

（图①）

六、初中数学中的最值问题

例6.(2014•海南)如图,对称轴为直线x=2的抛物线经过A(-1,0),C

(0,5)两点，与x轴另一交点为B.已知M(0,l),E(a,0),F(a+l,

0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)当a=l时，求四边形MEFP的面积的最大值,并求此时点P的坐标；

(3)若PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时,四边形PMEF

周长最小？请说明理由.

13

变式练习.(四川省眉山市)如图，已知直线y=1*+1与夕轴交于点4,与*

轴交于点D,抛物线y=：*2+以+c与直线y=；x+1交于4F两点，与*

轴交于民C两点，且8点坐标为(1,0).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)动点户在x轴上移动，当,小£是直角三角形时,求点户的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使用。的值最大，求出点用的坐

标.

苏州中考题：(2012江苏苏州，27,8分)如图，已知半径为2的。。与直线

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/相切于点A,点P是直径48左侧半圆上的动点，过点"作直线/的垂线,垂

足为C.PC与。。交于点。，连接24项，设PC的长为x(2<x<4).

⑴当x=*时，求弦月4户8的长度；

⑵当X为何值时,PDCD的值最大?最大值是多少?

CA

七、定值的问题

例7.(湖南省株洲市)如图，已知ABC为直角三角形,〃CB=90。，AC=

SC,点4C在*轴上，点8的坐标为(3,ni](m>0),线段48与y轴相交

于点。，以,0)为顶点的抛物线过点B、D.

(1)求点4的坐标(用6表示)；

(2)求抛物线的解析式；

(3)设点Q为抛物线上点P至点8之间的一动点，连结做并延长交BC于点

E,连结8Q并延长交4C于点F,试证明：FC(AC+EQ为定值.

变式练习:(2012江苏苏州，28,9分)如图，正方形48。的边4。与矩形

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FFG”的边FG重合,将正方形48。以lcm/s的速度沿FG方向移动，移动

开始前点A与点尸重合.在移动过程中，边4。始终与边FG重合，连接GG,

过点A作GG的平行线交线段GH于点P,连接夕2已知正方形48。的边长

为1cm,矩形的边下G.G”的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间

为x(s),线段G"的长为y(cm),其中0VXV25

⑴试求出y关于”的函数关系式，并求出y=3时相应X的值;

(2加。6夕的面积为51「。6的面积为52,试说明g-4是常数；

③当线段在。所在直线与正方形48。的对角线4C垂直时，求线段"。的长.

苏州中考题：(2014年•苏州)如图,二次函数片a(X-2皿-3W)(其中

a.zn是常数，且a>0,加>0)的图象与*轴分别交于点48(点4位于点

8的左侧)，与V轴交于c(o,-3),点。在二次函数的图象上，CDwAB.

连接AD,过点4作射线4£交二次函数的图象于点E.AS平分立8£.

(1)用含m的代数式表示a;

(2)求证：”为定值；

(3)设该二次函数图象的顶点为尸，探索：在*轴的负半轴上是否存在点G.

连接GF,以线段GAAD、4F的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果

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存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含6的代数式表示该点的横坐

标；如果不存在，清说明理由.

八.存在性问题(如：平行、垂直，动点，面积等)

例8.(2008年浙江省绍兴市)将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，

0(0,0),H(6,0),C(0.3).动点。从点。出发以每秒1个单位长的速度沿0c向

终点c运动，运动：秒时，动点P从点4出发以相等的速度沿.1。向终点”运

动.当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点P的运动时间为，(秒).

(1)用含，的代数式表示。尸，OQ；

(2)当，=1时，如图1,将△OP0沿PQ翻折，点。恰好落在CB边上的点/＞处，

求点。的坐标；

(1)连结4C,将△OP0沿P0翻折,得到△EP0，如图2.问：P0与“能

否平行?PE与."能否垂直?若能，求出相应的，值；若不能，说明理由.

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变式练习：如图,已知抛物线y=ax?+bx+3与x轴交于A(1,O),B(-3,

0)两点，与y轴交于点C,抛物线的顶点为P,连接AC.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)在抛物线上找一点D,使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q,

求直线DC的解析式；

(3)抛物线对称轴上是否存在一点M,使得S.MAP=2S.ACP?若存在，求出M

点的坐标；若不存在，请说明理由.

