基本不等式及其应用复习讲义

/第2节基本不等式及其应用最新考纲1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识梳理1.基本不等式：\r()≤\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中\f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，\r()称为正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)≤\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(a＋b,2)))\s\12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积是定值p，则当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2\r(p)(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，则当且仅当x＝y时，有最大值是\f(s2,4)(简记：和定积最大).[常用结论与微点提醒]1\f()＋\f()≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.2≤\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(a＋b,2)))\s\12(2)≤\f(a2＋b2,2).3\f(2,\f(1)＋\f(1))≤\r()≤\f(a＋b,2)≤\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0).4.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2与\f(a＋b,2)≥\r()成立的条件是相同的.()(2)函数y＝x＋\f(1)的最小值是2.()(3)函数f(x)＝x＋\f(4x)的最小值为4.()(4)x＞0且y＞0是\f()＋\f()≥2的充要条件.()解析(1)不等式a2＋b2≥2成立的条件是a，b∈R；不等式\f(a＋b,2)≥\r()成立的条件是a≥0，b≥0.(2)函数y＝x＋\f(1)值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(3)函数f(x)＝x＋\f(4x)的最小值为－5.(4)x>0且y>0是\f()＋\f()≥2的充分不必要条件.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.设x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为()A.80 B.77 C.81 D.82解析≤\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(x＋y,2)))\s\12(2)＝81，当且仅当x＝y＝9时取等号.答案C3.若函数f(x)＝x＋\f(1－2)(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于()A.1＋\r(2) B.1＋\r(3)C.3 D.4解析当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋\f(1－2)＋2≥2\r(（x－2）×\f(1－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝\f(1－2)(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3.答案C4.(2017·山东卷)若直线\f()＋\f()＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为.解析由题设可得\f(1)＋\f(2)＝1，∵a>0，b>0，∴2a＋b＝(2a＋b)\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(1)＋\f(2)))＝2＋\f()＋\f(4)＋2≥4＋2\r(\f()·\f(4))＝8\b\\(\\)(\a\4\\1(当且仅当\f()＝\f(4)，即b＝2a时，等号成立)).故2a＋b答案85.(教材习题改编)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为解析设矩形的长为xm，宽为ym.则x＋2y＝30，所以S＝＝\f(1,2)x·(2y)≤\f(1,2)\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(x＋2y,2)))\s\12(2)＝\f(225,2)，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝\f(15,2)时取等号.答案15\f(15,2)考点一配凑法求最值【例1】(1)若x＜\f(5,4)，则f(x)＝4x－2＋\f(1,4x－5)的最大值为；(2)函数y＝\f(\r(x－1)＋3＋\r(x－1))的最大值为.