高考数学二轮复习 第二部分 专题六 概率与统计 专题强化练十七 概率、随机变量及其分布列 理-人教版高三数学试题

专题强化练十七概率、随机变量及其分布列一、选择题1．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，丙是第一名的概率是()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,3)解析：由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件与丙、丁或戊都无关，所以这三个人获得第一名是等概率事件，概率为eq\f(1,3).答案：D2.(2018·广州模拟)三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中一个直角三角形中较小的锐角α满足tanα＝eq\f(3,4)，现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是()A.eq\f(4,25)B.eq\f(3,25)C.eq\f(2,25)D.eq\f(1,25)解析：在Rt△ABC中，tanα＝eq\f(3,4).不妨设BC＝3，AC＝4，则DC＝1，AB＝5.所以所求事件的概率P＝eq\f(S小正方形,S大正方形)＝eq\f(DC2,AB2)＝eq\f(1,25).答案：D3．(2018·浙江卷)设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012Peq\f(1－p,2)eq\f(1,2)eq\f(p,2)则当p在(0，1)内增大时()A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小解析：由题可得E(ξ)＝eq\f(1,2)＋p，所以D(ξ)＝－p2＋p＋eq\f(1,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)，所以当p在(0，1)内增大时，D(ξ)先增大后减小．答案：D4．(2018·长郡中学二模)设随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，若P(X＞m)＝0.3，则P(X＞8－m)＝()A．0.2 B．0.3C．0.7 D．与σ的值有关解析：因为随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，所以正态曲线的对称轴是x＝4，因为P(X＞m)＝0.3，且m与8－m关于x＝4对称，由正态曲线的对称性，得P(X＞m)＝P(X＜8－m)＝0.3，故P(X＞8－m)＝1－0.3＝0.7.答案：C5．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝()A．0.7B．0.6C．0.4D解析：依题意，X～B(0，p)，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，解得p＝0.4或p＝0.6.由P(X＝4)＜P(X＝6)得Ceq\o\al(4,10)p4(1－p)6＜Ceq\o\al(6,10)p6(1－p)4，解得p＞eq\f(1,2)，因此p＝0.6.答案：B二、填空题6．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答)．解析：法一分两种情况：只有1位女生入选，不同的选法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12(种)；有2位女生入选，不同的选法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝4(种)，至少有1位女生入选的不同的选法有16种．法二从6人中任选3人，不同的选法有Ceq\o\al(3,6)＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有Ceq\o\al(3,4)＝4(种)．所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16(种)．答案：167.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))eq\s\up12(5)的展开式中x4的系数是________．解析：展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(x2)5－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))eq\s\up12(r)＝2rCeq\o\al(r,5)x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.所以x4的系数为22Ceq\o\al(2,5)＝40.答案：408．在区间[－6，7]内任取一实数m，f(x)＝－x2＋mx＋m的图象与x轴有公共点的概率为________．解析：因为f(x)＝－x2＋mx＋m图象与x轴有公共点，所以Δ＝m2＋4m≥0，则m≥0或m≤－故所求事件概率P＝eq\f(7＋2,7－（－6）)＝eq\f(9,13).答案：eq\f(9,13)三、解答题9．(2018·湖南六校联考)为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”战略的号召，进一步优化能源消费结构，某市决定在地处山区的A县推进光伏发电项目．在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得以下统计表．以样本的频率作为概率．用电量(单位：度)(0，200](200，400](400，600](600，800](800，1000]户数51510155(1)在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，求X的数学期望；(2)已知该县某山区自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购．经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元．解：(1)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A，则P(A)＝eq\f(3,5).由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，且X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(3,5))).故E(X)＝np＝10×eq\f(3,5)＝6.(2)设该县山区居民户年均用电量为E(Y)，由抽样可得E(Y)＝100×eq\f(5,50)＋300×eq\f(15,50)＋500×eq\f(10,50)＋700×eq\f(15,50)＋900×eq\f(5,50)＝500(度)．则该自然村年均用电约150000度．又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150000度，能为该村创造直接收益120000元．10．(2018·北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k＝1，2，3，4，5，6)．写出方差D(ξ1)，D(ξ2)，D(ξ3)，D(ξ4)，D(ξ5)，D(ξ6解：(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1倍，这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A.因为第四类电影中获得好评的电影有200×0.25＝50(部)，所以P(A)＝eq\f(50,140＋50＋300＋200＋800＋510)＝eq\f(50,2000)＝0.025.(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机取一部，恰有1部获得好评”为事件B.则P(B)＝0.25×(1－0.2)＋(1－0.25)×0.2＝0.35.故所求事件的概率估计为0.35.(3)由题意可知，定义随机变量如下：ξk＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，第k类电影没有得到人们喜欢，,1，第k类电影得到人们喜欢，))则ξk显然服从两点分布，故D(ξ1)＝0.4×(1－0.4)＝0.24，D(ξ2)＝0.2×(1－0.2)＝0.16，D(ξ3)＝0.15×(1－0.15)＝0.1275，D(ξ4)＝0.25×(1－0.25)＝0.1875，D(ξ5)＝0.2×(1－0.2)＝0.16，D(ξ6)＝0.1×(1－0.1)＝0.09.综上所述，D(ξ1)＞D(ξ4)＞D(ξ2)＝D(ξ5)＞D(ξ3)＞D(ξ6)．11．(2018·哈尔滨二模)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望；(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比”＝eq\f(产品的等级系数的数学期望,产品的零售价)；②“性价比”大的产品更具可购买性．解：(1)因为E(X1)＝6，所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6即6a＋7b＝3.2，又由X1的概率分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6a＋7b＝3.2，,a＋b＝0.5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0.3，,b＝0.2.))(2)由已知得：样本的频率分布表如下：等级系数X2345678样本频率f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分