2024年九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练-

2024年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．如图①，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：(1)线段AC,CD,CE之间的数置关系是__________．(2)如图②，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请判断线段AC,CD,CE之间的数童关系，并说明理由；(3)如图②，AC与DE交于点F，在（2）条件下，若AC=8，直接写出AF的最小值．2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直线BG与DE交于点H．(1)如图1，当点G在CD上时，请直接写出线段BG与DE的数量关系和位置关系；(2)将正方形CEFG绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH−DH=2②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．3．【探究与证明】成语“以不变应万变”中蕴含着某种数学原理．【动手操作】如图1，AC是正方形ABCD的对角线，点E是AC上的一个动点，过点E和B作等腰直角△EFG，其中∠FEG=90°，EF>AB，EG与射线DC交于点P．请完成：（1）试判断图1中的∠BEC和∠PEC的数量关系；（2）当点P在线段DC上时，求证：EP=BE．【类比操作】如图2，当点P在线段DC的延长线上时．（3）EP=BE是否还成立?请判断并证明你的结论．4．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、EC，点M为EC的中点，连接BM、DM．(1)如图1，当点D、E分别在AC、AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形；(2)如图2，将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明；(3)如图3，将图2中的△ADE绕点A逆时针旋转90°时，△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．5．如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=9cm．点D从O点出发，沿OM方向运动．当点D不与点A重合时，将线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE．连接BE，DE．(1)如图1，当点D在线段OA上运动时，线段BD、BE、BC之间的数量关系是______，直线AD和直线BE所夹锐角的度数是______；(2)如图2，当点D运动到线段AB（不与A点重合）上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论并说明理由；(3)如图3，将△ABC改为等腰直角三角形，其中斜边AB=6，其它条件不变，以CD为斜边在其右侧作等腰直角三角形CDE，连接BE，请问BE是否存在最小值，若存在，直接写出答案；若不存在，说明理由．6．在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°,DE与线段AB相交于点E,DF与射线AC相交于点F．(1)如图，若DF⊥AC，垂足为F,AB=4,求BE的长；(2)如图，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=1(3)如图，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交于点F作DN⊥AC于点N，若DN=FN,设BE=x,CF=y，写出y关于x的函数关系式．7．在△ABC中，点D是边AC上一点，连接BD,BD平分∠ABC，将线段DC绕点D逆时针旋转得线段DE．(1)如图1，E在线段BC上时，若∠BAC=90∘,AD=2,DE=3(2)如图2，若E与点B重合，点G,F分别为线段AB、BC上的点，点M、H分别为GD,BC的中点，点N在DF的延长线上，且DN=BG,∠BDN=3∠ABD，求证：BN=2MH；(3)如图3，若射线DE过BC中点H,BC=6,tan∠ACB=12,∠ABC<2∠ACB，将△BHD沿DE翻折到同一平面内得到△B′HD，过B′作B′K垂直于直线AC8．在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC边于点D，过顶点C作AB边的平行线交AD的延长线于点E，点F为AD的中点，连接CF．(1)如图1，若∠ACB=90°，∠ABC=45°，BD=42，求△ABD(2)如图2，过点B作BH∥AC，连接CH，EH，若∠CEH+∠CBH=180°，∠HCA=∠ECF．求证：CH=2CF；(3)如图3，若∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，把△ACD绕点A旋转α(0°<α≤360°)，得到△ACD′，连接ED′，点M为ED9．