理论力学课件：虚位移原理

虚位移原理14.1约束与约束方程虚位移与虚功14.2自由度和广义坐标14.3虚位移原理思考题

14.1约束与约束方程虚位移与虚功

1.约束与约束方程不受任何限制可在空间自由运动的质点系称为自由质点系;若质点系中任一质点在空间的运动受到一定的限制,则此质点系称为非自由质点系。限制质点或质点系运动的各种条件称为约束,这些限制条件的数学方程表示称为约束方程。根据约束的形式和性质的不同,约束可分为以下几类:

(1)几何约束和运动约束。只限制质点或质点系在空间的几何位置的约束称为几何约束。例如,图14-1所示的以无重刚杆为摆杆的单摆,其中质点M可绕固定点Ο在平面Οxy内摆动,摆长为l。由于刚杆OM的限制,质点M必须在以点Ο为圆心、l为半径的圆周上运动。若以x、y表示质点的坐标,则其位置坐标必须满足条件

式(14-1)称为约束方程。图14-1

又如,质点M在图14-2所示的半径为r的球面上运动,那么球面方程就是质点M的约束方程,即

图14-2

除几何约束外,还有限制质点系运动情况的运动学条件,称为运动约束。对于图14-3所示的半径为r的圆轮,它在水平面上沿直线轨道只滚不滑就是运动约束。

式(14-3)建立了轮心速度与轮子角速度间的关系,称为运动约束方程。图14-3

(2)定常约束和非定常约束。如果约束方程中不显含时间t,即约束不随时间而变,那么这种约束称为定常约束。如前述单摆的约束方程不显含时间t,属于定常约束。

若约束方程中显含时间t,约束条件随时间变化,则这种约束称为非定常约束。如图14-4所示,与弹簧相连的滑块A可沿光滑水平面往复滑动,设其运动规律为xA=asinωt。又在滑块上连接一单摆,摆杆长为l,则质点M的约束方程为

式(14-4)中显含时间t,所以它是非定常约束。图14-4

(3)双面约束和单面约束。在两个相对方向上限制质点或质点系的运动的约束称为双面约束。如图14-5所示单摆,小球M用长为l的刚杆铰接于球形支座O上,小球只能在半径

为l的球面上运动,其约束方程为

将图14-5中刚杆换成柔索,则柔索将不限制小球在圆域

内部的运动,这种只在一个方向限制质点或质点系运动的约束称为单面约束。其约束方程为图14-5

(4)完整约束和非完整约束。如果约束方程中不包含坐标对时间的导数,或者约束方程中的微分项可积分为有限形式,这种约束称为完整约束。例如,对于式(14-3)所示的运动约束方程,其积分式为

因此,轮子受到的约束是完整约束。

2.虚位移

由于约束的存在,非自由质点系中各质点的位移受到一定的限制,有些位移是约束所允许的。在某瞬时,质点系在约束所允许的条件下,可能实现的任何无限小的位移称为虚位移。虚位移可以是线位移,也可以是角位移。虚位移通常用变分符号δ表示。例如,在如图14-6所示的被约束在固定曲面上的质点M,过M点的切面内任何微小位移δr

都是约束所允许的,都是质点M的虚位移。

在定常约束条件下,如图14-6中的曲面为固定曲面,由于约束不随时间而改变,质点的微小实位移只是所有虚位移中的一个,而虚位移视约束情况,可以有多个,甚至无穷多个。在非定常约束情况下,如图14-7所示的曲面是运动的,设t瞬时曲面的位置为Ⅰ,经过dt时间后的位置为Ⅱ,在dt时间内质点M的实位移为dr。而某瞬时的虚位移是将时间固定后,约束所允许的位移。质点M在t瞬时的虚位移为δr,δr',…实位移不能固定时间,所以这时的实位移不一定是虚位移中的一个。图14-6图14-7

3.虚功

设某质点受力F作用,假想地给它一虚位移δr,则力F在虚位移δr上所做的功称为虚功,即

也可用解析式表示,即

由于虚功是在假想的虚位移中所做的功,因而虚功是假想的。例如,图14-8所示曲柄连杆机构,对于图示虚位移,力F的虚功为δW=-F·δrB,力偶M的虚功为δW=M·δφ。图示机构处于静止平衡状态,显然任何力都没做实功,但力可以做虚功。