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苏州中考题：(2015年苏州♦本跳满分10分)如图，已知二次函数

)，=/+(1-,”卜-,"(其中0<6<1)的图像与*轴交于48两点(点4在

点8的左侧)，与y轴交于点C,对称轴为直线/.设"为对称轴/上的点，连

接力4PC,PA=PC.

(1)/48C的度数为°;

(2)求"点坐标(用含加的代数式表示);

(3)在坐标轴上是否存在点Q(与原点。不重合)，使得以Q、B、C为顶点

的三角形与R4C相似目线段PQ

的长度最小？如果存在，求出所有

满足条件的点Q的坐标；如果不存

在，清说明理由.

(第27题)

模拟试题：在如图的直角坐标系中，已知点A(l,0kB(0,-2),将线段

AB绕点A按逆时针方向旋转90。至AC,若抛物线y=-V+bx+2经过点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q(0,-2)作不平行于x轴

的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴的正半轴上是否存在一点P,使PEF

的内心在y轴上?若存在,求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

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(3)在抛物线上是否存在一点M,使得以M为圆心，以零为半径的圆与直

线BC相切?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，清说明理由.

九、与圆有关的二次函数综合题：

例9.如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A、B,与y轴

交于点C,其顶点为D,且直线DC的解析式为y=x+3.

(1)求二次函数的解析式；

(2)求ABC外接圆的半径及外心的坐标；

(3)若点P是第一象限内抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大值.

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变式练习：如图，已知抛物线y=a(x-2)2+1与x轴从左到右依次交于A、

B两点，与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0),连接AC、BC.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若P为抛物线的对称轴上的一个动点,连接PA、PB.PC,设点P的纵

坐标表示为m.

试探究：

(D当m为何值时，|PA-PC|的值最大？并求出这个最大值.

②在P点的运动过程中，NAPB能否与NACB相等？若能，请求出P点的坐标;

若不能，清说明理由.

中考题训练：(2014•黔南州)如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4,-1)

的抛物线交y轴于A点，交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧)，已知A

点坐标为(0,3).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线

BD相切，请判断抛物线的对称轴I与OC有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间，问：当点P运

动到什么位置时JPAC的面积最大?并求出此时P点的坐标和PAC的最大面

积.

苏州中考题：（2015年・27题）如图,已知二次函数》=/+（1-，"）》-，”（其中

0</n<l）的图像与*轴交于48两点（点4在点8的左侧），与y轴交于

点C,对称轴为直线/.设户为对称轴/上的点，连接PAPC,PA=PC.

（1）的度数为▲°;

（2）求P点坐标（用含/n的代数式表示）；

（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点。不重合），使得以Q、B、C为顶点

的三角形与4IC相似且线段PQ

的长度最小？如果存在，求出所有

满足条件的点Q的坐标；如果不存

在，请说明理由.

（第27题）

22

十、其它（如新定义型题、面积问题等）:

例10.定义：若抛物线的顶点与X轴的两个交点构成的三角形是直角三角形,

则这种抛物线就称为："美丽抛物线”.如图，直线I：y=*+b经过点M（0,

力一组抛物线的顶点B«,y，），B?（2,y?）,Bs⑶力），.㈤（n,y.）

（n为正整数），依次是直线I上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是:

Ax(xx,0),A2(x2,0),A3(x3,0),...Antl(xn+1,0)(n为正整数).A

Xi=d(0<d<l),当dR(）时，这组抛物线中存在美丽抛物线.

变式练习：

1.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在

点B左侧）.与y轴交于点C,顶点为D,直线CD与x轴交于点E.

（1）请你画出此抛物线，并求A、B、C、D四点的坐标；

（2）将直线CD向左平移两个单位,与抛物线交于点F（不与A、B两点重合）,

请你求出F点坐标；

（3）在点B、点F之间的抛物线上有一点P,使PBF的面积最大，求此时P

点坐标及PBF的最大面积；

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（4）若平行于x轴的直线与抛物线交于G、H两点，以GH为直径的圆与x轴

（第2题）

2.练习：（2015河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称

为“整圆”.如图，直线/：y=A+46与x轴、y轴分别交于48/88=30°,

点P在*轴上,0P与/相切,当尸在线段0/4上运动时，使得。P成为整圆的

点?个数是（）

A.6B.8C.10D.12.