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则∠BEC=___________°；（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，若AE=15，DE（3）探究发现：如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=5，CP=4，10．如图1，四边形ABCD是正方形，E是BC垂直平分线上的点，点E关于直线BD的对称点是E′，直线BE与直线DE′(1)若点E是边BC的中点，连结AF．则∠FAB＝______．(2)小聪认为：只要点E不在正方形的中心，则直线AF与AB所夹锐角度数不变，小敏尝试改变点E的位置，如图2，她将点E选在正方形内，且△EAD为等边三角形，请你帮助小敏求出直线AF与AB所夹锐角∠FAB的度数，以验证小聪观点的正确性．(3)为继续验证小聪的观点，小敏尝试进一步通过改变点E的位置，探究计算出相应角度．以下是小敏提出的两种验证途径：A．将点E选在边AD的中点处．B．将点E选在正方形外，且使∠EBC＝45°的位置．请你选择其中一种途径，画出相应图形，并求直线AF与AB所夹锐角的度数．我选择途径______（填“A”或“B”）来进行验证．11．已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．【探究建模】（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE=CF；【类比应用】（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；【拓展迁移】（3）如图3，当点E在正方形ABCD外部时，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点．若DF=3，AE=2，求CE12．【问题情境】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，F是AC边上一动点（点F不与点A，C重合），以CF为边在△ABC外作正方形CDEF，连接AD，BF．(1)【探究展示】①猜想：图1中，线段BF，AD的数量关系是，位置关系是．②如图2，将图1中的正方形CDEF绕点C顺时针旋转α，BF交AC于点H，交AD于点O，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．(2)【拓展延伸】如图3，将【问题情境】中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，连接BF并延长，交AC于点H，交AD于点O，连接BD，AF．若AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，求B13．如图1，在正方形ABCD中，P是边BC上的动点，E在△ABP的外接圆上，且位于正方形ABCD的内部，EA=EP，连结AE，(1)求证：△PAE是等腰直角三角形．(2)如图2，连结DE，过点E作EF⊥BC于点F，请探究线段DE与PF的数量关系，并说明理由．(3)当Р是BC的中点时，DE=2．①求BC的长．②若点Q是△ABP外接圆的动点，且位于正方形ABCD的外部，连结AQ．当∠PAQ与△ADE的一个内角相等时，求所有满足条件的AQ的长．14．如图1，在等腰三角形ABC中，∠A=120°,AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接BE．点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．(1)观察猜想．图1中，线段NM,NP的数量关系是__________，∠MNP的大小为__________°．(2)探究证明把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由；(3)拓展延伸将图1中的△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=2,AB=6，请直接写出△MNP面积的最大值．15．问题背景：如图，已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2，初步尝试：如图1，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC(1)类比探究：在上述条件下，先将∠EDF随点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图2所示位置，求S1(2)延伸拓展：当△ABC是等腰三角形，AC=BC时，设∠B=∠A=∠EDF=α．①如图3，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S1⋅S2的表达式（结果用a，②如图4，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S116．