由虚功的概念可知,第12章中所述的理想约束的概念也可定义为:在质点系的任何虚位移中,约束反力所做的虚功之和为零。图14-8

14.2自由度和广义坐标确定一个质点系在空间的位置所需独立坐标的数目称为质点系的自由度数目,简称为自由度。如图14-8所示曲柄连杆机构,机构简化为销A和滑块B两个质点组成的质点系。它们受到的约束有:销A只能以点Ο为圆心,以r为半径做圆周运动;滑块B与销A间的距离为杆长l;滑块B始终沿滑道做直线运动。这三个约束方程为

一般地,具有n个质点的质点系,如果受有s个约束,则其自由度数目为

除自由度外,也可适当选用k个独立参变量来确定质点系的位置。用来确定质点系位置的独立参变量称为质点系的广义坐标。对于图14-8所示的曲柄连杆机构,只需选用曲柄与水平线的夹角φ即可唯一地确定系统的位置,角φ即为此机构的广义坐标。

【例14-1】图14-9所示机构中,杆OA和AB铰接,B端自

由,设OA=a,AB=b,求A、B点的虚位移。图14-9

14.3虚位移原理

非自由质点系平衡问题的虚位移原理可叙述为:具有理想约束的质点系,平衡的必要和充分条件是作用于该质点系的所有主动力在任何虚位移上所做虚功之和为零。即式(14-11)称为虚功方程,也可表达为下面给出虚位移原理的证明。图14-1

虚位移原理提出了求解非自由质点系平衡问题的一般方法,因此式(14-11)、式(14-12)也称为静力学普遍方程。需要指出的是,虽然虚位移原理要求质点系具有理想约束,但对于

具有非理想约束的系统,只要把非理想约束反力看作主动力,虚功方程仍可应用。例如,带有摩擦的非自由质点系的平衡问题,将摩擦力看成主动力,即可用虚功方程求解。

【例14-2】在图14-11所示的连杆增力机构中,已知OA=AB=l,∠AOB=θ。如不

考虑各杆的重量及各处摩擦,试求平衡时F1和F2之间的关系。图14-11

【例14-3】图14-12所示的双锤摆中,摆锤A、B分别重W1和W2,摆杆OA长为a、AB长为b。设在摆锤B处加一水平力F以维持平衡,不计摆杆重量,求平衡时摆杆的位置。

解该系统具有两个自由度,取θ和φ为广义坐标,则对应于广义坐标的虚位移分别为δθ和δφ。在图14-12所示的坐标系,有

对坐标求变分,得

由虚功方程,有

将虚位移代入并整理,得

由于变分δθ、δφ彼此独立,欲使上式成立,必有

由此求得图14-12

【例14-4】如图14-13所示,在螺旋压榨机的手柄AB上作用一水平面内的力偶(F,F'),其力偶矩M=2Fl,螺杆的螺距为h。求机构平衡时加在被压榨物体上的力。

解以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象。构件间的摩擦略去不计,则系统的约束是理想的。

设手柄转过角度为δφ,则螺杆和压板向下的位移为δs。由虚功方程得作用于手柄上的力偶(F,F')、被压物体对压板的阻力FN所做虚功之和为图14-13

【例14-5】机构如图14-14所示,不计构件自重及各处摩擦,求在图示位置平衡时,主动力偶矩M与主动力F之间的关系。图14-14

【例14-6】图14-15所示为静定多跨连续梁,梁重忽略不计。作用在其上的荷载为F1=25kN,F2=30kN,q=5kN/m,M=12kN·m。求支座E的约束反力。图14-15

可应用虚位移原理求解质点系平衡问题的类型有主动力之间的关系、平衡位置、内力、约束反力等。在此过程中,关键是要找出各虚位移之间的关系,在具体应用中有几何法、变分法以及运动学方法(如刚体平面运动的速度瞬心法、速度投影法、基点法,点的合成运动方法等)。视具体问题采用相应的方法,有的例题可一题多解。

思考题

14-1什么叫虚位移?它与实位移有何不同?14-2在应用虚位移原理给质点系以虚位移时,为什么特别强调虚位移必须是为约束所允许的无限小的位移?14-3思考题14-3图所示的机构均处于静止平衡状态,试问图中所给各虚位移有无错误?如有错误,应如何改正?思考题14-3图

14-4应用虚位原理的