非线性有限元法-2009

非线性有限元非线性的来源材料非线性几何非线性边界非线性不再是常数矩阵

线性近似：应变与位移之间线性化处理，即B为线性应变矩阵;平衡方程的坐标系建立在平衡前初始坐标系上

非线性有限元方程组的解法≤≤≤

直接迭代法直接迭代法在点作一阶泰勒（Taylor）展开

牛顿|拉斐逊法：：：牛顿|拉斐逊法修正N-R法增量法假设载荷因子增量法欧拉〔Eulerian〕解法解的收敛性〔1〕位移收敛准那么〔2〕平衡收敛准那么〔3〕能量收敛准那么第五讲材料非线性有限元非线性弹性弹塑性屈服准那么全量理论增量理论非线性弹性为的函数矩阵，称非线性弹性矩阵。1D2D/3D直接迭代法牛顿—拉斐逊法塑性力学比弹性力学要复杂得多。在解决具体问题时，一般采用如下根本假设：1.材料是连续、均匀的；2.塑性变形局部的体积变化为零。由于一般认为体积变化是弹性的，与平均应力呈现线性关系。且体积变化本身是微小量，因此可以认为塑性变形局部的体积变化为零的不可压缩假设；3.一般情况下静水压力不影响屈服准那么和加载条件；4.不考虑时间因素对材料塑性性质的影响。几种工程经验公式1.路得维克〔Luduwik〕公式2.折线公式3.斯韦特〔Swift〕公式4.普拉格〔Prager〕公式弹塑性应力应变关系弹性状态一维：胡克定律三维：广义胡克定律塑性状态应变与应力及变形历史有关应力与应变增量的关系－增量理论比例变形时：全量理论屈服条件弹塑性应力应变关系拉伸与压缩时的应力应变曲线弹塑性力学中常用的简化模型弹性应力应变关系－广义胡克定律两个常用的屈服条件增量理论－应力与应变增量的关系全量理论〔形变理论〕拉伸与压缩时的应力--应变曲线低碳钢拉伸时的应力--应变曲线osePA0l0PABCDEOB：弹性阶段spsesssbBC：屈服阶段CD：强化阶段DE：局部变形阶段塑性阶段C's'ss''s低碳钢拉伸时的应力--应变曲线oseABCDEspsesssbC's'ss''sJ.Bauschinger效应：强化材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向提高而在相反方向降低的效应。理想J.Bauschinger效应：屈服极限在一个方向提高的数值与在相反方向降低的的数值相等。弹塑性力学常用的简化模型1.理想弹性力学模型符合材料的实际情况。数学表达式足够简单。力学模型的要求：se2.理想弹塑性力学模型sesses弹塑性力学常用的简化模型3.线性强化弹塑性力学模型see=1sessesEE1〔双线性强化力学模型〕4.幂强化力学模型n：强化指数：0n1An=1n=0弹塑性力学常用的简化模型6.线性强化刚塑性力学模型ssse〔刚塑性力学模型〕5.理想塑性力学模型seE1ss空间应力状态下的应力---应变关系依叠加原理,得:

xyzszsytxysx广义虎克定律体积应变：体积应力：体积应变与三个主应力的和成正比。体积应变与平均应力成正比。体积弹性模量偏量形式的广义虎克定律两个常用的屈服条件一、塑性力学的根本概念1.塑性力学的研究内容：研究材料塑性变形和作用力之间关系〔本构关系〕。研究在塑性变形后物体内部应力分布规律。2.塑性力学的特点：应力与应变的关系是非线性的。〔与材料有关〕应力与应变之间没有一一对应的关系。〔与加载历史有关〕在变形体中有弹性变形区和塑性变形区。〔分界线〕区分加载和卸载过程。〔加载使用塑性应力应变关系，卸载使用广义胡克定律。〕3.塑性条件〔屈服条件〕：屈服条件是材料处于弹性状态或塑性状态的判断准那么。单向拉伸时的屈服条件：考虑应力的组合对材料是否进入塑性状态的影响。弹性状态进入塑性状态ss空间应力状态：应力空间：以应力为坐标轴的空间。应力空间中每一点都代表一个应力状态。应力路径：应力空间中应力变化的曲线。AB根据不同的应力路径进行实验，可确定从弹性阶段进入塑性阶段的分界限。CDE分界面分界面：区分弹性区和塑性区的分界面。屈服条件：描述分界面的数学表达式。〔屈服函数〕工程上使用的屈服条件：Tresca屈服条件,Mises屈服条件。Tresca〔特雷斯卡〕屈服条件〔1864，法国〕在物体中，当最大剪应力到达某一极限值时，材料便进入塑性状态。1.主应力次序时：单向拉伸时：ss纯剪切应力状态时：ts1s2s30二、Tresca屈服条件2.主应力次序未知时：三个式子中，只要一个式子取等号，材料便进入塑性状态。几何表示：正六棱柱面

平面：通过坐标原点的等倾面将s1

，s2，s3向

平面投影

s

1s

2s

3120012000二、Tresca屈服条件s

1s

2s

3o

平面上的屈服轨迹：正六边形。3.平面应力状态：s1s20在主应力次序时使用方便。当主应力次序未知时，数学表达式不连续，使用不便。三、Mises屈服条件〔1913，德国〕s

1s

2s

30xy三、Mises屈服条件s

1s

2s

30xyMises条件的常用形式：〔1〕应力张量第二不变量形式：单向拉伸时：纯剪切时：三、Mises屈服条件Mises条件的常用形式：〔1〕应力张量第二不变量形式：单向拉伸时：纯剪切时：三、Mises屈服条件Mises条件的常用形式：〔2〕应力强度形式：应力强度到达单伸时材料的屈服极限时，材料便进入塑性状态。〔〕〔3〕弹性形变比能形式：〔Hencky〕三、Mises屈服条件平面应力问题的Mises条件：s1s20平面应变问题的Mises条件？屈服准那么:TrescaMises流动法那么与硬化条件屈服准那么规定了材料什么应力状态下产生屈服屈服以后的后继变形过程怎么样？－－塑性流动采用Mises屈服准那么，那么等向强化的后继屈服函数可表示为

b)随动强化模型a)等向强化模型如采用Mises屈服准那么，那么Prager随动强化的后继屈服函数为应力空间移动张量，其方向是沿现时应力点的法线方向。假设存在塑性势Q关联塑性加载、卸载准那么继续塑性加载由塑性进入弹性卸载对理想弹塑性材料是塑性加载，在此条件下可以继续塑性流动；对于硬化材料，此情况是中性变载，即仍保持在塑性状态，但不发生新的塑性流动弹塑性本构关系全量理论〔形变理论〕应变全量－应力增量理论〔流动理论〕应变增量〔速度〕－应力全量理论偏量形式的广义虎克定律应力强度应变强度由弹性力学广义胡克定律为建立塑性力学中全量理论的物理方程，需要建立以下假定：应力主方向与应变主方向重合；平均应力与平均应变成比例；应力偏量分量与应变偏量分量成比例；应力强度是应变强度的函数，而这个函数由实验确定，即Hencky理论应力偏量分量与塑性应变偏量分量成比例体积变形按弹性规律变化总应变偏量等于弹性应变偏量与塑性应变偏量之和对于不