【发现奥秘】(1)如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是△ABC内一点，连接AE,EC,BE，分别将AC,EC绕点C顺时针旋转60°得到DC,FC，连接AD,DF,EF．当B，E，F，D四个点满足______时，BE+AE+CE的值最小，最小值为_______．【解法探索】(2)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点P是△ABC内一点，连接PA,PB,PC，请求出当PA+PB+PC的值最小时∠BCP的度数，并直接写出此时PA:PB:PC的值．（提示：分别将PC,AC绕点C顺时针旋转60°得到DC,EC，连接PD,DE,AE）【拓展应用】(3)在△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2，点P是△ABC内一点，连接PA,PB,PC，直接写出当PA+PB+PC的值最小时，PA:PB:PC的值．17．【问题背景】如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，我们可以通过把△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG，容易证得：EF=BE+DF．(1)【迁移应用】如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B、∠D都不是直角，且∠B+∠D=180°，试探究EF、BE、DF之间的数量关系，并说明理由．(2)【联系拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC满足的等量关系（直接写出结论，不需要证明）．18．【模型建立】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE，CE．求证：△ADE≌△CDE．【模型应用】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE，CE．将EC绕点E逆时针旋转90°，交AD的延长线于点F，连接CF．当AE=3时，求CF的长．【模型迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E是对角线上一点，连接AE，CE．将EC绕点E逆时针旋转60°，交AD的延长线于点F，连接CF，EC与EF交于点G．当EF=EC时，判断线段CF与AE的数量关系，并说明理由．19．综合与实践问题情境：将两个完全相同的等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE按图1方式放置，∠ACB=∠DCE=90°，将Rt△CDE绕点C顺时针旋转，连接AE，BD，AE与BD相交于点G．猜想证明：（1）在图1中，请判断AE与BD的数量关系与位置关系，并说明理由；（2）当旋转到CE//AB时，如图2，证明：AE平分∠BAC；解决问题：（3）若旋转到如图3所示的位置时，连接BE、此时△BCE恰好是等边三角形，AE与BC相交于点F，请你直接写出BFCF20．（1）观察理解：如图1，ΔABC中，∠ACB=90°,AC=BC，直线l过点C，点A,B在直线l同侧，BD⊥l,AE⊥l，垂足分别为D,E，由此可得：∠AEC=∠CDB=90°，所以∠CAE+∠ACE=90°，又因为∠ACB=90°，所以∠BCD+∠ACE=90°，所以∠CAE=∠BCD，又因为AC=BC，所以ΔAEC≅Δ（2）理解应用：如图2，AE⊥AB，且AE=AB,BC⊥CD，且BC=CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中实线所围成的图形的面积S=_________；（3）类比探究：如图3，RtΔABC中，∠ACB=90°,AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90至AB′，连接（4）拓展提升：如图4，等边ΔEBC中，EC=BC=3cm，点O在BC上，且OC=2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF，设点P运动的时间为t①当t=________秒时，OF∥ED；②当t=________秒时，点F恰好落在射线EB上．参考答案1．（1）解：∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，由旋转知，AD=AE，∠DAE=60°=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BC=BD+DC=CE+DC，即AC=CE+CD（2）解：CE+CD=2∵AB=AC，∠BAC=90°，由旋转知，AD=AE，∠DAE=90°=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BC=BD+DC=CE+DC，在RtΔABC中，∴BC=2∴DC+CE=（3）解：由（2）知，△ABD≌△ACE，∴∠ACE=∠ABD，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABD=∠ACB=45°，∴∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∵∠DAE=90°，∴∠BCE+∠DAE=180°，∴点A，D，C，E在以DE为直径的圆上，∵AC与DE交于点F，∴AF是直径DE上的一点到点A的距离，即：当AF⊥DE时，AF最小，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=90°-∠ACB=45°，∵∠ADE=45°，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AF最小=122．