集合的概念及运算

第一节集合的概念与运算最新考纲：1•了解集合的含义、元素与集合的属于关系；2•理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；3•理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4•理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5•能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.基础知识回顾 植理识记自测JICHUZHISHIHUIGU '觀知识梳理I 元素与集合集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号三或表示.集合的表示法：列举法、描述法、图示法.问题探究：集合｛0｝是空集吗？它与｛0｝,0有什么区别？提示：集合｛0｝不是空集，因为它含有元素0，同理，｛0｝也不是空集，因为它含有元素0,但｛0｝与｛0｝不同，因为它们的元素不同，0是不含任何元素的隹厶集合・2.集合间的基本关系表示关系 、、、文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A二B子集A中任意一个元素均为B中的元素AB真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素AB空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

3•集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言(2®1QS符号语言AuB二{x\xwA，或xwBlAQB二{x\xwA,且xwB}［UA二{x\xwU，且x年A}4•集合的运算性质并集的性质：AU0=A；AUA=A；AUB=BUA；AUB=AOB—A.交集的性质：AG0=0；AGA=A；AGB=BGA；AAB=AOA—B.补集的性质：AU(M=U；A。([,)=0；[川,)=4.砂基础自测1 1.判断正误(在括号内打“厂或“X”)TOC\o"1-5"\h\z⑴集合｛x|y=\：X—l｝与集合｛yy=i；X—l｝是同一个集合.( )1一1--若{x2,l}={0,l}，则x=0,1.(1一1--已知集合A—{x\mx—1},B={1,2},且A—B,则实数m=1含有n个元素的集合的子集个数是2n,真子集个数是2n—1,非空真子集的个数是2n—2.()若A={O,1},B={(x,y)\y=x+l}，则A—B.( )［答案］(1)X⑵X⑶X⑷V(5)X2.(2015・新课标全国卷II)已知集合A={—2,—1,0,1,2},B={x\(x—1)(x+2)<0},则AGB=( )B.{0,1}A.{B.{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}懈析］由题意知B二{x|・2<x<l}，所以AHB={-1,0}•故选A.［答案］A(2016•北京东城期末统测)已知集合A={x|0<x<2},B={x|(x—l)(x+l)>0},TOC\o"1-5"\h\z则AUB=( )(0,1)(1,2)1)U(0,+x)(—g,—1)U(1,+x)懈析］由已知条件可得B={x|(x-1)(x+1)>0}={x|x>1或x<-1},「.AUB={x|0<x<2}U{x|x>1或x<-1}={x|x>0或x<-1}，故选C.［答案］C(2015・济南3月模拟)已知集合A={x||x—1|<2},B={x|y=lg(x2+x)}，设U=R，则AG(［皿)等于()A.［3,+兀) B.(—1,0］C.(3,+^) D.［—1,0］懈析］解不等式|x-1|<2得-1<x<3，所以A={x|-1<x<3}•要使函数y=lg(x2+x)有意义，须x2+x>0,解得x<-1或x>0,所以B={x|x<-1或x>0},［UB={x|-1<x<0}，所以AG(［/)=(-1,0］，故选B.［答案］B(2015•东北三省四市第二次联考)设集合A={1,2,4},集合B={xX=a+b,a^A,b^A},贝V集合B中的元素个数为 .［解析］VaeA,bwA,x=a+b,「.x=2,3,4,5,6,8，:B中有6个元素.［答案］6

