专题06向心力和向心加速度（精讲）

►第六章圆周运动专题06向心力和向心加速度◆网络构建◆重点重点全归纳一：向心力1.做匀速圆周运动的物体所受的指向圆心的力2．公式：Fn＝eq\f(mv2,r)和Fn＝mrω2.3．方向向心力的方向始终指向圆心，由于方向时刻改变，所以向心力是变力．4．效果力向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力．5.作用效果改变线速度的方向。由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小。二：向心加速度的定义1．定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度．2．公式：①an＝eq\f(v2,r)；②an＝ω2r.3．方向：沿半径方向指向圆心，时刻与线速度方向垂直．三：变速圆周运动和一般曲线运动1．变速圆周运动变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，合外力一般产生两个方面的效果：(1)合外力F跟圆周相切的分力Ft，此分力产生切向加速度at，描述速度大小变化的快慢．(2)合外力F指向圆心的分力Fn，此分力产生向心加速度an，向心加速度只改变速度的方向．2．一般曲线运动的处理方法一般曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧．圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的半径．这样，质点沿一般曲线运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理．把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．四：向心加速度的方向及意义1．物理意义描述线速度改变的快慢，只表示线速度的方向变化的快慢，不表示其大小变化的快慢．2．方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变．3．圆周运动的性质不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动．“匀速圆周运动中”的“匀速”应理解为“匀速率”．4．变速圆周运动的向心加速度做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢．所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心．对于变速圆周运动，如图所示，物体加速度的方向不再指向圆心，但其中一个分加速度的方向指向圆心，为向心加速度，仍满足公式an＝eq\f(v2,r)＝ω2r，其作用仍然是改变速度的方向。无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动都有向心加速度，且方向都指向圆心。技巧技巧会运用一、解决圆周运动问题的主要步骤二：向心加速度的公式和应用1．公式an＝eq\f(v2,r)＝ω2r＝eq\f(4π2,T2)r＝4π2n2r＝4π2f2r＝ωv.2．向心加速度的大小与半径的关系(1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比．随频率的增大或周期的减小而增大．(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．(3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．(4)an与r的关系图象：如图所示．由an­r图象可以看出：an与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定．题型题型易突破题型1向心力典例如图甲所示为游乐场中一种叫“魔盘”的娱乐设施，简化模型如图乙，魔盘侧面与水平面的夹角为。质量为的游客随魔盘以角速度一起转动，半径为，已知重力加速度大小为，则游客典例A．受到重力、支持力、摩擦力、向心力四个力的作用 B．受到的支持力一定小于 C．受到的摩擦力可能小于 D．受到魔盘作用力的大小为【答案】【解答】解：．游客受自身重力、支持力、摩擦力三个力的作用，向心力是效果力，不是游客受到的力。故错误；．对游客进行受力分析，如图水平方向根据牛顿第二定律可得：竖直方向，有解得，可知受到的支持力一定小于，受到的摩擦力一定大于。故正确；错误；．重力和魔盘作用力的合力提供向心力，由平行四边形定则可知受到魔盘作用力的大小为：故错误。故选：。【跟踪练1】如图所示，某同学设计了如下实验装置研究向心力，轻质套筒和质量为的小球通过长度为的轻杆及铰链连接，套筒套在竖直杆上与原长为的轻质弹簧连接，小球可以沿水平槽滑动，让系统以某一角速度绕匀速转动，球对水平槽恰好无压力，此时轻杆与竖直方向夹角。已知弹簧的劲度系数为，弹簧始终在弹性限度内，不计一切摩擦，，则系统转动的角速度为A． B． C． D．