苏州中考题：（2015年・26题）如图，已知4。是48c的角平分线，0O经

过4B、。三点，过点8作8£必。，交。。于点£,连接£D.

（1）求证：£。必。（2）若8。=2。，设'£8。的面积为S-dOC的面积

为邑，且S1-16£+4=0,求S8C的面积.

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（第26题）

模拟试题：如图所示,在平面直角坐标系中，。M过点。且与y轴、x轴分别

交于A.B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点，点C与点M关于x轴

对称，已知点M的坐标为(2,-2).

(1)求抛物线的解析式；

(2)判断直线0C与。M的位置关系，并证明；

(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线0C上的动点，判断是否存在以点

P、Q、A.。为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出相应的Q点

的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案：

例1.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)根据x等于零时，可得C点坐标,

根据y等于零时，可得A、B的坐标,根据待定系数法，可得直线BC的斜率，

根据平行线的斜率相等，可得平行BC的直线的斜率，根据直线与抛物线有一个

交点，可得直线与抛物线联立所得的一元二次方程有一对相等的实数根，可得判

别式等于零；(2)根据待定系数法，可得直线AD的解析式，根据E点在线段

AB上,可设出E点坐标，根据EFiiy轴，F在抛物线上,可得F点的坐标，根

据两点间的距离，可得二次函数，根据二次函数性质，可得答案.

25

【解答】解：(1)当y=0时

当x=O时，y=-3,即C(0,-3).设直线BC的解析式为y=kx+b,直线

BC经过点B,点C,得：1产+1°,解得?=1。,设平行于BC且与抛物线只

[b=-3(b=-3

有一个交点的直线解析式为y=x+b,由题意，得：[尸,®-®,

[y=x,；-2x-30

得：X?-3x-3-b=0,只有一个交点，得：A=(-3)2-4x(-b-3)=0,

解得b=-3与直线BC平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式丫=乂-乌;

44

(2)y=x2-2x-3,当x=--考=1时,

2aZx1

y=她？b2=4Xlx(-丁一(-2)2=-4,即D(1,-4),设直线AD

4a4X1

的解析式是y=kx+b,AD的图象过点A、D,得心+”映,

[k+b=-4②

解得了一：，直线AD的解析式是y=-2x-2,线段AD上有一动点E,过E

|b=-2

作平行于y轴的直线交抛物线于F,设E点坐标是(x,-2x-2),F点坐标是

(x,x2-2x-3),-1<X<1,

EF的长是：y=(-2x-2)-(X2-2X-3)=-X2+1。当x=0B寸，EF最大=1,

即点E的坐标是(0,-2),当线段EF取得最大值时,点E的坐标是(0,-2).

【点评】本题考查了二次函数的综合题，利用了直线与抛物线相切，利用了一元

二次方程的判别式，两点间的距离公式，二次函数的性质，综合性较强.

变式练习：【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.

26

【分析】（1）将A的坐标代入抛物线y=a（x-l）斗35（a#0）可得a的值，

即可得到抛物线的解析式；（2）易得D的坐标，过D作DNLOB于N;进而

可得DN、AN、AD的长，根据平行四边形.直角梯形，等腰梯形的性质，用t

将其中的关系表示出来,并求解可得答案；（3）根据（2）的结论,易得OCB

是等边三角形，可得BQ.PE关于t的关系式.将四边形的面积用t表示出来，

进而分析可得最小值及此时t的值，迸而可求得PQ的长（4价别利用当AOD

-OQP与当AOD—OPQ,得出对应边比值相等，进而求出即可.

【解答】解：（1）抛物线y=a（xl）2+3向（awO）经过点A（-2,0）,

..0=9a+3V3,

•.a=-岑,/.y=-2^（x-1）Z+3向；

（2））®-.D为抛物线的顶点rD（136）过D作DN_LOB于N则DN=3«,

AN=3,

.AD=在2+（W5）2=6,.\zDAO=60".OMIIAD,

①当AD=OP时,四边形DAOP是平行四边形,-OP=6,,.t=6.

②当DP±OM时，四边形DAOP是直角梯形，过。作OH±AD于H,AO=2,

则AH=1（如果没求出NDAO=60°可由RtOHA-RtDNA（求AH=1）

OP=DH=5,t=5,

⑤当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形，易证iAOH¥CDP,..AH=CP,

..OP=AD-2AH=6-2=4,,-.t=4.