ItAODIANHUDOHGTAHJIUItAODIANHUDOHGTAHJIU考点一集合的基本概念掌握集合的概念，关键是把握集合中元素的特性，要特别注意集合中元素的互异性，一方面利用集合中元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.用描述法表示集合时，首先应清楚集合的类型和元素的性质.加强对集合中元素的特征的理解，互异性常常容易忽略，求解问题时要特别汪意.(2016•银川质检)已知集合力={0,1,2},则集合B={x-ylx^A，y^A}中元素的个数是()TOC\o"1-5"\h\zA.1 B.3C.5 D.9已知集合A={m+2,2m2+m},若3$A，贝Vm的值为 .［解题指导］切入点：集合中元素的特征；关键点：集合中元素的互异性.懈析］(1)逐个列举可得•x二0,y二0,1,2时,x-y=0,-1,-2；x=1,y二0,1,2时，x-y=1,0,-1；x=2,y=0,1,2时，x-y二2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为-2,-1,0,1,2.共5个.(2)因为3gA，所以m+2=3或2m2+m=3.当m+2=3,即m二1日寸，2m2+m—3,此时集合A中有重复元素3,所以m二1不符合题意，舍去；当2m2+m=3时，解得m=-|或m=1（舍去），3 1 |因为当m二-㊁时，m+2二2工3，符合题意.所以m二-3［答案3［答案］(1)C(2)-2（1）用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；（2）要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性.匚】对点训练若集合A={xWR|ox2+ax+1=0}中只有一个元素，则a=（ ）A.4 B.2C.0 D.0或4懈析］由题意得，ax2+ax+1=0只有一^实数解，当a=0时，方程无实数解；当aH0时，则/二a2-4a二0,解得a=4（a=0不合题意舍去），故选A.［答案］A已知集合A={t2+s2|t,s^Z},且x^A,y^A,则下列结论正确的是（ ）A.x+y^A B.x~y^AxC.xy^A D.—GA丿 y懈析］由集合A二{t2+s2|t,seZ}（即A中元素均可以表示为两个整数平方和的形式），可得1=02+12,2=12+12，所以x=1eA,y—2eA,但1+2—3年A,故A.“x+yeA”不成立；又1-2—-1年A，故B.“x-yeA”不成立；又^A，故xD.“yeA”不成立•故选C.

［答案］C3.A、B是两个集合，A={y|y=x2—2},B={—3,1,y}，其中y^A，贝Uy的取值集合是 .懈析］因为B是一个集合，由集合元素的互异性可知yH・3且yHl,A是函数y=x （2015・皖南八校联考）已知R表示实数集，集合M={x|0WxW2},N={x|x2—2x—3>0} （2015・皖南八校联考）已知R表示实数集，集合M={x|0WxW2},N={x|x2—2x—3>0}，则下列结论正确的是（）A.M^N B.MU［rNC.［rMUN D.［rNUM （2015・郑州模拟）已知集合A={x|_2WxW5},B={x|m+1<x<2m—1}，若B匚A,则实数m的取值范围是 .［解题指导］切入点：子集的定义；关键点：含有字母参数时，应对0关注.懈析］⑴集合N二{x|x2-2x-3>0}二{x|x>3或x<-1},所以［RN二{x|-1WxW3}，又M二{x|0WxW2}，所以MJ［RN，故选B.⑵当m+1>2m-1,即m<2时，B=0,［答案］{y\y^-2且yHl}考点二集合间的基本关系判断集合间关系往往转化为元素与集合间关系，对描述法表示的集合要抓住元素及属性，可将元素列举出来或通过元素特征，对连续数集和抽象集合，常借助数形结合的思想（借助数轴，韦恩图及函数图象等）解决.空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集•在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性.

满足满足B^A；’州方［［丁-2m+1 2m-\5xm三2,

即m±-3,

lmm三2,

即m±-3,

lmW3.m+1W2m-1,m+1 -2,、2m-1W5,.•.2WmW3.故m<2或2WmW3，即m的取值范围为{m|mW3}.［答案］(1)B(2){m|mW3}(1)判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系；(2)已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系•解决这类问题常常是合理利用数轴、Venn图来帮助分析；(3)B为A的子集，不要漏掉B二0时的情况.对点训练(2015・重庆卷)已知集合A={1,2,3},B={2,3}，则()A.A=B B.AQB=0C.AB D.BA［解析］TA二{1,2,3},B二{2,3},.2,3wA且2,3gB,1gA但1B，:BA.［答案］D(2016・合肥模拟)已知集合P={x|x2+x—6=0},S={x|ax+1=0}，若SUF,则实数a的取值组成的集合是A.1]3B.r1A.1]3B.r1C」3,1]2D.〔0，3,1]2懈析］由题意得，P二{-3,2}.当a二0时，S二0，满足S^P；当aH0时，方程ax+1二0的解为x二-］,为满足S"，可使-］二-3,或->2,1_2-

