（课件）5.4.2正弦函数余弦函数的性质

第五章三角函数TrigonometricFunction

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质周

始

而

复5.4.2正弦函数、余弦函数的性质5.4.2正弦函数、余弦函数的性质1.通过周期性的研究，培养逻辑推理素养．2．借助奇偶性、对称性及图象的关系，提升直观想象素养.核心素养学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义．2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．3．掌握y＝sinx，y＝cosx的奇偶性和对称性，会判断简单三角函数的奇偶性和对称性．问题1：类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值等.5.4.2正弦函数、余弦函数的性质定义域:R

值域:[-1,1]一、周期性一周有七天一年有四季昼夜更替周而复始的变化规律周期性三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型周期性

一般地，设函数

f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且

f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.问题2：什么是周期函数？什么是周期？问题3：正弦函数是否为周期函数？依据是什么？（从形和数方面）一、周期性周期性问题3：正弦函数是否为周期函数？依据是什么？（从形和数方面）横坐标每隔_____个单位长度，图象会重复出现。x6yo--12345-2-3-41

利用诱导公式________________.图形代数一、周期性2πsin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)即自变量x的值增加2π整数倍时所对应的函数值，与x所对应的函数值相等.周期性问题4：正弦函数周期是多少？由sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)，得正弦函数周期为2kπ(k∈Z且k≠0)追问：正弦函数周期唯一么？对于一般的周期函数f(x)

，如果常数T是这个函数的一个周期,那么kT(k∈Z,k≠0)

也是

f(x)

的周期.一、周期性2π，4π，6π以及-2π，-4π，-6π等周期性问题5：在正弦函数的所有周期中，是否存在一个最小的正数？正弦函数周期为2kπ(k∈Z且k≠0)，

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

如果不加特别说明，今后本书中所涉及的周期，都是指最小正周期.并不是所有的周期函数都有最小正周期，例如常函数.一、周期性当k=1时得到最小的正数为2π.注：周期性问题6：你能类比正弦函数的周期性，讨论：①余弦函数是否为周期函数？依据是什么？周期是多少？最小正周期是多少？②知道了一个函数的周期，对研究它的图象和性质有什么帮助？余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.x6yo--12345-2-3-41

y=cosx一、周期性周期性【解析】(1)∀x∈R，有3sin(x＋2π)＝3sinx，由周期函数的定义可知，函数y＝3sinx的周期为2π．【解析】(2)令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cosz的周期为2π，即cos（z＋2π）＝cosz，于是cos(2x＋2π)＝cos2x，所以cos2(x＋π)＝cos2x，x∈R．由周期函数的定义可知，函数y＝cos2x的周期为π．一、周期性【例1】求下列函数的周期：

周期性【例1】求下列函数的周期：

一、周期性周期性追问：根据例1，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？函数的周期与自变量x的系数有关

最小正周期为：T＝(

ω>0)一、周期性周期性一、周期性周期性【例1】求下列函数的周期：2π．π．

最小正周期为：T＝(

ω>0)

一、周期性二、奇偶性+对称性问题7：观察正弦曲线和余弦曲线具有怎样的对称性?关于原点对称关于y轴对称图形代数追问：反映出正、余弦函数的什么性质?怎么用代数证明？正弦函数是奇函数余弦函数是偶函数奇偶性+对称性x6yo--12345-2-3-41

问题8：观察正弦曲线和余弦曲线，它们还有其他对称轴和对称中心么？

追问：找出正弦函数在的对称轴和对称中心.

二、奇偶性+对称性奇偶性+对称性x6yo--12345-2-3-41

问题8：观察正弦曲线和余弦曲线，它们还有其他对称轴和对称中心么？

二、奇偶性+对称性追问：找出正弦函数在的对称轴和对称中心.

奇偶性+对称性

问题8：观察正弦曲线和余弦曲线，它们还有其他对称轴和对称中心么？x6yo--12345-2-3-41

y=cosx

二、奇偶性+对称性奇偶性+对称性【例2】：求函数的对称轴和对称中心

二、奇偶性+对称性奇偶性+对称性三、课堂达标A．周期为π的奇函数

B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数

4．若函数y＝f(x)是以2为周期的函数，且f(5)＝6，则f(1)＝________6四、课堂小结这堂课你收获了什么知识？你是怎样获得这些知识的？在获得这些知识过程中用到了哪些思想方法？你还有哪些疑惑？知识方面：思想方法：正弦函数余弦函数函数图象定义域值域[-1,1][-1,1]周期2π2π奇偶性奇函数偶函数对称性对称轴对称中心RR四、课堂小结四、课堂小结这堂课你收获了什么知识？你是怎样获得这些知识的？在获得这些知识过程中用到了哪些思想方法？你还有哪些疑惑？知识方面：

1、y＝sinx，y＝cosx