综上所述：当t=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形.等腰

梯形；

27

(3)D为抛物线的顶点坐标为：D(1,36)，过D作DN_LOB于N,则

DN=3V3,AN=3,.AD=必+(/)2=6,"DAO=60°,.NCOB=60°,

OC=OBJOCB是等边三角形.则OB=OC=AD=6,OP=t,BQ=2t,..0Q=6

-2t(O<t<3)

过作于,则岑争，

PPE±OQEPEt,.-.SBCPQ=AX6X3V3-(6-2t)x

4(t-微)2+^好当£时，SBCPQ的面积最小值为备巧，

(4)当，AOD~-OQP,则,;AO=2,AD=6,QO=6­2t,OP=t,

.2_6

6-2tt/

解得：t=¥,当AAODHPQ,则铝=柒,即2=Jr，解得：t=q,

7OPQOt6-2t5

故t=留学拟。，P,Q为顶点的三角形与OAD相似.

【点评】本题考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质、平行四

边形、直角梯形、等腰梯形的判定等知识，将二次函数的图象与解析式相结合处

理问题、解决问题是考查重点.

苏州中考题：解：(1)如图①，点"从A-B-C-D,全程共移动了a+2bcm

(用含仇6的代数式表示)；

(2).圆心。移动的距离为2(a-4)s,由题意,得：＞26=2(a-4)

①，

28

..点"移动2秒到达B,即点々s移动了bcm,点户继续移动3s到达8c的

中点，

即点Pi秒移动了\acrn..•.)=岑②由①@解得工24,

223I1>—8

:点/移动的速度为与。。移动速度相同，二。。移动的速度为J=W=4"n

22

(cm/s).

这5秒时间内。。移动的距离为5x4=20(cm);

(3)存在这种情况，

设点—移动速度为v^m/s.OQ移动的速度为v2cmis,由题意，得

11=、2b_2012X10_5

52(a-4)2(20-4)1'

如图：

设直线OQ与48交于£点，与。交于尸点，。Q与4。相切于G点，

若如与。5相切，切点为H.则01G=(\H.

易得DOi(^DO1H，:/ADB=乙BDP.

•:BCzAD,:/ADB二乙CBD,乙BDP二乙CBD,:.BP=DP.

设BP^xcm,则D—cm，2G(20•*)an,在ROPCD中,由勾股定理，

得

Pd+CU=PD，即(20r)2+1。2=，解得X=苧此时点"移动的距离

为10+专喈(cm),

29

:EF\\ADr-BEC\-BAD“•器二即京,FQ=16c7nQQ=14s7.

①当o。首次到达。q的位置时,OO移动的距离为14cm,

45

此时点户与。。移动的速度比为上=黑，.黑君".此时即与。Q不能相切；

1428284

②当0。在返回途中到达OQ位置时，。。移动的距离为2(20•4)-

14=1867,

45

.・此时点"与OO移动的速度比为之=叁=《，此时夕。与。Q恰好相切.

点评：本题考查了圆的综合题,(1)利用了有理数的加法,(2)利用了户与。

。的路程相等，速度相等得出方程组是解题关腱,再利用路程与时间的关系，得

出速度，最后利用速度乘以时间得出结果；(3)利用了相等时间内速度的比等

于路程的比，相似三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，利用相等时间

内速度的比等于路程的比是解题关犍.

例2.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题；动点型.

【分析】(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx,把已知坐标代入求出抛物线的解

析式.

(2)求出S的面积，根据t的取值不同分三种情况讨论S与t的函数关系式.

(3)根据旋转的性质，代入解析式，判断是否存在.

【解答】解：(1)方法一：由图象可知：抛物线经过原点，设抛物线解析式为

y=ax2+bx(a/0).

把A(l,1),B(3,1)代入上式得：

30

，解得J...所求抛物线解析式为y=_1X2+JX.

ll=9a+3b033

方法二：vA(1,1),B(3,1),.•.抛物线的对称轴是直线X=2.

设抛物线解析式为y=a(x-2)2+h(awO)把O(0,0),A(1,1)代入

2

得=a(0-2)+h解得3「所求抛物线解析式为丫=-**-2产+《.