=

或1_31_2-

=

或1_3--

即r1故所求集合为］°,31]2［答案］D3.（2016・南充调研）已知集合A={x|4W2xW16},B=［a,b］,若A^B，则实数a-b的取值范围是 .[解析]集合A二｛x|4W2xW16｝二｛x|22W2xW24｝二｛x|2WxW4｝二[2,4]，因为AUB，所以aW2,b±4，所以a-bW2-4=-2，即实数a-b的取值范围是（-OO[答案](--,-2]考点三集合的基本运算在进行集合的运算时，先看清集合的元素和所满足的条件，再把所给集合化为最简形式，并合理转化求解，必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题直观化，并会运用分类讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直观、简洁.韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.(2015・天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6}，集合B二{1,3,4,6,7}，则集合AG(［皿)=( ){2,5} B.{3,6}C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8}已知集合A={y\y=x2—2x,,GR},B={y|y=—x2+2x+6,,GR},则A^B［解题指导］切入点：集合的交、并、补的概念；关键点：化简集合，准确运算.［解析］(1)先求得集合B的补集，再进行交集运算由题意得［皿二{2,5,8},••AG［皿二{2,3,5,6}G{2,5,8}二{2,5}.(2)y—x2-2x—(x-1)2_1 -1,y=-x2+2x+6=-(x-1)2+7^7,.•A—{y\y±-1},B—{y|yW7},故APB—{y|-1<y<7}•［答案］(1)A⑵{y|-1WyW7}［拓展探究］⑴在例3(2)中，若集合A变为A={x\y=x2-2x,x^R},其他条件不变，求APB.(2)在例3(2)中，若集合A、B变为：A={(x，y)|y=x2—2x，x^R}，B={(x,y)|y=—x2+2x+6，x^R}，求APB.［解］(1)因A中元素是函数自变量，则A—R,而B—{y|yW7}，则APB—{y|yW7}.y二x2■2x,(2)由］ x2-2x-3=0,y x2+2x+6解得x=3或x=-1.x=3,x二-1,于是，| 或＜、y二3 、y二3,故/鮎二{(3,3),(-1,3)}.考点四与集合有关的新定义问题与集合有关的新定义问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，在新给出的运算法则的前提下，将题目中的条件转化成符合新的运算法则的形式,是解答此类问题的关键.分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中，是破解新定义型试题的关键所在.(2016•南昌质检)若X是一个集合，t是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足：①X属于T，0属于T；②T中任意多个元素的并集属于T；③T中任意多个元素的交集属于T，则称T是集合X上的一个拓扑.已知集合X={a，b,c},对于下面给出的四个集合T：t={0，{a}，{c}，{a，b，c}}t={0，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}t={0，{a}，{a，b}，{a，c}}t={0，{a，c}{b，c}，{c}，{a，b，c}}其中是集合X上的拓扑的集合T的序号是 .［解题指导］切入点：拓扑的概念；关键点：从概念出发解决问题.是集合X上的拓扑；满足：①X属于T,0属于T,©1中任意多个元素的并集属于T,®l中任意多个元素的交集属于t,因此(2)是集合X上的拓扑；{a,b}U{a,c}={a,b,c}^T,故(3)不是集合X上的拓扑；满足：①X属于T,0属于T,@T中任意多个元素的并集属于T,@T中任意多个元素的交集属于T,因此(4)是集合X上的拓扑.［答案］⑵(4)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算.匸】对点训练对于任意两个正整数m,〃，定义运算(用㊉表示运算符号)：当m,n都是正偶数或都是正奇数时，m㊉n=m+n；当m,n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m㊉n=mXn.