（1）解：BG＝DE，BG⊥DE，理由如下：∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE．∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠HBE+∠BEH＝90°，∴∠BHD＝90°，即BG⊥DE．综上可知BG和DE的关系为BG＝DE且BG⊥DE．故答案为：BG＝DE且BG⊥DE；（2）①证明：如图，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠GCE＝90°，CG＝CE，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴∠CBK＝∠CDH，∵BK＝DH，BC＝DC，∴△BCK≌△DCH(SAS)，∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，∴∠BCK+∠KCD＝∠DCH+∠KCD，即∠KCH＝∠BCD＝90°，∴△KCH是等腰直角三角形，∴HK=2∴BH−DH=BH−BK=KH=2②如图，当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．由（1）同样的方法可知，BH＝DE，∵四边形CEFG为正方形∴CE＝CH＝1，∴EH=∵AB＝3，∴BD=2设DH＝x，则BH=在Rt△BDH中，BH2+D解得：x1故此时DH=34如图，当H，E重合时，∠DEC＝45°，连接BD．设DH＝x，∵BG＝DH，∴BH=在Rt△BDH中，BH2解得：x1故此时DH=34综上所述，满足条件的DH的值为34-223．解：（1）等腰直角△EFG，∴∠BEC+∠PEC=90°；（2）如图，过E作EQ⊥BC于Q，作ET⊥CD于T，∴∠EQC=∠EQB=∠ETC=90°，∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∠ACD=∠ACB=45°，∴四边形EQCT为矩形，EQ=ET，∴∠QET=90°=∠QEP+∠PET，∵∠BEQ+∠QEP=90°，∴∠BEQ=∠PET，∴△BEQ≌△PET，∴BE=PE；（3）BE=PE成立，理由如下：如图，过E作EQ⊥BC于Q，作ET⊥CD于T，∴∠EQC=∠EQB=∠ETC=90°∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∠ACD=∠ACB=45°，∴四边形EQCT为矩形，EQ=ET，∴∠QET=90°=∠QEP+∠PET，∵∠BEQ+∠QEP=90°，∴∠BEQ=∠PET，∴△BEQ≌△PET，∴BE=PE；4．解：（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，点M为EC的中点，∴BM=MC=12EC，DM=MC=12∴BM=DM，∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，∴∠MBC+∠MDC=∠MCB+∠MCD=∠ACB，∵∠EMB=∠MBC+∠MCB，∠EMD=∠MDC+∠MCD，∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=∠MBC+∠MCB+∠MDC+∠MCD=2∠ACB=245=90，∴△BMD为等腰直角三角形；（2）成立；如图1，延长DM交BC于N，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∴BA=BC，DE=DA，∠EDB=90，∴∠EDB=∠DBC，∴ED∥∴∠DEM=∠NCM，∵M为EC中点，∴EM=CM，又∠EMD=∠CMN，∴△EMD≌△CMN，∴DM=MN，ED=CN，∴AD=CN，∴BD=BN，∴BM=12DN=DM∴BM⊥DN，即∠BMD=90，∴△BMD为等腰直角三角形；（3）成立；如图2，作CN∥BD交DM延长线于N，连接∵CN∥∴∠BAC=∠MCN=45，∴∠E=∠MCN=45，∵∠DME=∠NMC，EM=CM，∴△EMD≌△CMN，∴CN=DE=AD，MN=DM，又∵∠DAB=180-45-45=90，∠BCN=45+45=90，∴∠DAB=∠BCN，又BA＝BC，∴△DBA≌△NBC(SAS)，∴∠DBA=∠NBC，BD=BN；∴∠DBN=∠ABC=90，∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边中线，∴BM⊥DM，∠DBM=∠BDM=45，BM=DM=MN，即△BMD为等腰直角三角形．