集合知识点总结

第一章集合集合知识点总结：一、集合1、集合的概念集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看出一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，通常用大写英文字母A,B,C…表示。集合的元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用小写写英文字母a,b,c...表示。2、 元素与集合的属于关系：笑若a是集合A的元素，就说a属于A，记作：awA，读作“a属于A”若a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：a电A，读作“a不属于A”。3、 空集0:不含任何元素的集合叫做空集，记作0。4、 集合元素的基本性质：确定性、互异性、无序性。5、 集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合。6、 常用数集的表示 牢记，熟记自然数集(非负整数集)N；正整数集N或N*；整数集Z；有理数集0；实数集R；+正实数集R+，均是无限集。二、集合的表示法1、 列举法：适用于有限集，且元素个数不多，或者是无限集，元素个数较多，但呈现一定规律，列出几个元素作为代表，其余用“…”代替。2、 描述法：元素的特征性质：如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素都具有性质p(x)，而不属于A的元素都不具有性质P(x)，则p(x)叫做集合A的一个特征性质。P(x)是集合A的一个特征性质，集合A可以表示为&e11p(x)},它表示的集合A为在集合I中具有性质P(x)的所有元素构成的。注意：若元素的范围为R时，eR可以省略。★经典例题：例一、现已知一个集合为kX,x2)，贝y实数x满足的条件为 。【X丰1,-1,0】解：由于元素的互易性，因此得到关系x丰1;x2丰1;x丰x2，从而解得x丰1,—1,0。例二、用适当的符号填空：0_e_{0}；0_纟_例二、用适当的符号填空：0_e_{0}；0_纟_0；0_e{0}；0_纟_N+{0}丰0。例三、给定集合A、B，定义A*B=xm-n,meA,neB}。若A={4,5,6},B={1,2,3}，则集合A*B的所有元素之和为 。【15】解：题意为从集合A中任意选取一个元素，与集合B中的任意一个元素作差，所得元素为集合A*B的元素，这里要注意元素的互异性。故x=4-1,4-2,4-3,5-1,5-2,5-3,6-1,6-2,6-3=1,2,3,4,5即A*B={1,2,3,4,5}，元素之和为15。例四、设集合A={2,3,a2+2a-3),B={a+3,2}若已知5eA，且5笑B，求实数a。解：由于5eA，故有a2+2a—3=5，解得a=-4或2。但题目要求5笑B，因此a+3丰5，即a丰2。因此a=-4。例五、实数集A满足条件：1笑A，若aeA，则亠eA。1-a若2eA，求A；集合A能否为单元素集合？若能，求出A；若不能，说明理由；求证：1-丄eA。a解：(1)由题意知，若aeA，则eA。因此2eA，则有丄;=-1eA。1-a 1-2由一1eA，则_ =^eA。由卞eA，则一-=2eA。因此A=^2,-1,-1-(T)2 2 1-1 I22若让集合A为单元素集合，必须满足a= 。整理得到a2-a+1=0，1-a验证A=1-4<0，因此没有a满足上述方程，即集合A不能为单元素集合。1由于题意有若aeA，贝y eA。1-a1 1 a-1 1因此当eA时，可有 = =1-—eA。1-a 1一1a a1-a例六、以下集合各代表什么：M={m|m=2k,keZ} 偶数、X={x|x=2k+1,keZ}――奇数}这些均是数集，与代表元素的不同没有关系。Y={yy=4k+1,keZ} 奇数丿④P={(x,y)|y=x+1,xeR}——点集(有序数对集合)几何意义：满足直线y=x+1图像上所有的点;代数意义：满足二元一次方程y=x+1的解。例七、若集合A二例七、若集合A二x2+(a—1)x+b二o｝中，仅有一个元素a，则a=1【3】1【9】解：题意可只两个条件，其一是仅有一个元素，即方程只有一个解。其二为单元素即为a。因此得到两个关系式：将a代入方程有a2+(a+1)a+b=0和A=(a-1)2-4b=0,从中求出a=3,b=9。例八、已知集合A二ax2-3x+2二。｝,其中a为常数，且aeR。例八、已知集合A二若A是空集，求a的范围；若A中只有一个元素，求a的范围；若A中至多只有一个元素，求a的范围。解：(1)因为A是空集，则必须要求方程ax2—3x+2=0无实根，即A=9—8a<0，9因此a> 。82)若A中只有一个元素，此时需要讨论a是否为0。2)2当a=0时，方程为—3x+2=0，解得x二，符合题意;9当a丰0时，方程为ax2—3x+2=0，要求A=9—8a=0，即a=。89综上所述，a=0或8若A中至多只有一个元素，即有一个元素，或没有。只要综合(1)(2)的答案即9可。故a的取值范围是a=0或a> 。8三、子集和真子集1、子集：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，则集合A叫做集合B的子集。记作：A匸B或BnA读作“A包含于B”或“B包含A”若集合P中存在着不是集合Q的元素，则集合P不是集合Q的子集。记作：PgQ或QZP注意：(1)自身性：A匸A，任何集合是它本身的子集。规定：0匸A，空集是任何子集的真子集。e与匸区别：e是从属关系，表示元素与集合之间的关系，匸是包含关系，表示集合与集合之间的关系。2、真子集：若集合A是集合B的子集(简化：若A匸B，数学语言的简洁)，并且集合B中至少含有一个元素不属于集合A，则集合A是集合B的真子集。

