吉林大学大学物理下第10章振动

大学物理学(下)吉林大学公共物理教学与研究中心王志军李四光实验楼315

大学物理学(下)吉林大学公共物理教学与研究中心王志军李四光实验楼217

大学物理学(下)30一月2024吉林大学物理教学中心课程说明学时：本学期60+4学时，3.5学分内容：大学物理学（下册）考核：平时成绩：15%

演示实验：5%

期末考试：80%30一月2024吉林大学物理教学中心周知第六周开始答疑（10月8日以后）答疑时间：周一至周四下午二点前答疑地点：李四光实验楼217

(大学物理教研室)

欢迎浏览大学物理精品课网页。网址：/new群号：115857902群名片：学院+班+姓名30一月2024吉林大学物理教学中心要求上课准时，不迟到，不早退，不旷课。按时独立完成作业。作业清晰，工整。

注意上课时，老师对课程内容的要求等级。掌握(A)

(最高要求：会推导及应用)理解(B)

(一般要求：不要求推导、要求会应用)了解(C)

(较低要求：知道实验现象、能定性说明,但近代物理中要求会直接套公式计算)

(D)

不讲内容(自学)。30一月2024吉林大学物理教学中心第10章振动简谐振动几种简谐振动系统简谐振动的合成振动的分解与频谱分析（不讲）阻尼振动受迫振动共振4第11章机械波波动的基本概念平面简谐波波动方程波的能量能流密度惠更斯原理波的叠加原理波的干涉驻波多普勒效应6第12章电磁波电磁波电偶极子辐射电磁波电磁波谱2第13章几何光学成像原理光线及其传播的基本定律成像基本概念与光路计算高斯光学典型光学仪器4第14章光的干涉光的相干性分波阵面干涉分振幅干涉迈克耳逊干涉仪4第15章光的衍涉光的衍射现象惠更斯－菲涅耳原理夫琅禾费单缝衍射夫琅禾费圆孔衍射光学仪器的分辨本领光栅衍射伦琴射线的衍射布拉格公式全息照相（不讲）630一月2024吉林大学物理教学中心第16章光的偏振自然光和偏振光偏振片的起偏和检偏马吕斯定律反射光和折射光的偏振布儒斯特定律光双折射尼科耳棱镜（只讲第一节）偏振光的干涉旋光现象4第17章相对论基础迈克耳逊－莫雷实验与狭义相对论的基本假设洛伦兹变换狭义相对论的时空观相对论质点动力学方程相对论能量6第18章波粒二象性热辐射普朗克能量子假说光电效应爱因斯坦光子假说原子光谱玻耳原子理论实物粒子的波动性4第19章量子力学基础波函数及其统计解释薛定谔方程一维无限深势阱势垒隧道效应线性谐振子（不讲）氢原子电子的自旋原子的电子壳层结构分子与分子光谱（不讲）8第20章激光的物理基础自发辐射与受激辐射激光形成的原理激光的模式和高斯光束典型的激光器激光的特点与应用630一月2024吉林大学物理教学中心第十章

振动30一月2024吉林大学物理教学中心教学基本要求

一

掌握描述简谐运动的各个物理量（特别是相位）的物理意义及各量间的关系。

二掌握描述简谐运动的旋转矢量法和曲线表示法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析。

三

掌握简谐运动的基本特征，能建立一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义。

四理解同方向、同频率简谐运动的合成规律。

五

了解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件及规律。30一月2024吉林大学物理教学中心概述物体在一定位置附近作来回往复的运动，称为机械振动。如声源的振动、钟摆的摆动等。最简单、最基本的机械振动。任何一个物理量在某一定值附近作反复变化，称为振动。振动：机械振动：简谐振动：30一月2024吉林大学物理教学中心共振(简谐振动）振动受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动

振动的形式简谐振动复杂振动合成分解30一月2024吉林大学物理教学中心10.1.1简谐振动方程

物体在一定位置附近的位移变化满足简谐函数形式，称为简谐振动。二、简谐振动基本特征10.1简谐振动（A）以弹簧振子为例弹簧振子一、简谐振动(SimpleHarmonicMotion)在弹性限度内，弹性力由虎克定律(Hooke’slaw)为：由牛顿第二定律得30一月2024吉林大学物理教学中心令(w称为角频率）动力学特征：简谐振动的加速度与位移x成正比，且方向相反。有方程（10.4）的解为

式中A、j是待定常数，此式称为简谐振动的运动方程。运动学特征：位移x按余弦(或正弦)函数的规律随时间变化。三、简谐振动方程30一月2024吉林大学物理教学中心速度：加速度：位移x、速度u、加速度a三者与时间t的关系如现象所示。四、简谐振动的速度与加速度振动基本规律30一月2024吉林大学物理教学中心图图图振动曲线30一月2024吉林大学物理教学中心简谐振动的位移、速度和加速度曲线x、