【跟踪练2】如图所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，质量为，运动半径为，角速度大小为，重力加速度为。下列说法正确的有A．老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用 B．老鹰受空气对它的作用力大小为 C．老鹰线速度的大小为 D．老鹰运动的周期为【跟踪练3】2022年北京冬奥会，花样滑冰团体赛冰上舞蹈自由舞比赛在首都体育馆举行。图甲为中国选手王诗玥（右）、柳鑫宇比赛时的面面，可以看到女运动员被拉着在空中做圆锥摆运动，图乙与该场景类似，其中细绳下端拴着一个质量为m的小球，使小球在水平面内做圆锥摆运动，不考虑空气阻力的影响，关于小球的受力，下列说法正确的是（）A．小球除了受重力、细线的拉力，还受到向心力 B．小球受重力和细线的拉力 C．θ角越大，小球做圆锥摆运动所需要的向心力越小 D．绳长越长，小球做圆锥摆运动所需要的向心力越大【跟踪练4】如图所示，可视为质点的小球用轻质细绳悬挂于B点，使小球在水平面内做匀速圆周运动。现仅增加绳长，保持轨迹圆的圆心O到悬点B的高度不变，小球仍在水平面内做匀速圆周运动。增加绳长前后小球运动的角速度、加速度以及所受细绳的拉力大小分别为ω1、a1、F1和ω2、a2、F2。则（）A．ω1＝ω2 B．a1＞a2 C．F1＝F2 D．F1＞F2参考答案参考答案1．【答案】【解答】解：球对槽恰好无压力时，此时弹簧的压缩量为，对分析有：根据牛顿第二定律有：代入数据解得：，故错误，正确。故选：。2．【答案】【解答】解：．对老鹰受力分析，老鹰受到的重力与空气对它的作用力的合力提供老鹰做圆周运动的向心力，故错误；．老鹰做匀速圆周运动的向心力为：老鹰受空气对它的作用力大小为：即为：故正确；．根据线速度角速度关系式，老鹰线速度的大小为故正确；．根据角速度、周期公式，老鹰运动的周期故错误。故选：。3．【答案】B【解答】解：AB．小球只受重力和绳子的拉力两个力作用，向心力是重力和绳子的拉力提供，不是小球实际受到的力，故A错误，B正确；CD．小球受力情况如图所示：向心力F向＝mgtanθ，θ角越大，做圆锥摆运动所需要的向心力越大，向心力大小与绳长无关，故CD错误。故选：B。4．【答案】A【解答】解：A、对小球受力分析，如下图所示：绳子的拉力和重力的合力提供向心力，有mgtanθ＝mω2R＝mω2htanθ，解得，仅增加绳长，保持轨迹圆的圆心O到悬点B的高度h不变，则角速度不变，即ω1＝ω2，故A正确；B、F合＝mgtanθ＝ma，a＝gtanθ，由于增加了绳长而高度h不变，即增大了角度θ，则加速度变大，a1＜a2，故B错误；CD、根据受力分析可知，θ增大则F增大，有F1＜F2，故C错误；故D错误。故选：A。题型2向心加速度典例转笔深受广大中学生的喜爱，如图所示，假设某转笔高手能让笔绕其上的某一点做匀速圆周运动，下列有关转笔中涉及到的物理知识的叙述正确的是典例A．笔杆上各点线速度大小相同 B．笔杆上各点周期相同 C．笔杆上的点离点越远，角速度越小 D．笔杆上的点离点越远，向心加速度越小【答案】【解答】解：．由题意知，笔上各点转动一圈所用时间相等，所以各点的周期相等，因为，所以离越远的点半径越大，线速度越大，故错误，正确；．因为，故各点的角速度相等，故错误；．因为，所以离点越远，向心加速度越大，故错误；故选：。【跟踪练1】转篮球是中学生喜爱的一项娱乐项目。如图所示，某同学让篮球在他的手指正上方匀速转动，下列说法正确的是A．篮球上离转动轴距离相等的各点线速度相同 B．篮球上各点做圆周运动的圆心均在球心处 C．篮球上各点做圆周运动的角速度不相等 D．篮球上各点离转轴越近，做圆周运动的向心加速度越小【跟踪练2】如图所示，撑开的雨伞上、两点到伞轴的距离分别为、，且。当转动雨伞使、两点绕伞轴做匀速圆周运动时，、两点的A．周期之比为 B．角速度之比为 C．线速度之比为 D．向心加速度之比为【跟踪练3】如图所示，小金属球的质量为，用长为的轻悬线固定于点，在点的正下方处钉有一颗钉子，把悬线沿水平方向拉直。若小金属球被无初速度释放，当悬线碰到钉子后的瞬间（设线没有断），则A．小球的角速度保持不变 B．小球的线速度突然减小 C．小球的加速度突然增大 D．悬线的张力等于重力【跟踪练4】如图，竖直放置的正三角形框架，绕过框架顶点的竖直轴匀速转动，、为框架上的两点，用、分别表示、两点的向心加速度大小。则、的大小关系为A． B． C． D．无法确定参考答案参考答案1．【答案】【解答】解：、篮球上离转动轴距离相等的各点线速度大小相等，方向不相同，故错误；、篮球上各点做圆周运动的圆心在转动轴上，不一定在球心处，故错误；、篮球上各点做同轴传动，角速度相同，故错误；、篮球上各点角速度相同，由得，篮球上各点离转轴越近，运动半径越小，做圆周运动的向心加速度越小，故正确。故选：。2．【答案】【解答】解：、、两点以相同的角速度绕伞轴做匀速圆周运动时，根据，可知两点的周期相同，故错误；、线速度，，可知点的线速度比点的线速度大，故错误；、根据