解析(1)因为x＜\f(5,4)，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋\f(1,4x－5)＝－\b\\(\\)(\a\4\\1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2\r(（5－4x）\f(1,5－4x))＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝\f(1,5－4x)，即x＝1时，等号成立.故f(x)＝4x－2＋\f(1,4x－5)的最大值为1.(2)令t＝\r(x－1)≥0，则x＝t2＋1，所以y＝\f(2＋1＋3＋t)＝\f(2＋t＋4).当t＝0，即x＝1时，y＝0；当t＞0，即x＞1时，y＝\f(1＋\f(4)＋1)，因为t＋\f(4)≥2\r(4)＝4(当且仅当t＝2时取等号)，所以y＝\f(1＋\f(4)＋1)≤\f(1,5)，即y的最大值为\f(1,5)(当t＝2，即x＝5时y取得最大值).答案(1)1(2)\f(1,5)规律方法1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.【训练1】(1)(2018·西安月考)若对任意x≥1，不等式x＋\f(1＋1)－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是.(2)函数y＝\f(x2＋2－1)(x>1)的最小值为.解析(1)因为函数f(x)＝x＋\f(1)－1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)＝x＋1＋\f(1＋1)－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)在[1，＋∞)的最小值为g(1)＝\f(1,2)，因此对任意x≥1不等式x＋\f(1＋1)－1≥a恒成立，所以a≤g(x)最小值＝\f(1,2)，故实数a的取值范围是\b\\(\\](\a\4\\1(－∞，\f(1,2))).(2)y＝\f(x2＋2－1)＝\f(（x2－2x＋1）＋（2x－2）＋3－1)＝\f(（x－1）2＋2（x－1）＋3－1)＝(x－1)＋\f(3－1)＋2≥2\r(3)＋2.当且仅当x－1＝\f(3－1)，即x＝\r(3)＋1时，等号成立.答案(1)\b\\(\\](\a\4\\1(－∞，\f(1,2)))(2)2\r(3)＋2考点二常数代换或消元法求最值(易错警示)【例2】(1)(一题多解)若正数x，y满足x＋3y＝5，则3x＋4y的最小值为；(2)(一题多解)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋＝9，则x＋3y的最小值为.解析(1)法一由x＋3y＝5可得\f(1,5y)＋\f(3,5x)＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(1,5y)＋\f(3,5x)))＝\f(9,5)＋\f(4,5)＋\f(3x,5y)＋\f(12y,5x)≥\f(13,5)＋\f(12,5)＝5(当且仅当\f(3x,5y)＝\f(12y,5x)，即x＝1，y＝\f(1,2)时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.法二由x＋3y＝5，得x＝\f(3y,5y－1)，∵x>0，y>0，∴y>\f(1,5)，∴3x＋4y＝\f(9y,5y－1)＋4y＝\f(13\b\\(\\)(\a\4\\1(y－\f(1,5)))＋\f(9,5)＋\f(4,5)－4y,5\b\\(\\)(\a\4\\1(y－\f(1,5))))＋4y＝\f(13,5)＋\f(9,5)·\f(\f(1,5)－\f(1,5))＋4\b\\(\\)(\a\4\\1(y－\f(1,5)))≥\f(13,5)＋2\r(\f(36,25))＝5，当且仅当y＝\f(1,2)时等号成立，∴(3x＋4y)＝5.(2)由已知得x＝\f(9－3y,1＋y).法一(消元法)因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3，所以x＋3y＝\f(9－3y,1＋y)＋3y＝\f(12,1＋y)＋3(y＋1)－6≥2\r(\f(12,1＋y)·3（y＋1）)－6＝6，当且仅当\f(12,1＋y)＝3(y＋1)，即y＝1，x＝3时，(x＋3y)＝6.法二∵x＞0，y＞0，9－(x＋3y)＝＝\f(1,3)x·(3y)≤\f(1,3)·\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(x＋3y,2)))\s\12(2)，当且仅当x＝3y时等号成立.设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)＝6.答案(1)5(2)6规律方法条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.易错警示(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.【训练2】(1)已知x，y均为正实数，且\f(1＋2)＋\f(1＋2)＝\f(1,6)，则x＋y的最小值为()A.24 B.32 C.20 D.28(2)(2018·石家庄质检)已知直线l：＋－＝0(a>0，b>0)经过点(2，3)，则a＋b的最小值为.解析(1)∵x，y均为正实数，且\f(1＋2)＋\f(1＋2)＝\f(1,6)，则x＋y＝(x＋2＋y＋2)－4＝6\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(1＋2)＋\f(1＋2)))(x＋2＋y＋2)－4＝6\b\\(\\)(\a\4\\1(2＋\f(x＋2＋2)＋\f(y＋2＋2)))－4≥6×\b\\(\\)(\a\4\\1(2＋2\r(\f(x＋2＋2)·\f(y＋2＋2))))－4＝20，当且仅当x＝y＝10时取等号.