小船过河模型 精讲精练-2022届高三物理一轮复习疑难突破微

—.必备知识

1.模型构建

(1)常规简单模型：实际运动是匀速直线运动

在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。若其中一

个分运动的速度大小和方向都不变，另一个分运动的速度大小不变，方向在180°范围内(在

速度不变的分运动所在直线的一侧)变化，我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题

进行研究。这样的运动系统可看成“小船渡河模型”。

(2)较复杂模型：实际运动是曲线运动

水速不变，但船在静水中速度变化；或者船在静水中速度不变，但水速大小变化。

2.模型特点

(1)船的实际运动是随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。

(2)三种速度：船在静水中的速度『船、水的流速乙心船的实际速度-合。

3.实际运动是匀速直线运动的两类问题、三种情景

r///////////////////

当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，

渡河时间最短/1

5最短时间tin=—

决1mO船

X/ZZZ/ZZZZZZzVZZZZZZ4

如果。®>v*,当船头方向与上游河岸夹角

:、，。满足cos水时，合速度垂直河岸，

渡河位移最短，等于河宽d

渡河位移最短ZZZZ/Z

，〃/〃〃//〃〃〃，/《〃/

如果V船<0水，当船头方向(即V船方向)与合

d

，〃，〃，，，，)速度方向垂直时，渡河位移最短，等于如

2\，

4.分析思路

5.解题方法：

小船渡河问题有两类：一是求渡河时间，二是求渡河位移。无论哪类都必须明确以下

四点：

(1)解决问题的关键：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运

动。船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。

(2)运动分解的基本方法：按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指

向分解。

(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。求解渡河时间，一般根

这&超

据运动的独“性，£=仁=嫁=给。

(4)求最短渡河位移时，当水速小于船速时即为河宽，当水速大于船速时，根据船速丫船

与水流速度联的情况用三角形定则求极限的方法处理。

二.例题精讲

题型一：实际运动是匀速直线运动的最短过河时间与最小位移问题

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例1：一小船渡河，河宽(7=180m,水流速度r,=2.5m/s。

(1)若船在静水中的速度为皈=5m/s,欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？

用多长时间？位移是多少？

(2)若船在静水中的速度为性=5m/s,欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多

长时间？位移是多少？

(3)若船在静水中的速度为皈=1.5m/s,要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用

多长时间？位移是多少？

［解析］(1)若玲=5m/s,欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船头垂

直河岸时，如图甲所示，合速度沿倾斜方向，垂直河岸分速度为

r±=均=5m/so

dd180

方=五=铲可s=36s

0.而+谥=5\am/s

x=p合t=90y^m。

(2)若上=5m/s,欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向。船头应朝图乙中的

上方向。

垂直河岸过河要求匕/=0,如图乙所示，有^sina=n,得。=30°°

所以当船头与上游河岸成60。角时航程最短，

x=d=180m

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dd180

Z=7T=口cos30。=g-s=24噂So

却

(3)若丹=L5m/s,与(2)中不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速

d

度方向与河岸下游方向夹角为a,则航程才=示7，欲使航程最短，需a最大，如图丙所

示，由出发点力作出片矢量，以%矢量末端为圆心，均大小为半径作圆，力点与圆周上某点的

连线为合速度方向，欲使-合与河岸下游方向夹角最大，应使人与圆相切，即入，侬

丙

v23

sinQ=%=5，得［=37。

所以船头应朝与上游河岸成53°角方向。

d180

t=vcosa=TT^s=150s

d

x=sinQ=300m。

［答案］(1)船头垂直于河岸36s90mm

(2)船头与上游河岸成60°角24小s180m

(3)船头与上游河岸成53°角150s300m

题型二：不同位置的水速大小不同

例2：.如图所示，河水由西向东流，河宽为800m,河中各点的水流速度大小为。水，各

点到较近河岸的距离为x,。水与x的关系为。加=篇(向9(》的单位为m),让小船船头垂直河

岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为。婚=4m/s,则下列说法中正确的是()

北_____________

A.小船渡河的轨迹为直线

版

第4页，共12页—r

B.小船在河水中的最大速度是5m/s

C.小船在距南岸200m处的速度小于在距北岸200m处的速度

D.小船渡河的时间是160s

答案B

解析小船在南北方向上为匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后再减速，速

度与加速度不共线，小船的合运动是曲线运动，A错.当小船运动到河中间时，东西方向上

的分速度最大，为3m/s,此时小船的合速度最大，最大值Om=5m/s,B对.小船在距南岸

200m处的速度等于在距北岸200m处的速度，C错.小船的渡河时间f=不病=200s,D

错.