5．（1）解：结论为：BD=BE+BC；直线AD和直线BE所夹锐角的度数是60°；∵线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE．∴CD=CE，∠DCE=60°，∴∠DCA+∠ACE=60°，∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC=AB，∠ACB=∠CAB=60°，∴∠ACE+∠ECB=60°，∴∠DCA=∠ECB，在△DCA和△ECB中，DC=EC∠DCA=∠ECB∴△DCA≌△ECB（SAS），∴DA=EB，∠DAC=∠EBC=180°-∠CAB=120°，∴BD=DA+AB=BE+BC，∴BD=BE+BC，∠DBE=∠EBC-∠ABC=120°-60°=60°，故答案为BD=BE+BC；60°；（2）解：（1）中结论BD=BE+BC不成立，应为BD=BC−BE；直线AD与直线BE所夹锐角的度数为60°成立．理由如下：∵线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE，∴∠CDE=60°，DC=EC．∵在等边三角形△ABC中，AB=BC=AC，∠ACB=∠BAC=∠ABC=60°，∴∠DCA=∠ECB．在△DCA和△ECB中，DC=EC∠DCA=∠ECB∴△DCA≌△ECB（SAS），∴AD=BE，∠CBE=∠DAC=60°．∴BD=AB−AD=BC−BE，∠EBM=180°−∠ABC−∠CBE=180°−60°−60°=60°．（3）解：存在，BE的最小值为32如图，作CF⊥AB于点F，连结EF，∵∠CED=90°，∠DFC=90°，∴C，D，E，F四点共圆．CD为直径，∵AB=6，CF⊥AB，AC=BC，∴AF=BF=CF=3，AC=BC=AF∵△DEC为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CFE=45°，∴点E运动轨迹是∠CFB的平分线所在的直线的一部分，当点E在BC上时．BE最短，∵DE平分∠CDB，CF=BF，∴BE=CE=126．解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝4．∵点D是线段BC的中点，∴BD＝DC＝12BC∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，∴∠BED＝90°，∴∠BDE=30°，∴BE＝12BD（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中，∵∠BMD＝∠CND，∠B＝∠C，BD=CD，∴△MBD≌△NCD（AAS），∴BM＝CN，DM＝DN．在△EMD和△FND中，∵∠EMD＝∠FND，DM＝DN，∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND（ASA），∴EM＝FN，∴BE+CF＝BM+EM+CN－FN＝BM+CN＝2BM＝BD＝12BC＝12（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3，同（2）的方法可得：BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN．∵DN＝FN，∴DM＝DN＝FN＝EM，∴BE+CF＝BM+EM+FN－CN＝NF+EM＝2DM=x+y，BE﹣CF＝BM+EM﹣（FN－CN）＝BM+NC＝2BM=x－y，在Rt△BMD中，∵∠BDM=30°，∴BD=2BM，∴DM＝BD∴x+y=3x−y，整理，得7．（1）解：过点D作BC的垂线，交BC于点F，如图所示∵BD平分∠ABC∴DA=DF=2∵DE=3∴DC=3∴AC=5在Rt△CFD中，CF=在△CFD和△CAB中{∴△CFD∽△CAB∴DF∴AB=（2）证明：连接DH，并延长使得DH=HQ，连接GQ、BQ，如图所示∵点H是BC中点∴BH=CH在△BHQ和△CHD中∵{∴△BHQ≌△CHD(SAS)∴DC=BQ，∠C=∠CBQ∵点E与点B重合，∴DC=DB∴∠C=∠DBC，BQ=DB∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC∴∠ABD=∠DBC=∠C=∠CBQ∴∠ABQ=∠ABD+∠DBC+∠CBQ=3∠ABD∵∠BDN=3∠ABD∴∠BDN=∠ABQ在△BGQ和△DNB中∵{∴△BGQ≌△DNB(SAS)∴GQ=BN∵点H是DQ中点、点M是DG中点∴MH是△DGQ的中位线∴GQ=2MH∴BN=2MH（3）解：连接BB′、B′C，过点D作BC垂线，交BC于点M，延长DE交∵将△BHD沿DE翻折到同一平面内得到△∴BD=B′又∵DN=DN∴△BDN≌△∴∠DNB=∠DN又∵∠DNB+∠DN∴∠DNB=∠DN∴DN⊥B∵B∴∠HBB′∵∠HB∴∠H∴C∴DN∴S∵B∴S∴当DC与B′K的乘积最大时，S△D∵HC是定长∴以HC为底，HB′⊥HC∵HB′∴BB′∴BN=NH=∵DM⊥BC，∠DHM=45°∴DM=HM设DM=x∵tan∴MC=2x∵DM+MC=3，即2x+x=3∴x=1∴DH=2，∴HE=∴NE=NH−HE=∴B等知识点，本题难度比较大，正确作出辅助线，综合运用各知识点是解答本题的关键．