∴x＋y的最小值为20.故选C.(2)因为直线l经过点(2，3)，所以2a＋3b－＝0，所以b＝\f(2－3)>0，所以a－3>0，所以a＋b＝a＋\f(2－3)＝a－3＋\f(6－3)＋5≥5＋2\r(（a－3）·\f(6－3))＝5＋2\r(6)，当且仅当a－3＝\f(6－3)，即a＝3＋\r(6)，b＝2＋\r(6)时等号成立.答案(1)C(2)5＋2\r(6)考点三基本不等式在实际问题中的应用【例3】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油\b\\(\\)(\a\4\\1(2＋\f(x2,360)))升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.解(1)设所用时间为t＝\f(130)(h)，y＝\f(130)×2×\b\\(\\)(\a\4\\1(2＋\f(x2,360)))＋14×\f(130)，x∈[50，100].所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝\f(130×18)＋\f(2×130,360)x，x∈[50，100](或y＝\f(2340)＋\f(13,18)x，x∈[50，100]).(2)y＝\f(130×18)＋\f(2×130,360)x≥26\r(10)，当且仅当\f(130×18)＝\f(2×130,360)x，即x＝18\r(10)时等号成立.故当x＝18\r(10)千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26\r(10)元.规律方法1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解.【训练3】2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克.(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数.(2)要使生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？解(1)由题意，得k＋9＝10，即k＝1，生产m千克该产品需要的时间是\f()，所以y＝\f()(2＋9)＝\b\\(\\)(\a\4\\1(x＋\f(9)))，x∈[1，10].(2)由(1)知，生产1000千克该产品消耗的A材料为y＝1000\b\\(\\)(\a\4\\1(x＋\f(9)))≥1000×2\r(9)＝6000，当且仅当x＝\f(9)，即x＝3时，等号成立，且3∈[1，10].故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6000千克.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.下列不等式一定成立的是()\b\\(\\)(\a\4\\1(x2＋\f(1,4)))>x(x>0)x＋\f(1x)≥2(x≠kπ，k∈Z)2＋1≥2(x∈R)\f(12＋1)＜1(x∈R)解析当x＞0时，x2＋\f(1,4)≥2·x·\f(1,2)＝x，所以\b\\(\\)(\a\4\\1(x2＋\f(1,4)))≥x(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当x≠kπ，k∈Z时，x的正负不定，故选项B不正确；显然选项C正确；当x＝0时，有\f(12＋1)＝1，选项D不正确.答案C2.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A.[0，2] B.[－2，0]C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]解析2\r(2x＋y)≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤\f(1,4)，所以x＋y≤－2.答案D3.(2018·平顶山一模)若对于任意的x>0，不等式\f(2＋3x＋1)≤a恒成立，则实数a的取值范围为()\b\\[\\)(\a\4\\1(\f(1,5)，＋∞))\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(1,5)，＋∞))\b\\(\\)(\a\4\\1(－∞，\f(1,5)))\b\\(\\](\a\4\\1(－∞，\f(1,5)))解析由x>0，得\f(2＋3x＋1)＝\f(1＋\f(1)＋3)≤\f(1,2\r(x·\f(1))＋3)＝\f(1,5)，当且仅当x＝1时，等号成立，则a≥\f(1,5).答案A4.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()\f(1)≤\f(1,4)\f(1)＋\f(1)≤1\r()≥2 2＋b2≥8解析4＝a＋b≥2\r()(当且仅当a＝b时，等号成立)，即\r()≤2，≤4，\f(1)≥\f(1,4)，选项A，C不成立；\f(1)＋\f(1)＝\f(a＋)＝\f(4)≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2＝16－2≥8，选项D成立.