、a0Ttx

2A

>0<0<0>0a<0<0>0>0减速加速减速加速

AA-A-

A-

2A

a30一月2024吉林大学物理教学中心

二、周期（Period）和频率（Frequency）一、振幅（Amplitude）振动物体离开平衡位置的最大距离。A、wA、w2A分别是位移、速度、加速度振幅。完成一次全振动所需的时间T，单位是秒（s）。10.1.2描述简谐振动的特征量注意：

周期的表示方法式中w是角频率,单位是rad·s-1。30一月2024吉林大学物理教学中心

因周期只与振动系统自身性质有关,故又称为固有周期(naturalperiod）。

物体在一秒内完成全振动的次数，单位是赫兹（Hz），用n表示。

频率只与振动系统自身性质有关,故又称为固有频率(naturalfrequency)。

频率的表示方法三、相位与初相位

(phaseandinitialphase）

wt+

为相位，

为初相位，单位是rad。30一月2024吉林大学物理教学中心

反映了振动的周期性；相位确定了振动物体运动状态。（1）相位的意义（2）初相j

，由开始时刻振动物体的运动状态决定。由运动方程可知：t=0时刻(取

或

)30一月2024吉林大学物理教学中心t时刻的相位反映t时刻的振动状态(x、

、a)

由x

=Acos(

t+

)

t+

0

/2

3

/22

x(t)

A0-A0A

(t)0-

A0

A0

a(t)-

2A0

2A0-

2A30一月2024吉林大学物理教学中心

弹簧振子的几个特殊的初始状态

0

/2

3

/22

x0

A0-A0A

00-

A0

A0

a0-

2A0

2A0-

2A30一月2024吉林大学物理教学中心

两个简谐振动的相位之差称为相位差，用Dj表示。四、相位差（Phasedifference）表示:对同频情况：

即同频率的两个简谐振动，其位相差等于它们的初相差。30一月2024吉林大学物理教学中心Dj反映两振动的步调情况：xtotox2（超前）x1x

Dj=0，同步振动(同相)；

Dj

=p，振动相反(反相)

；

Dj>0，x2振动超前;Dj<0，x1振动超前。xtoDj=p30一月2024吉林大学物理教学中心解：将例10.1一物体沿x轴作简谐振动，其振动规律为x＝Acos(wt+j)，设w=10rad·s-1，且当t＝0时，物体的位移为x0＝1m，速度为，求该物体的振幅和初位相。代入30一月2024吉林大学物理教学中心以弹簧振子为例:10.1.3

简谐振动的能量由Þìïíïî30一月2024吉林大学物理教学中心（1）动能与势能均为时间的函数,二者位相反相，二者可以相互转化，总能量是与时间t无关的恒量，谐振频率为位移振动频率的二倍。能量随时间变化能量随空间变化x振动能量30一月2024吉林大学物理教学中心

在一个周期内的平均动能与平均势能相等，各是总能量的一半。（2）考察一个周期内的动能与势能平均值30一月2024吉林大学物理教学中心10.1.4

旋转矢量（Rotationalvector）

旋转矢量的端点x

轴上的投影点的运动为简谐振动。旋转矢量参考圆

AA

t+

tt=0

xxpO·

t时刻，矢径

A

与

x轴的夹角为(wt+j)，在

x

轴上的投影为x=Acos(wt+j)。uma速度与x轴夹角为:

速度和加速度加速度为:注意：ω>1,ω<130一月2024吉林大学物理教学中心1）直观地表达振动状态优点当振动系统确定了振幅以后表述振动的关键就是相位即表达式中的余弦函数的综量而旋转矢量图可直观地显示该综量分析解析式可知用图代替了文字的叙述30一月2024吉林大学物理教学中心如文字叙述说t时刻弹簧振子质点

在正的端点旋矢与轴夹角为零

质点经二分之一振幅处向负方向运动意味意味<30一月2024吉林大学物理教学中心质点过平衡位置向负方向运动同样<0向负方向运动<0注意到：<030一月2024吉林大学物理教学中心向正方向运动或>0>0或>0>向正向运动30一月2024吉林大学物理教学中心由图看出：速度超前位移加速度超前速度2）方便地比较振动步调位移与加速度称两振动反相。30一月2024吉林大学物理教学中心3）方便计算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算例：质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧组成的弹簧谐振子

t=0时质点过平衡位置且向正方向运动求：物体运动到负的二分之一振幅处时所用的最短时间30一月2024吉林大学物理教学中心例10.2一质点在x轴上作简谐振动，振幅为A，周期为T。（1）当t＝0时，质点相对平衡位置（x=0）的位移为x0＝A/2，且向x轴正方向运动，求质点振动的初相；（2）问质点从x＝0处到x＝A/2处最少需要多少时间？解：(1)由旋转矢量法(2)如图，旋转矢量从j=-p/2逆时针转到j=-p/3处，满足时间最短要求，矢量转过了p/6角位移。最短时间相位改变Ox

A/2A30一月2024吉林大学物理教学中心

一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示，求质点的振动方程。解：由图可知A＝2cm当t＝2s，x0＝A/2u0<0xoA/2u0>0例10.3相位相位改变为角频率振动方程21230一月2024吉林大学物理教学中心10.2几种简谐振动系统（B）10.2.1