8．解：（1）如图1中，过D作DP⊥AB于点P，∴∠DPB=90°，∵AD平分∠BAC，∠ACB=90°，∴CD=DP，∵∠DPB=90°，∠ABC=45°，∴PD=PB，在Rt△BDP中，∵PB2+P∴PD=PB=4，CD=4，∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，∴AC=BC=4+42∴S△ABD（2）证明：如图2中，延长CF到点G，使FG=CF，连接AG，∵F为AD的中点，∴FA=FD，在△AFG和△DFC中，{CF=GF∴△AFG≌△DFC(SAS)，∴∠G=∠GCB，∴BC∥AG，∴∠GAC+∠ACB=180°，∵BH∥AC，∴∠ACB=∠CBH，∵∠CEH+∠CBH=180°，∴∠GAC=∠CEH，∵∠HCA=∠ECF，∴∠ACG=∠ECH，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，又∵AB∥CE，∴∠CEA=∠BAD，∴∠CAE=∠CEA，∴CA=CE，在△ACG和△ECH中，{∠GAC=∠CEH∴△ACG≌△ECH(ASA)，∴CH=CG，∵CG=2CF，∴CH=2CF；（3）DM的最大值为3．理由：如图，点D′的轨迹是以A为圆心，AD为半径的⊙A由题可知，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°∴∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=30°，∵AC=2，∴AD=4∵点F为AD的中点∴DF=1∵CE∥∴∠CEA=∠B=30°,而∠CAD=1∴∠CAE=∠E=30°,∴AC=CE=2,∴AE=23∴DE=2∴D′当点D′、A、D、F共线时，D′F最长，D∴DM的最大值为3．9．解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC，∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°，∴∠BEC＝120°．故答案为：120；（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE=AE−DE=15−7=8，∠ADC=∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°，∴∠BEC＝135°，∴∠AEB=∠BEC−∠CED=90°，∴AB＝AE2+B（3）把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，如图所示：则△BEC≌△APC，∴CE＝CP，∠PCE＝60°，BE＝AP＝5，∠BEC＝∠APC＝150°，∴△PCE是等边三角形，∴∠EPC＝∠PEC＝60°，PE＝CP＝4，∴∠BED＝∠BEC-∠PEC＝90°，∵∠APD＝30°，∴∠DPC＝150°﹣30°＝120°，又∵∠DPE＝∠DPC+∠EPC＝120°+60°＝180°，即D、P、E在同一条直线上，∴DE＝DP+PE＝8+4＝12，在Rt△BDE中，BD=D即BD的长为13．10．解：（1）如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD＝BC，∵点E是CD的中点，∴DE＝12CD∵点E′是点E关于正方形的对角线BD∴DE∴DE∵AD∥BC，∴DF＝CD＝AD，∴∠FAD=∠AFD∵∠ADF=90°，∴∠FAD＝45°．故答案为：45°．（2）如图所示：∵△EAD是等边三角形，∴∠EDA＝∠EAD＝60°，DE＝EA＝AD，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADB＝45°，∠DAB＝90°，∴AE＝AB，∠EAB=∠DAB−∠DAE=30°，∴∠AEB=∠ABE=180°−30°∵点E′是点E关于DB∴∠E∴∠FDE＝30°，∴∠ADF=∠ADE−∠FDE=30°，∴∠ADF＝∠EDF．∵DF＝DF，∴△ADF≌∴FA＝FE，∴∠FAE＝∠FEA＝75°，∴∠FAB=∠FAE−∠EAB=45°．（3）选择途径A：将点E选在AD边的中点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴BA∥CD，AB＝AD，∠ADC＝∠DAB＝90°，∠ADB＝∠∵点E′是点E关于DB∴∠E∴∠CDB=∠E∴E′在DC∴F在直线CD上，∴DF∥∴∠FDE＝∠BAE，∠DFE＝∠ABE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△ABE≌∴AB＝DF，∴AD＝DF，∵∠FDA=180°−∠ADC=90°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴∠FAD＝45°，∴∠FAB＝135°，∴直线AF与AB所夹锐角为45°．