题型三：船在静水中速度变化

例3：一只小船渡河，运动轨迹如图所示。水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于河

岸；小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船的初速度大小均相同，方向

垂直于河岸，且船在渡河过程中船头方向始终不变。由此可以确定船（）

CBD

----►水流方向

__________

~A-

A.沿4。轨迹运动时，船在垂直于河岸方向做匀减速直线运动

B.沿三条不同路径渡河的时间相同

C.沿AB轨迹渡河所用的时间最短

D.沿4c轨迹船到达对岸的速度最小

答案:A

［解析］当沿轨迹AD运动时，则加速度方向与垂直河岸方向的速度方向相反，因此船垂

直河岸方向做匀减速直线运动，故A正确；船相对于水的初速度大小均相同，方向垂直于河

岸，因运动的性质不同，故渡河时间也不同，故B错误；沿AB轨迹渡河，船垂直河岸方向做

匀速直线运动，渡河所用时间大于沿AC轨迹渡河时间，沿AC轨迹，船是匀加速运动，到达

对岸的速度最大，C、D错误。

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三.举一反三，巩固练习

1.如图所示，河水流动的速度为。且处处相同，河宽度为%在船下水点4的下游距离为方

处是瀑布.为了使小船渡河安全（不掉到瀑布里去），则（）

A.小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为

B.小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大,最大速度为。

C.当小船沿轨迹A8渡河时，船在静水中的最小速度为。min=t

av

D.当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为小in=

yja2+h2

2.一艘船以相对静水的速度心用最短的时间渡河，另一艘船以相对静水的速度”从同一

地点以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合（设河水速度保持不变），则两船过河所用的时间

之比是（）

A.匕।：vBB.vB：%

C.J：/D.J：J

3.（多选）一条宽为人的河流，河水流速为匕，船在静水中的速度为如匕、外均不等于

零。设船头的指向与上游河岸的夹角为0,要使船划到对岸时航程最短，则0可能满足

（）

VzV2

A.sinB.tan0—~tC.cos0D.cos0

4.如图所示，一条河岸笔直的河流水速恒定，甲、乙两小船同时从河岸的/点沿与河岸

的夹角均为0的两个不同方向渡河。己知两小船在静水中航行的速度大小相等，则下列说法

正确的是（）

上游8下游

第6页，共12页”水.

“甲％：乙

A

A.甲先到达对岸

第6页，共12页

B.乙先到达对岸

C.渡河过程中，甲的位移小于乙的位移

D.渡河过程中，甲的位移大于乙的位移

5.如图所示，一艘轮船正在以4m/s的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速

度都相同，其大小为匕=3m/s,行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同。某时

刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终

未发生变化。求：

(1)发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小；

(2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值。_______2：__________

6.一小船从河岸的/I点出发渡河，小船保持与河岸垂直方向航行，经过lOmin到达河对

岸6点下游120nl的，处，如图所示。如果小船保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成。角方

向航行，则经过12.5min恰好到达正对岸的6处。求：

(1)水流速度；--------0-------J

(2)。角的度数；„:

(3)河的宽度。

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四.举一反三，巩固练习参考答案

1.如图所示，河水流动的速度为。且处处相同，河宽度为4.在船下水点A的下游距离为人处是

瀑布.为了使小船渡河安全（不掉到瀑布里去），则（）

A.小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为

B.小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大，最大速度为Omax=

b

C.当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为。min=£

av

D.当小船沿轨迹A8渡河时，船在静水中的最小速度为。min=

yla2+h2

答案D

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解析小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为，F，故选项A错误；小船轨迹垂直河

岸渡河，位移最小，大小为出但船头必须指向上游，合速度不是最大，故选项B错误；小船

av

沿轨迹AB运动，船在静水中的速度最小时,速度方向与AB垂直,可得Omin=故选

yja2+h2

项C错误，D正确.

2.一艘船以相对静水的速度匕用最短的时间渡河，另一艘船以相对静水的速度幺从同一

地点以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合（设河水速度保持不变），则两船过河所用的时间

之比是（）

A.孙：%B.%：匕

厂2・2

C.vA.VfiI),VB:VA

答案D

解析两船轨迹重合，知合速度方向相同，根据题意，匕

垂直于河岸，幺与合速度方向垂直，如图，两船的合位移相

山匕洽

等，则两船渡河时间之比等于两船合速度的反比，即£=之

VB

tangVBNVBVB

=v=[cos。，而r==tan，=sin。，即cos6=%所

sin9

.VB

以£=三，故D正确，A、B、C错误。

3.（多选）一条宽为人的河流，河水流速为％船在静水中的速度为外，匕、外均不等于

零。设船头的指向与上游河岸的夹角为0,要使船划到对岸时航程最短，则0可能满足

（）

.V2

A.sin—y2B.tan。%

V2V\

C.cos夕=匕D.cos，=七

答案CD

解析由题意可知，若船在静水中的速度大于河水流速，即匹〉匕，当船的合速度垂直河

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Vl

岸时，航程最短，如图1所示，则有cos，=X；若船在静水中的速度小于河水流速，即

第9页，共12页

V2

M,当船的合速度垂直船在静水中的速度时，航程最短，如图2所示，则有cos，=%。

故C、D正确，A、B错误。

4.如图所示，一条河岸笔直的河流水速恒定，甲、乙两小船同时从河岸的A点沿与河岸

的夹角均为0的两个不同方向渡河。已知两小船在静水中航行的速度大小相等，则下列说法

正确的是()

A.甲先到达对岸上游8下游

B.乙先到达对岸

出水

C.渡河过程中，甲的位移小于乙的位移一j-

D.渡河过程中，甲的位移大于乙的位移_______3及________

A

答案C

解析两小船在静水中航行的速度大小相等，且渡河方向与河岸夹角均为0,所以船速

在垂直于河岸方向上的分速度相等；根据运动的独立性，船在平行于河岸方向上的分速度不

影响过河时间，所以甲、乙两船同时到达对岸，故A、B错误。甲船在平行河岸方向上的分速

度大小为：/甲〃=|/水一r甲cos，|,乙船在平行河岸方向上的分速度大小为：vZ.H-V^-\-vZ.

COS0t两船在平行河岸方向上的分位移分别为X甲〃=r甲〃XLH=VLwt,则X乙〃>A'甲又

两船在垂直河岸方向上的分位移相同，则渡河过程中，甲的位移小于乙的位移，故C正确，D

错误。

5.如图所示，一艘轮船正在以4m/s的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速

度都相同，其大小为匕=3m/s,行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同。某时

刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终

未发生变化.求：

(1)发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小;

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(2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值。

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答案(1)5m/s(2)2.4m/s

解