记作：B或B疋A读作“A真包含于B”或“B真包含A”注意：（1）空集0是任何非空集合的真子集。（2）A匸B A二B3、韦恩图：包含关系的传递性A匸B,B匸C，则A匸C； 维恩图表示AuAuB,BuC则AuC集合N+，NZQ,R之间的关系，用维恩图表示4、个数规律：（card（A）表示集合A的元素个数）元糸子集真子集非空子集非空真子集5、集合相等：A匸B,B匸A，则A=B★经典例题：例一、判断下列集合是否为同一个集合①A={l,2},B={（1,2）} 不是，一个是点集，一个是数集A={xeN10<x<5},B={xeR10<x<5) 不是，元素范围不同A={y1y=2x+l},B={(x，y)1y=2x+l} 不是，一个是点集，一个是数集是，元素相同，均是实数，与代表元素无关④A={xIx>5},B={yIy>5}是，元素相同，均是实数，与代表元素无关例二、用适当的符号填空：0u {a}； {a} u {a,b}； {a} u {a}； 0u {a}；{l,2,3}_u_{l,2,3,4}；0_u_0H例三、若集合A={1,3,x},B=(2,1}，且BuA，则x= 【0或土再】解：依题BuA，则x2=x,或x2=3，解出x=0,1,土启；由于元素具有互异性，故舍去1。例四、已知集合A={x|1<x<4},B={x|x<a}，若AuB，则实数a的取值集合为.H[{aa>4}】解：步骤：①在数轴上画出已知集合；由x<A确定，应往左画（若为x>A，则往右画），进而开始实验；得到初步试验结果；验证端点。试验得到：a>4，当a=4时，由于A集合也不含有4,故满足AuB。丰综上所述，｛\a>4｝。例五、满足｛1｝匸Mu｛l,2,3｝的集合M为 【｛1｝,｛1,2丰解：因为｛1｝匸M，因此M中必须含有1这个元素。又知道Mu｛1,2,3｝丰故得到｛1｝,｛1,2｝,｛1,3｝。（｛1,2,3｝不满足真子集的要求）四、集合的运算1、交集：一般地，对于两个给定集合A,B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合,叫做A,B的交集。核心词汇：共有。记作：AB读作“A交B”A二｛123,4,5B=｛3,4,5,6,8｝，AB=｛3,4,5｝交集为0在画数轴时,要注意层次感和端点的虚实！2、 交集的性质：AA=A；如果A匸B，则AB=A。3、 并集：一般地，对于两个给定集合A,B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A,B的并集。核心词汇：全部。记作：AB读作“A并B”只要是线下面的部分都要！4、 并集的性质：AA=A；如果A匸B，则AB=B5、 补集：如果给定的集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在u中的补集。核心词汇：剩余。记作“/”U读作：“A在U中的补集”

6、补集的性质：★经典例题：例一、已知集合M={0,1,2,4,5,7},N={1,4,6,8,9},P={4,7,9},则（MN）（MP）等于 【{1,4,7}】解：McN=X1,4WM心={4,7}，故（M N）（M P）={1,4,7}。例二、设集合M={mgZ丨―3<m<2},NngZI-1廷nW3},则MN= 【{-1,1}】解：首先观察两个集合均为数集，代表元素的不同不影响集合本身。其次范围均为整数,故M={一2，-1，。，1},N={一1，。，1，2,3}，因此取交集后，得到的结果应为{-101}。例三、A={xI-1<x<3}，B={xIx>a}，若AB=0,贝饮数a的取值范围是 【a>3】解：步骤：①在数轴上画出已知集合；由x<a确定，应往左画（若为x>a，则往右画），进而开始实验；得到初步试验结果；验证端点。试验得到的结果为a>3，验证端点，当a=3时，由于A集合不含有3,满足交集为0。综上所述，a的取值范围是a>3。例四、求满足M匸{a，a，例四、求满足M匸{a，a，a，a123a,a}】24a}={a，31【{a,a}或{a,12}，且M {a，a，a}={a，a}的集合Mo1 2 3 1 2na}2a，a}，则M={a,a}或M={a,a,a}3 4 1 2 1 2 4解：由于M{a，1又有MQ{a,1例五、集合A={0,2,a},B={,a2}，若AB={0，1,2,4，16}，贝ija的值为a，2则可以推得M中必有a1，笃，没有a3。4】解：A解：A={0,2,a},B={,a2},AB=^0,1,2,4,16}".・.a=4a=4u例六、设集合U={(x,y)y=x-1},A=<(x,y)|三乜=1>，则C^A=—【{（0,-1）}】解：表示平面上满足直线丄也=解：表示平面上满足直线丄也=1的无数点,x其中x主0,y1o又U={x,y）y=x-1}表示平面上满足直线y=x-1上的全部点，故补集为{(o,-1)},这组有序数对例七、已知集合A={x|x2+px一2=0},B={x|x2一x+q=0},且AoB={一2,0,1},求实数p,q的值。【q=o,p=1】解：观察A集合，可知o电A，又有aOB={—2,0,1}，则0eB。将0代入x2-x+q=0，得至I」q=0，反解x2-x=0，得至I」x=0或1。由于AoB={-2,0,1},B={0,1}，则一2eA。将-2