选择途径B：将点E选在正方形外，且使∠EBC＝45°的位置，连结CE，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠DBA＝∠DBC＝45°，∵E在BC的垂直平分线上，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°，∠DBE=∠DBC+∠CBE=90°，∴EB⊥DB，∵点E′是点E关于BD∴EE∴E′，B，E∴点E′与点F∴FB＝BE，∠ABF=∠DBF−∠DBA=45°，∴∠ABF＝∠CBE，∴△ABF≌∴∠FAB＝∠ECB＝45°．11．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，B，C，F三点共线，∴DC=DA,∠DAE=∠DCF=90°,∵DE⊥DF，∴∠ADC=∠EDF=90°，∴∠ADE=∠CDF,在△ADE和△CDF中，∠DAE=∠DCFDA=DC∴△ADE≌△CDF(ASA),∴AE=CF;（2）∵DE⊥DF，四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=∠EDF=90°,AD=CD,∴∠ADE=∠CDF,∵AE⊥EF，DE⊥DF，∴∠DEF+∠F=90°,∠AED+∠DEF=90°,∴∠AED=∠F,在△ADE和△CDF中，∠ADE=∠CDF∠AED=∠F∴△ADE≌△CDF(AAS),∴DE=DF,AE=CF,∴△EDF为等腰直角三角形，∴EF=2即AE+CE=2（3）过点D作DH⊥CE于点H，连接BD，∵∠DFA=∠FAE+∠FEA=90°+∠FEA，∵∠AEB=∠FEA+∠DEB=90°+∠FEA，∴∠AEB=∠DFA，∵∠BAE=90°−∠FAB,∠DAF=90°−∠FAB,∴∠BAE=∠DAF，在△BAE和△DAF中，∠BAE=∠DAF∠BEA=∠DFA∴△BAE≌△DAF(AAS),∴DF=BE=3，FA=EA=2∵AE=FA=2且FA⊥AE∴△FAE为等腰直角三角形，∴EF=2在Rt△DEB中，DE=3+2=5,BE=3,∴DB=5∵BD是正方ABCD对角线，∴AD=CD=34∵∠FEA=45°∴∠DEC=45°,∴△DHE为等腰直角三角形，∴DH=EH=5∴在Rt△DHC中，CH=D∴CE=CH+EH=312．（1）解：①∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∵四边形CDEF是正方形，∴CF=CD，∵∠ACB=∠ACD=90°，在△BCF和△ACD中CF=CD∠ACB=∠ACD=90°∴△BCF≌△ACD(SAS)，∴BF=AD，延长BF交AD于点G，∵∠CAD=∠FBC，∴∠CAD+∠AFG=∠FBC+∠BFC=90°，∴∠AGF=90°，∴BF⊥AD；故答案为：BF=AD，BF⊥AD；②BF=AD，BF⊥AD仍然成立，理由如下：证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=CF，∠FCD=90°，∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，即∠BCF=∠ACD，在△BCF和△ACD中CF=CD∴△BCF≌△ACD(SAS)，∴BF=AD，∠CBF=∠CAD，又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF⊥AD；（2）证明：连接DF，∵四边形CDEF是矩形，∴∠FCD=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠FCD，∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，即∠BCF=∠ACD，∵AC=4，BC=3，CD=43，CF∴BCAC∴△BCF∽△ACD，∴∠CBF=∠CAD，

又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF⊥AD，∴∠BOD=∠AOB=90°，∴BD∴BD在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB在Rt△FCD中，∠FCD=90°，CD=43，CF∴DF∴BD13．（1）解：如图1，在正方形ABCD中，∠B=90°，∵点E在△ABP的外接圆上，∴∠AEP+∠B=180°，∴∠AEP=90°，∴∠EAP+∠EPA=90°．∵弧EA∴∠EAP=∠EPA=45°，∴△PAE是等腰直角三角形．（2）如图2，延长FE交AD于点H．∵EF⊥BC，∴EH⊥AD，即∠AHE=∠EFP=90°，∴∠EAH+∠AEH=90°．∵∠AEP=90°，∴∠PEF+∠AEH=90°，∴∠EAH=∠PEF．又∵△PAE是等腰直角三角形，∴EA=EP，∴△EAH≌∴AH=EF，∵AD=DC=HF，∴AH+HD=EF+HE，∴HD=HE=PF，∴DE=2（3）①由（2）知DE=2∵DE=2，∴FC=HD=HE=PF=2∵P是BC的中点，∴BC=2PC=42②∵tan∠EAD=∴∠EAD<∠EDA=45°=∠PAE，∴存在∠PAQ=∠EDA或∠PAQ=∠EAD（点P在AB的左侧）．