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文档简介

7.5内容回忆可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令令连续n次不定积分(且不要常数)为n-1次多项式.整理ppt第六节高阶线性微分方程解的结构

二、线性齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构

*四、常数变易法〔略〕一、高阶线性微分方程的概念

第七章整理pptn阶线性微分方程的一般形式为称为二阶线性微分方程.

时,称为非齐次方程;

时,称为齐次方程.一、高阶线性微分方程的概念复习:

一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y整理ppt证毕二、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得(叠加原理)

定理1.整理ppt说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解

并不是通解但是那么为解决通解的判别问题,

下面引入函数的线性相关与

线性无关概念.

整理ppt定义:是定义在区间I上的

n个函数,使得那么称这n个函数在I上线性相关,否那么称为线性无关.例如，

在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，假设在某区间I上那么根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都

线性无关.假设存在不全为0的常数整理ppt两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使(无妨设线性无关常数思考:中有一个恒为0,那么必线性相关整理ppt定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,那么数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为推论.是n阶齐次方程

的n个线性无关解,

那么方程的通解为整理ppt三、线性非齐次方程解的结构

是二阶非齐次方程的一个特解,

Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.那么是非齐次方程的通解.证:将代入方程①左端,得②①整理ppt是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,

方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②是通解.整理ppt定理4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)

定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.

整理ppt定理5.是对应齐次方程的n个线性无关特解,

给定n阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,那么非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解整理ppt常数,那么该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,

是任意例1.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89考研)整理ppt例2.微分方程个解求此方程满足初始条件的特解

.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无

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