单摆与复摆1.单摆(simplependulum)：是一个理想化的振动系统，它是由一根无弹性的轻绳挂一个质点构成的。2.复摆(compoundpendulum):

绕不过质心的水平固定轴转动的刚体。单摆复摆一、定义单摆复摆30一月2024吉林大学物理教学中心重力矩转动定律q很小，摆的运动是简谐振动振动方程结论：任何平衡位置附近的微振动都可以看作是简谐振动。二、运动方程其中30一月2024吉林大学物理教学中心对于单摆周期频率单摆的合外力与弹性力类似，称为准弹性力;单摆的周期与质量无关;单摆提供了一种测量重力加速度的方法;单摆可以当作计时器。周期与频率说明：30一月2024吉林大学物理教学中心10.2.2LC振荡电路忽略电路中的电阻电能(C)磁能(L)其中方程的解LC30一月2024吉林大学物理教学中心10.3.1同频率、同方向简谐振动合成(A)合振动位移x就是x1

与x2的代数和特点：w1=w2=w,x1

//x2表示：

对如下两个振动10.3简谐运动的合成（A,B）30一月2024吉林大学物理教学中心

合成结果为频率为w的简谐振动。jx2x2x1xPMAwj1M1A1wj

2M2A2wxO由旋转矢量法得出A、j

为：30一月2024吉林大学物理教学中心则：x1

x2

xt振幅最大当A1=A2时：合振幅是2A1

；合振幅大小由初相位差决定。当A1=A2时：合振幅为0。振幅最小则：x1

x2

xt振动的合成30一月2024吉林大学物理教学中心10.3.2

同方向、同频率相近的简谐振动的合成拍(B)

为了简单起见，设两个分振动振幅相等，初相相同。合振动位移

此合振动不再是简谐振动，而是一种复杂的振动。30一月2024吉林大学物理教学中心拍现象：由两个分振动频率微小差别而产生合振动的振幅忽强忽弱的现象称为拍。随t变化缓慢随t变化较快

当都很大，且相差甚微时，可将成振动是以为振幅，以为角频率的近似谐振动。振幅位移：30一月2024吉林大学物理教学中心拍频：单位时间内加强和减弱的次数(2)合振幅变化频率——“拍频”。1秒tA2ttAA合振动振幅（包络线）变化的频率称为“拍频”(1)当近似相等，振幅随时间缓慢变化——“拍”现象，最大振幅为2A。

30一月2024吉林大学物理教学中心10.3.3振动方向垂直、同频率振动的合成(B)对两个分振动合成得到质点的轨迹方程是垂直振动的合成为椭圆轨迹方程。

合运动一般是在2A1（x向）、2A2（y向）范围内的一个椭圆。

椭圆的性质（方位、长短轴、左右旋）在A1、A2确定之后，主要决定于

j=j

2–j1。

30一月2024吉林大学物理教学中心

质点沿1、3或者2、4象限沿直线作简谐振动。

=0yx

=

yx30一月2024吉林大学物理教学中心

=3

/2

=5

/4

=

/2

=

/4P··Q质点轨迹正椭圆。质点轨迹是任意形状椭圆。(3)j2-j1为其它值振动的合成30一月2024吉林大学物理教学中心一、两分振动频率相差很小

可看作两频率相等而

D

随

t缓慢变化，合运动轨迹将按下图依次缓慢变化。

对于两个相互垂直的分振动的频率不同，它们的合运动比较复杂，且轨迹也不稳定。10.3.4

振动方向垂直、不同频率简谐振动的合成C

30一月2024吉林大学物理教学中心w1w22113322jj1p2pp234p4p5二、两分振动的频率成整数比

如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。李萨如图形30一月2024吉林大学物理教学中心10.4振动的分解与频谱分析(D)

任意一个复杂的周期性振动，都可以分解为一系列振幅不同、频率不同简谐振动的合成。

可以分解为一系列振幅不同、频率不同简谐振动。周期性振动：振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振动。

将复杂的周期性振动分解为一系列的简谐振动之和，从而确定出该振动包含的频率成分以及各种对应的振幅的方法。频谱分析：(frequencyspectrumanalysis)30一月2024吉林大学物理教学中心0w2w3w4w5w6w

按傅里叶级数展开若周期振动的最低频率为:

0则各分振动的频率为:

0、2

0、3

0分别称为(基频,二次谐频，三次谐频,…)。设周期性函数对于非周期性的振动分解成的一系列简谐振动的频率是连续的。分解是合成的逆过程30一月2024吉林大学物理教学中心10.5阻尼振动受迫振动共振(C)10.5.1阻尼振动（dampedvibration）振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。一、阻尼模型摩擦阻尼：摩擦阻力使振动系统能量逐渐转化为热能；辐射阻尼：振动系统引起临近质点的振动，使系统能量逐渐向四周辐射。阻尼模型适用于物体低速运动情况适用于物体高速运动情况g

称为阻尼系数30一月2024吉林大学物理教学中心以弹簧振子为例阻尼振动微分方程或写为定义固有角频率w0和阻尼因子b，有二、阻尼振动方程(低速)30一月