当∠PAQ=∠EDA时如图3，∠PAQ=45°=∠PAE，∴弧PE∵∠B=90°，∴AP是圆的直径，∴弧AQ=弧∴AQ=AE=3当∠PAQ=∠EAD时如图4，连结PQ．由第一种情况可知AP是圆的直径，∴∠AQP=90°=∠AHE，∴△APQ∽△AEH，∴AQAH=AP综上所述，AQ的长是2514．（1）解：∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，∴MN=12BD，PN=12CE，∴MN=PN，∠ENM=∠EBA，∠ENP=∠AEB，∴∠MNE+∠ENP=∠ABE+∠AEB，∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=60°，∴∠MNP=60°，故答案为：NM=NP；60°；（2）△MNP是等边三角形．理由如下：由旋转可得，∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．∴MN=12BD，PN=12CE，∴MN=PN，∠ENM=∠EBD，∠BPN=∠BCE，∴∠ENP=∠NBP+∠NPB=∠NBP+∠ECB，∵∠EBD=∠ABD+∠ABE=∠ACE+∠ABE，∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB=180°-∠BAC=60°，∴△MNP是等边三角形；（3）由（2）得，当BD最大，则MN最大，则等边△MNP的面积最大，当BD=AB+AD时最大，此时BD=AB+AD=8，∴MN=PN=4，∴△MNP的面积=12∴△MNP的面积的最大值为4315．解：（1）如图2，设AM=x，BN=y，∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，∴△AMD∽△BDN，∴AM∴x∴xy=8，作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，∴HD=sin60°×AD，∵SS2∴S（2）①如图3，设AM=x，BN=y，同法可知△AMD∽△BDN，∴xy=ab，∵SS2∴S②如图4，设AM=x，BN=y，同法可知△AMD∽△BDN，∴xy=ab，∵SS2∴S16．（1）解：由旋转的性质，可知CE=CF,CA=CD,∠ECF=∠ACD=60°，∠ACE=∠ECF−∠ACF=60∘−∠ACF∴∠ACE=∠DCF，∴△ACE≌△DCF(SAS)，∴AE=DF，且EC=EF，∴BE+AE+CE=BE+DF+EF，∴当B，E，F，D四点共线时，BE+DF+EF的值最小为BD，如图所示：连接AC，设AC与BD交于点O，∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵△ABC为等边三角形，∴∠OCB=60°，∴BO=3此时BD=2BO=23（2）解：由旋转的性质，可知PC=CD,AC=CE,∠PCD=∠ACE=60°，∠PCA=∠PCD−∠ACD=60∘−∠ACD∴∠PCA=∠DCE，∴△APC≌△EDC(SAS)，∴PA=DE，且△PDC，  △ACE均为等边三角形，∴PA+PB+PC=DE+PB+PD，∴当B，P，D，E四点共线时，PA+PB+PC的值最小，如图1所示．∵△PDC， ∴∠BPC=∠CDE=∠CPA=120°， ∵AC=BC,AC=CE，∴BC=CE．∴∠PBC=∠DEC=15°，∴∠BCP=45°，∴当B，P，D，E四点共线时，PA+PB+PC的值最小，此时∠BCP=45°；过点C作CF⊥AB于点F，如图1所示．∵PB=PA, ∴CP是线段AB的中垂线，∴C，P，F三点共线，∠FBC=∠FAC=45°∴PA=PB,∠FBP=∠FAP=30°，设PF=1，则PB=PA=2,CF=BF=3∴PC=3∴PA:PB:PC=2:2:(3（3）解：分别将PC,AC绕点C顺时针旋转60°得到DC,EC，连接PD,DE,AE，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，如图2所示：由(2)可知，当B，P，D，E四点共线时，PA+PB+PC的值最小，此时∠BPC=∠CDE=∠CPA=120°，由(2)知：△APC≌△EDC，∴∠ECF=30°，∵BC=2，∴AC=CE=23∴EF=3∴BF=2+3=5，∴在Rt△BEF中由勾股定理得到BE=B过点C作CG⊥BE，垂足为G，如图2所示．∵S△BCE∴12∴CG=21∴PG=DG=3∴在Rt△BCG中由勾股定理得到BG=B∴PD=PC=2PG=2∴PD=DE=BE−BP−PD=27∴PA:PB:PC=4:2:1．17．（1）解：数量关系是EF=BE+DF，理由如下：由题意得，AB=AD，∠BAD=90°，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG，如图2所示，则∠DAG=∠BAE，∠ADG=∠B，AG=AE，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADG+∠ADC=180°，∴点F、D、G在同一条直线上；∵∠EAF=45°，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=90°−45°=45°，∴∠GAF=∠EAF，∵AF