答案D5.若a，b都是正数，则\b\\(\\)(\a\4\\1(1＋\f()))·\b\\(\\)(\a\4\\1(1＋\f(4)))的最小值为()A.7 B.8 C.9 D.10解析∵a，b都是正数，∴\b\\(\\)(\a\4\\1(1＋\f()))\b\\(\\)(\a\4\\1(1＋\f(4)))＝5＋\f()＋\f(4)≥5＋2\r(\f()·\f(4))＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号.答案C6.若正数x，y满足4x2＋9y2＋3＝30，则的最大值是()\f(4,3)\f(5,3) C.2 \f(5,4)解析由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3≥2·(2x)·(3y)＋3(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12＋3≤30，即≤2，∴的最大值为2.答案C7.已知x>0，y>0且4－x－2y＝4，则的最小值为()\f(\r(2),2).2\r(2)\r(2) D.2解析∵x>0，y>0，x＋2y≥2\r(2)，∴4－(x＋2y)≤4－2\r(2)，∴4≤4－2\r(2)，则(\r(2)－2)(\r(2)＋1)≥0，∴\r(2)≥2，∴≥2.答案D8.(2018·郑州质检)已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＋\f(1)＋\f(1)＝5，则a＋b的取值范围是()A.[1，4] B.[2，＋∞)C.(2，4) D.(4，＋∞)解析因为a＋b＋\f(1)＋\f(1)＝(a＋b)\b\\(\\)(\a\4\\1(1＋\f(1)))＝5，又a，b∈(0，＋∞)，所以a＋b＝\f(5,1＋\f(1))≤\f(5,1＋\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(2＋b)))\s\12(2))，当且仅当a＝b时，等号成立，即(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0，解得1≤a＋b≤4.答案A二、填空题9.正数a，b满足＝a＋b＋3，则的取值范围是.解析∵a，b是正数，∴＝a＋b＋3≥2\r()＋3，解得\r()≥3，即≥9.答案[9，＋∞)10.(2017·天津卷)若a，b∈R，>0，则\f(a4＋4b4＋1)的最小值为.解析∵a，b∈R，>0，∴\f(a4＋4b4＋1)≥\f(4a2b2＋1)＝4＋\f(1)≥2\r(4·\f(1))＝4，当且仅当\b\\{(\a\4\\1(a2＝2b2，,4＝\f(1)，))即\b\\{(\a\4\\1(a2＝\f(\r(2),2)，2＝\f(\r(2),4)))时取得等号.答案411.已知函数f(x)＝\f(x2＋＋11＋1)(a∈R)，若对于任意的x∈，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是.解析对任意x∈，f(x)≥3，即\f(x2＋＋11＋1)≥3恒成立，即a≥－\b\\(\\)(\a\4\\1(x＋\f(8)))＋3.设g(x)＝x＋\f(8)，x∈，则g(x)＝x＋\f(8)≥4\r(2)，当x＝2\r(2)时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝\f(17,3)，g(4)＝6.∵g(2)>g(3)，∴g(x)＝\f(17,3).∴－\b\\(\\)(\a\4\\1(x＋\f(8)))＋3≤－\f(8,3)，∴a≥－\f(8,3)，故a的取值范围是\b\\[\\)(\a\4\\1(－\f(8,3)，＋∞)).答案\b\\[\\)(\a\4\\1(－\f(8,3)，＋∞))12.(2018·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为千米时，运费与仓储费之和最小，最小为万元.解析设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x(k1≠0)，y2＝\f(k2)(k2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为\b\\(\\)(\a\4\\1(5x＋\f(20)))万元，∵5x＋\f(20)≥2\r(5x×\f(20))＝20，当且仅当5x＝\f(20)，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元.答案220能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018·西安模拟)若△的内角满足A＋\r(2)B＝2C，则C的最小值是()\f(\r(6)－\r(2),4)\f(\r(6)＋\r(2),4)\f(\r(6)－\r(2),2)\f(\r(6)＋\r(2),2)解析由正弦定理，得a＋\r(2)b＝2c.所以C＝\f(a2＋b2－c2,2)＝\f(a2＋b2－\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(a＋\r(2)b,2)))\s\12(2),2)＝\f(3a2＋2b2－2\r(2),8)≥\f(2\r(6)－2\r(2),8)＝\f(\r(6)－\r(2),4).当且仅当3a2＝2b2，即\r(3)a＝\r(2)b时，等号成立.所以C的最小值为\f(\r(6)－\r(2)