233

|l=a(l-2)+h悬

(2)分三种情况：

①当0＜仁2,重会部分的面积是SOPQ，过点A作AF轴于点F,,A(1,

1),

.•在RtOAF中,AF=OF=1,zAOF=45°,在RtOPQ中，OP=t,zOPQ=

zQOP=45°,

,PQ=OQ=tcos450=^t.S=l(*t)Mt2,

②当2＜仁3渡PQ交AB于点G，作GH±x轴于点H/OPQ=NQOP=45°,

则四边形OAGP是等腰梯形,重叠部分的面积是S梯形OAGP•-AG=FH=t-2,

.-.S=l(AG+OP)AF=1(t+t-2)xl=t-1.

22

③当3vtv4,设PQ与AB交于点M,交BC于点N,重叠部分的面积是S五

边形。AMNC•

△PNC和LBMN都是等腰直角三角形，重叠部分的面积是0AMNC=S^

OABC-SBMN•

•B(3,1),OP=t,.PC=CN=t-3,.-.S=l(2+3)xl-l(4-t)2,S=

22

-货+做-li.

22

(3)存在.

31

当。点在抛物线上时，将。（t,t）代入抛物线解析式，解得t=0（舍去）,t=1;

当Q点在抛物线上时，Q（寺，学）代入抛物线解析式得t=o（舍去），t=2.故

t=l或2.

【点评】本题是一道典型的综合题，重点考查了二次函数的有关知识以及考生理

解图形的能力，难度较大.

变式练习：解：（1）..直线I:y=m+m经过点B（0,，.直

4

线I的解析式为y=3<-1,直线I：y=&-1经过点c（4,n）,.』=电4

444

-1=2,..抛物线y=*+bx+c经过点C（4,2）和点B（0,-1）,

基"=2,解得

，抛物线的解析式为y=-1；

C=-1C=-124

(2)令y=0,则务-1=0,解得x=4，•点A的坐标为(4，0),..OA=《,

4333

在RtAOAB中，OB=11/.ABHJoA?+0B2=J(g)+]2='>'«,DElly轴，二.

zABO=zDEF,在矩形DFEG中，EF二DE・COSNDEF=DE•丝二^DE,DF=DE

AB5

•sin/DEF=DE•里—DE,

AB5

..p=2(DF+EF)=2(J+1)DE噂DE,

32

,.点D的横坐标为t(0<t<4),.1D(t,求-母-1),E(t,1),

244

..DE=(a.1)-(It2--1)=-lt2+2t,..p=l^x(-lt2+2t)=-

424252

“+驾，

55

P=Y(t-2)2+W,且Y<0,..当t=2时,p有最大值W;

5555

(3)•「AOB绕点M沿逆时针方向旋转90。，..AiOilly轴时,BiOjx轴，

设点Ai的横坐标为x.

①如图1，点。1、Bi在抛物线上时，点Oi的横坐标为x，点Bi的横坐标为x+1,

二岁一声-1*(x+1)2T(x+1)-1,解得x=',

24244

②如图2,点Ai、Bi在抛物线上时，点Bi的横坐标为x+1,点A]的纵坐标比

点B】的纵坐标大g,

•••lx2-声-1=J(x+1)2Y(x+1)-1+],解得x=-J,

2424312

综上所述，点A】的横坐标为泅--L.

412

苏州中考题：(略)

例3.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.

【分析】(1)已知了顶点的横坐标,可用顶点式来设二次函数的解析式如：y=a

(x-4)2+k,根据二次函数过点(0,4)，可得出不行=16a+k;由于A.

B关于x=4对称，且AB=6,不难得出A、B的坐标为(1,0),(7,0),可

将它们的坐标代入解析式中即可求出a.k的值.(2)本题的关键是确定P的位

33

置,由于对称轴垂直平分AB,因此P不论在对称轴的什么位置都有PA=PB,

连接DB,如果P是交点时,PA+PD的长就是BD的长，两点之间线段最短，

因此要想PA+PD最小，P必为DB与对称轴的交点.可根据B.D的坐标求出

BD所在直线的解析式，然后求出与抛物线对称轴的交点.即可得出P点的坐

标.(3)由于三角形ABC是等腰三角形.要想使QAB与三角形ABC相似，三

角形QAB必须为等腰三角形.要分两种情况进行讨论：①当Q