高考数学二轮复习 第二部分 专题三 数列 专题强化练八 等差数列与等比数列 文-人教版高三数学试题

专题强化练八等差数列与等比数列一、选择题1．(2018·惠州调研)数列{an}是公差为2的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，若S5＝15，则a5＝()A．3B．5C．7D．解析：由等差数列性质得，S5＝5a3＝15，所以a3＝3则a5＝a3＋2d＝3＋2×2＝7.答案：C2．(2018·山西太原3月模拟考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a3＋a10＝9，则S9＝()A．3B．9C．18D．27解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.因为a2＋a3＋a10＝9，所以3a1＋12d＝9，即a1＋4d＝3所以a5＝3，所以S9＝eq\f(9×（a1＋a9）,2)＝eq\f(9×2a5,2)＝27.答案：D3．(2018·衡水中学第二次调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝1＋2an(n≥2)，且a1＝2，则S20＝()A．219－1 B．221－2C．219＋1 D．221＋2解析：因为Sn＝1＋2an(n≥2)，且a1＝2，所以n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1＋2an－(1＋2an－1)，化为an＝2an－1，所以数列{an}是等比数列，公比和首项都为2.所以S20＝eq\f(2（220－1）,2－1)＝221－2.答案：B4．已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则eq\f(a2＋a3,a1)等于()A．4B．6C．8D．10解析：设数列{an}的公差为d，则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6因为S1，S2，S4成等比数列，所以Seq\o\al(2,2)＝S1S4，即(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d解得d＝0(舍去)或d＝2a1所以eq\f(a2＋a3,a1)＝eq\f(a1＋d＋a1＋2d,a1)＝eq\f(8a1,a1)＝8.答案：C二、填空题5．(2018·北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________．解析：设{an}的公差为d，依题设a2＋a5＝2a1＋5d＝6＋5d＝36所以d＝6，因此an＝3＋6(n－1)＝6n－3.答案：an＝6n－36．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a2a6＝________解析：由于Sn＝2n－1，所以an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)．则a2·a6＝2·25＝26＝64.答案：647．设等差数列{bn}满足b1＋b3＝6，b2＋b4＝2，则2b12b2…2bn的最大值为________．解析：设数列{bn}的公差为d，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＋b3＝6，,b2＋b4＝2，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＋d＝3，,b1＋2d＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝5，,d＝－2.))所以{bn}的前n项和Sn＝5n＋eq\f(n（n－1）,2)×(－2)＝－n2＋6n＝－(n－3)2＋9≤9.故2b1·2b2·2b3·…·2bn＝2b1＋b2＋…＋bn＝2Sn≤29＝512.答案：512三、解答题8．(2018·北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝ln2，a2＋a3＝5ln2.(1)求{an}的通项公式；(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.解：(1)设{an}的公差为d.因为a2＋a3＝5ln2，所以2a1＋3d＝又a1＝ln2，所以d＝ln2.所以an＝a1＋(n－1)d＝nln2.(2)因为ea1＝eln2＝2，eq\f(ean,ean－1)＝ean－an－1＝eln2＝2.所以{ean}是首项为2，公比为2的等比数列．所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×eq\f(1－2n,1－2)＝2(2n－1)＝2n＋1－2.9．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．解：(1)设{an}的公比为q，由题设可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1（1＋q）＝2，,a1（1＋q＋q2）＝－6，))解得q＝－2，a1＝－2.故{an}的通项公式为an＝(－2)n.(2)由(1)得Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(－2[1－（－2）n],1－（－2）)＝eq\f(2,3)[(－2)n－1]，则Sn＋1＝eq\f(2,3)[(－2)n＋1－1]，Sn＋2＝eq\f(2,3)[(－2)n＋2－1]，所以Sn＋1＋Sn＋2＝eq\f(2,3)[(－2)n＋1－1]＋eq\f(2,3)[(－2)n＋2－1]＝eq\f(2,3)[2(－2)n－2]＝eq\f(4,3)[(－2)n－1]＝2Sn，所以Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．10．(2018·湖南师大附中质检)在公比为q的等比数列{an}中，已知a1＝16，且a1，a2＋2，a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若q＜1，求满足a1－a2＋a3－a4＋…＋a2n－1－a2n＞10的最小正整数n的值．解：(1)依题意，2(a2＋2)＝a1＋a3，且a1＝16.所以2(16q＋2)＝16＋16q2，即4q2－8q＋3＝0.因此q＝eq\f(1,2)或q＝eq\f(3,2).当q＝eq\f(1,2)时，an＝16·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＝25－n；当q＝eq\f(3,2)时，an＝16·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n－1).(2)由(1)知，当q＜1时，an＝25－n，则a1－a2＋a3－a4＋…＋a2n－1－a2n＝eq\f(16\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2n))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\f(32,3)eq\b\lc