例如4㊉6=4+6=10,3㊉7=3+7=10,3㊉4=3X4=12.在上述定义中，集合M={(a,b)|a㊉b=12,a,b^N*}的元素有 个.［解析］m,n同奇同偶时有11组：(1,11),(2,10),…,(11,1)；m,n一奇一偶时有4组：(1,12),(12,1),(3,4),(4,3).［答案］15 方法规律总结 ［方法技巧］集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.［易错点睛］1．解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素（集合是点集、数集还是图形集）．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．课时跟踪训练(一)一、选择题1■集合A={x|x2+x—6W0},B={y|y=\'X,0WxW4}，则AG(［rB)=()A.［—3,2］ B.［―2,0)U(0,3］C.［－3,0］ D.［－3,0)［解析］由题知A={x|x2+x-6W0}二{x|-3WxW2},二{y［y=\lx,0WxW4}二{y|0WyW2}，所以［RB二{x|x>2或x<0}，所以An(:rB)二{x|-3<x<0}，所以选D.［答案］DTOC\o"1-5"\h\z2.(2015・石家庄一模)若已知M={0,1,2,3,4},N={1,3,5,7},P=MnN，则集合P的子集个数为( )A.2 B.3C.4 D.5懈析］TP二{1,3},二集合P的子集个数为4,故选C.［答案］C(2015・浙江卷)已知集合P={x|x2—2x±0},0={x|l<xW2}，则(［RP)G0=()A.［0,1) B.(0,2］C.(1,2) D.［1,2］［解析］先化简集合P，再应用集合的补集与交集的定义进行计算•由X2-2x20,得xW0或x±2，即P二{x|xW0或x±2}，所以［RP={x|0<x<2}=(0,2)•又g={x|1<x<2}=(1,2］，所以(:RP)ng=(1,2).［答案］C(2015•宁波二模)设全集U=R,/={x|x(x+3)<0},B={x|x<—1}，则图{x|—3<x<—1}{x|—3<x<0}{x|—1<x<0}{x|x<—3}［解析］因为A={x|x(x+3)<0}={x|-3<x<0},:UB={x|x2-1}，阴影部分为An(：UB)，所以An(：UB)={x|-1<x<0}，故选C.［答案］C5.(2015•山西四校联考)设U=R,A={xy=x\jX},B={y|y=_x2},则An(［ub)=()A.0 B.RC.{x|x>0} D.{0}［解析］TA二{x|y二x\：X}二{x|x±0},B二{y|y=-x2}={y|yW0} 二{y|y>0}，从而有An(：UB)={x|x>0}.［答案］C(2016・唐山统考)设全集U=R，已知集合A={x|x±l},B={x|(x+2)・(x－1)<0}，则( )A.AQB=0 B.AUB=UC.lyB^A D.［产B［解析］VB={x|(x+2)(x-1)<0},AB={x|-2<x<1},vA={x|x^1}，:AnB=0.［答案］A(2015•临沂二检)已知集合A={1,3,、m},B={1,m},AUB=A，贝Vm=()A.0或；'3 B.0或3C.1或,''3 D.1或3［解析］由AUB=A，可得B^A，则m=3或m=\tm，得m=3或0或1.经检验m=1时，集合A={1,3,1},B={1,1}，显然不成立.综上有m=0或3，故选B.［答案］B已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x$A,x<y,x+y^A},则集合BTOC\o"1-5"\h\z中的元素个数为( )A.2 B.3C.4 D.5懈析］当x=1时，y二2或3或4；当x=2时,y=3,所以集合B中的元素个数为4.［答案］C(2015・沈阳质量监测(二))已知非空集合A,B,全集U=AUB，集合M=AnB，集合^=(：UB)u(：UA),贝y( )A.MUN=M B.MnN=0［解析］因为本题涉及的集合间的运算以及关系较为抽象，可以考虑利用Venn图辅助解题•作出满足题意的Venn图，如图所示，容易知道MCN二0,故选B.［答案］B10.设集合A={x|x2+2x—3>0},集合B={x|x2—2ax—1WO,a>0}.若A^B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是()_4,3)C.34,A(_4,3)C.34,D.(1,+^)懈析］A={x|x2+2x-