理论力学课件：刚体的基本运动

刚体的基本运动6.1刚体的平行移动6.2刚体的定轴转动6.3转动刚体内各点的速度和加速度6.4定轴转动刚体的传动问题6.5刚体的角速度和角加速的矢量表示点的速度和加速度的矢积表示思考题

6.1刚体的平行移动

工程中某些物体的运动,例如,图6-1所示的沿直线轨道行驶车辆的车厢运动、摆式选矿筛的运动等,都有一个共同的特点,即如果在物体内任取一直线段,在运动过程中这条直线段始终与它的最初位置平行。刚体的这种运动称为平行移动,简称平动或平移。刚体平动时,若刚体内任一点的轨迹是直线,则称为直线平动;若任一点的轨迹是曲线,则称为曲线平动。图6-1(a)所示的车厢做直线平动,而图6-1(b)所示的筛体做曲线平动。图6-1

设刚体做平动。如图6-2所示,在刚体内任选两点A和B,令点A的矢径为rA,点B的矢径为rB,则两条矢端曲线就是两点的轨迹。由图可知图6-2

式(6-1)两边对时间t求导数,因为常矢量rAB的导数等于零,于是有

即

6.2刚体的定轴转动

工程中常见的齿轮、机床的主轴、电机的转子等运动都有这样的一个共同特点,即它们运动时,在其体内(或体外)有一条直线始终保持不动,这种运动称为刚体的定轴转动,这条固定不动的直线称为转轴。显然,刚体内不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内做圆周运动。

下面研究定轴转动刚体的运动规律。设有一刚体绕z轴转动,要确定转动刚体在任一瞬时的位置,过z轴作固定的半平面Ⅰ、半平面Ⅱ固结在转动刚体上,如图6-3所示。图6-3

【例6-1】已知汽轮机在启动时,主动轴的转动方程为φ=πt3,式中φ以rad计,t以s计。求t=3s时的角速度和角加速度。

解因转动方程已知,将它对时间t求导即可求出角速度和角加速度,即

将t=3s代入,得

【例6-2】机器启动时,飞轮做匀加速转动,转过20s后,转速从0增至150r/min。求飞轮的角加速度及它在20s内转过多少转?

6.3转动刚体内各点的速度和加速度

当刚体绕定轴转动时,其上任一点M在垂直于转轴的平面内做圆周运动,圆心在转轴上,转动半径R为点M到转轴的距离。由于运动轨迹已知,可采用自然法来研究M点的运动。取固定平面Ⅰ与该圆周的交点O'为弧坐标的原点,以φ角增加方向为正,如图6-4所示。图6-4

在任一瞬时t,点M的位置用弧坐标来确定

式中,R为点M到轴心O的距离。

点M的速度大小为

即刚体转动时,其上任一点的速度大小等于刚体的角速度与该点到转轴线的距离的乘积,速度的方向沿该点圆周的

切线方向并指向转动的一方。

图6-5

当ω与α转向相同时,刚体做加速转动,点的切向加速度

at

与速度v的指向相同;当ω与α转向相反时,刚体做减速转

动,at

与v的指向相反,如图6-6所示。图6-6

点M全加速度a的大小为

其方向如图6-6所示。

由于刚体转动的α、ω的瞬时值为一定值,由式(6-15)可知任一瞬时转动刚体内点的加速度的大小按线性规律分布,即点的加速度的大小与该点到转轴的距离成正比,如图6-7所示。图6-7

【例6-3】一半径R=0.2m的圆轮绕定轴O沿逆时针方向转动,如图6-8所示。轮的转动方程φ=-t2+4t(φ以rad计,t以s计)。该轮缘上绕有一柔软的绳索(伸长量忽略不计),绳索端部挂一重物A。试求当t=1s时,轮缘上任一点M和重物A的速度与加速度。图6-8

1.齿轮传动

齿轮作为传动部件在机械中常被使用。例如,使用齿轮将电动机的转动传到机床的主轴,齿轮传动带动表针的转动等。

现以一对啮合的圆柱齿轮为例来研究齿轮的传动问题。圆柱齿轮传动分为外啮合(见图6-9(a))和内啮合(见图6-9(b))两种。

6.4定轴转动刚体的传动问题图6-9

2.皮带轮传动

在工程中,常见到电动机通过皮带使变速箱的轴转动的例子,如图6-10所示。设主动轮、从动轮的半径分别为r1、r2,角速度分别为ω1、ω2。

在传动过程中,如不考虑胶带的厚度,设皮带不可伸长且无相对滑动,则有下列关系式:

于是皮带轮的传动比公式为

即两轮的角速度与其半径成反比。图6-10

【例6-4】卷扬机传动机构如图6-11所示。已知电机转速n=985r/min,各齿轮齿数分别为z1=17,z2=80,z3=19,z4=81。求齿轮4的角速度。图6-11

解电动机的角速度为

6.5刚体的角速度和角加速的矢量表示

点的速度和加速度的矢积表示

绕定轴转动刚体及刚体内各点的运动还可用矢量分析的方法来研究。一般情况下,描述刚体定轴转动时,常用转动方程φ、转动角速度ω及角加速度α来说明。在矢量分析方法中,ω、α可用向量来表示。图6-12

于是有结论:绕定轴转动刚体上任一点的速度,可用刚体的角速度矢量与该点矢径的矢量积来表示。图6-13

由右手螺旋法则得知,其方向与法向加速度an的方向相同,如图6-13(c)所示。即

于是有结论:转动刚体内任一点的加速度等于其切向加速度与法向加速度的矢量和,其中切向加速度等于刚体的角加速度矢与该点矢径的矢量积,而法向加速度等于刚体的角速度矢与该点的速度矢的矢量积。图6-14

解(1)由于刚体的运动,固结在其上的动坐标系的单位矢量i'、j'和k'的大小不变,但其方向在变化。由式(6-21)有其端点的速度为

以上三式也称为泊松公式,图6-14(a)中只画出了矢量k'端点的速度vk'。

思考题

6-1点做直线运动与刚体的平动有无区别?6-2如果刚体上每一点轨迹都是圆,则刚体一定做定轴转动。这句话对吗?6-3以ω表示定轴转动刚体的角速度,则它在t秒内的转角为φ=ωt。这一公式是否正确?在什么条件下才是正确的?6-4有人说:“刚体绕定轴转动时,角加速度为正表示加速转动,角加速度为负表示减速转动。”对吗?为什么?

6-5飞轮做匀速转动,若其直径增大一倍,轮缘上点的速度和加速度是否都增大一倍?若飞轮角速度增大一倍,轮缘上点的速度和加速度是否也增大一倍?

6-6-如思考题6-6图所示,绕在鼓轮上的绳子的一端系一重物M,当重物下降时,问绳上的两点A和B与轮缘上对应的两点C和D的速度和加速度是否相同?思考题6-6图

6-7如思考题6-7